2023年湖南省永州市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年湖南省永州市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.

2.函数f(x)=5x在区间[-1，1]上的最大值是A.A.-(1/5)B.0C.1/5D.5

3.

4.

5.（）。A.

B.

C.

D.

6.

7.微分方程y’-4y=0的特征根为（）A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，4

8.曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为()

A.-1B.-2C.-3D.-49.A.A.凹B.凸C.凹凸性不可确定D.单调减少10.当α＜x＜b时，f'(x)＜0，f'(x)＞0。则在区间(α，b)内曲线段y=f(x)的图形A.A.沿x轴正向下降且为凹B.沿x轴正向下降且为凸C.沿x轴正向上升且为凹D.沿x轴正向上升且为凸

11.

A.

B.1

C.2

D.＋∞

12.设方程y''-2y'-3y=f(x)有特解y*，则它的通解为A.y=C1e-x+C2e3x+y*

B.y=C1e-x+C2e3x

C.y=C1xe-x+C2e3x+y*

D.y=C1ex+C2e-3x+y*

13.

14.

15.在下列函数中，在指定区间为有界的是()。

A.f(x)=22z∈(一∞，0)

B.f(x)=lnxz∈(0，1)

C.

D.f(x)=x2x∈(0，+∞)

16.

17.A.A.

B.

C.

D.

18.设函数y=f(x)二阶可导，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，则当△x>0时，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

19.

20.设z=y2x，则等于()．A.2xy2x-11

B.2y2x

C.y2xlny

D.2y2xlny

21.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是A.A.椭球面B.锥面C.柱面D.平面

22.

23.

24.

25.A.A.3B.1C.1/3D.0

26.

27.

A.-ex

B.-e-x

C.e-x

D.ex

28.A.A.e-x+CB.-e-x+CC.ex+CD.-ex+C29.二次积分等于()A.A.

B.

C.

D.

30.A.A.0

B.

C.

D.∞

31.

A.0

B.

C.1

D.

32.设f(x)在x=2处可导，且f'(2)=2，则等于()．A.A.1/2B.1C.2D.4

33.单位长度扭转角θ与下列哪项无关()。

A.杆的长度B.扭矩C.材料性质D.截面几何性质

34.

35.

36.点M(4，-3，5)到Ox轴的距离d=()A.A.

B.

C.

D.

37.下列等式成立的是（）。

A.

B.

C.

D.

38.

39.微分方程y"-y'=0的通解为()。A.

B.

C.

D.

40.

41.设在点x=1处连续，则a等于()。A.-1B.0C.1D.2

42.微分方程y''-2y'=x的特解应设为

A.AxB.Ax+BC.Ax2+BxD.Ax2+Bx+c

43.

44.设函数f(x)在[a，b]上连续，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的平面图形的面积等于（）。A.

B.

C.

D.

45.A.A.2

B.

C.1

D.－2

46.

47.在特定工作领域内运用技术、工具、方法等的能力称为（）

A.人际技能B.技术技能C.概念技能D.以上都不正确

48.

49.

50.设区域，将二重积分在极坐标系下化为二次积分为()A.A.

B.

C.

D.

二、填空题(20题)51.52.53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.61.∫(x2-1)dx=________。62.63.

64.

65.

66.

67.

68.为使函数y=arcsin(u＋2)与u=｜x｜-2构成复合函数，则x所属区间应为__________．

69.

70.幂级数的收敛半径为______．三、计算题(20题)71.

72.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．73.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．74.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．75.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则76.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．77.

78.

79.

80.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

81.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．82.

83.

84.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

85.求曲线在点(1，3)处的切线方程．86.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．87.证明：88.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

89.求微分方程的通解．90.四、解答题(10题)91.92.

93.

94.计算，其中区域D满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0．

95.

96.

97.

98.99.设y=y(x)由方程y2-3xy+x3=1确定，求dy．100.五、高等数学(0题)101.微分方程xdy—ydx=0的通解是________。

六、解答题(0题)102.设y=x2ex，求y'。

参考答案

1.C

2.Df(x)=5x，f'(x)=5xln5＞0，可知f(x)在[-1，1]上单调增加，最大值为f(1)=5，所以选D。

3.A解析：

4.C

5.C

6.A

7.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根为2，-2，故选B．

8.C由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且该切线的斜率为f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为-3，故选C。

9.A本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．

10.A由于在(α，b)内f'(x)＜0，可知f(x)单调减少。由于f"(x)＞0，

可知曲线y=f'(x)在(α，b)内为凹，因此选A。

11.C

12.A考虑对应的齐次方程y''-2y'-3y==0的通解.特征方程为r2-2r-3=0,所以r1=-1，r2=3，所以y''-2y'-3y==0的通解为，所以原方程的通解为y=C1e-x+C2e3x+y*.

13.D解析：

14.C

15.A∵0<2x<1x∈(一∞，0)∴f(x)=2x在区间(一∞，0)内为有界函数。

16.A

17.D本题考查的知识点为偏导数的计算．

可知应选D．

18.B

19.B

20.D本题考查的知识点为偏导数的运算．

z=y2x，若求，则需将z认定为指数函数．从而有

可知应选D．

21.B

22.B

23.C解析：

24.D

25.A

26.D

27.C由可变上限积分求导公式有，因此选C．

28.B

29.A本题考查的知识点为交换二次积分的积分次序．

由所给二次积分限可知积分区域D的不等式表达式为：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其图形如图1-1所示．

交换积分次序，D可以表示为

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知应选A．

30.A本题考查的知识点为“有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量”的性质．这表明计算时应该注意问题中的所给条件．

31.A

32.B本题考查的知识点为导数在一点处的定义．

可知应选B．

33.A

34.C解析：

35.B解析：

36.B

37.C

38.D解析：

39.B本题考查的知识点为二阶常系数齐次微分方程的求解。微分方程为y"-y'=0特征方程为r2-r=0特征根为r1=1，r2=0方程的通解为y=C1ex+c2可知应选B。

40.B

41.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。

由于y为分段函数，x=1为其分段点。在x=1的两侧f(x)的表达式不同。因此讨论y=f(x)在x=1处的连续性应该利用左连续与右连续的概念。由于

当x=1为y=f(x)的连续点时，应有存在，从而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此选C。

42.C本题考查了二阶常系数微分方程的特解的知识点。

因f(x)=x为一次函数,且特征方程为r2-2r=0,得特征根为r1=0,r2=2.于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.

43.C

44.C

45.C本题考查的知识点为函数连续性的概念．

46.D解析：

47.B解析：技术技能是指管理者掌握和熟悉特定专业领域中的过程、惯例、技术和工具的能力。

48.A

49.D

50.A本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分．

由于在极坐标系下积分区域D可以表示为

0≤θ≤π，0≤r≤a．

因此

故知应选A．

51.

52.1/3本题考查了定积分的知识点。

53.

54.

55.

56.2

57.2yex+x58.12dx+4dy．

本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分．

59.

本题考查的知识点为二重积分的计算．

60.

61.62.本题考查的知识点为偏导数的运算。由于z=x2+3xy+2y2-y，可得

63.1/2本题考查的知识点为极限运算．

由于

64.2

65.e-6

66.

67.068.[-1，1

69.y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)解析：70.0本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

所给幂级数为不缺项情形

因此收敛半径为0．71.由一阶线性微分方程通解公式有

72.函数的定义域为

注意

73.由二重积分物理意义知

74.

75.由等价无穷小量的定义可知

76.

77.

则

78.

79.

80.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

81.

82.

83.

84.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％85.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

86.

列表：

说明

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.94.积分区域D如图2-1所示．

解法1利用极坐标系．D可以表示为：

解法2利用直角坐标系．D可以表示为：

本题考查的知识点为计算二重积分；选择积分次序或利用极坐标计算．

95.

96.

97.98.本题考查的知识点为两个：定积分表示－个确定的数值；计算定积分．

这是解题的关键!为了能求出A，可考虑将左端也转化为A的表达式，为此将上式两端在[0，1]上取定积分，可得

得出A的方程，可解出A，从而求得f(x)．

本题是考生感到困难的题目，普遍感到无从下手，这是因为不会利用“定积分表示－个数值”的性质．

这种解题思路可以推广到极限、二重积分等问题中．

99.本题考查的知