四川省雅安市雨城区第二中学2021年高三数学理联考试卷含解析

四川省雅安市雨城区第二中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知随机变量X,Y的分布列如下:X321Pabc

Y123Pabc

若a、b、c成等差数列，则下列结论一定成立的是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】成等差数列，即，结合，计算出，由此判断出正确结论.【详解】由于成等差数列，故①，另根据分布列的知识可知②.由①②得.所以，，由于正负无法确定，故大小无法比较.，，故.故选：D.【点睛】本小题主要考查根据随机变量分布列计算数学期望和方差，考查等差中项的性质，考查运算求解能力，属于中档题.2.设A={}，集合B为函数的定义域，则AB=（

）A.（1，2）

B.[1，2]

C.[1，2）

D.（1，2]参考答案：D3.斜率为2的直线l过双曲线（，）的右焦点，且与双曲线的左右两支分別相交，则双曲线的离心率e的取值范固是（

）A． B．C． D．参考答案：D依题意，结合图形分析可知双曲线的一条渐近线的斜率必大于，即，因此该双曲线的离心率．故选D．4.若函数（，，）在

一个周期内的图象如下图所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且（为坐标原点），则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(

)A．logab?logcb=logca B．logab?logca=logcbC．logabc=logab?logac D．loga（b+c）=logab+logac参考答案：B【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】通过对数的换底公式以及对数运算公式loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），判断选项即可．【解答】解：对于A，logab?logcb=logca?，与换底公式矛盾，所以A不正确；对于B，logab?logaa=logab，?，符合换底公式，所以正确；对于C，logabc=logab?logac，不满足对数运算公式loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），所以不正确；对于D，loga（b+c）=logab+logac，不满足loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），所以不正确；故选B．【点评】本题考查对数的运算法则，基本知识的考查．6.将函数的图象向右平移个单位后得到的图象的一个对称轴是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得平移后f（x﹣）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得平移后得到的图象的一个对称轴．【解答】解：令，将函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应的解析式为y=f（x﹣），则，由，得其对称轴方程为：，当k=0时，，即为将函数的图象向右平移个单位后所得的图象的一个对称轴，故选：C．7.为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给A、B、C、D四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给A、B、C、D四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（

）A.最少需要16次调动，有2种可行方案B.最少需要15次调动，有1种可行方案C.最少需要16次调动，有1种可行方案D.最少需要15次调动，有2种可行方案参考答案：A【分析】根据题意得出有两种可行的方案，即可得出正确选项.【详解】根据题意A，B两处共需向C，D两处调15个商品，这15个商品应给D处11个商品，C处4个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：方案一：A调动11个给D，B调动1个给A，B调动4个给C，共调动16次；方案二：A调动10个给D，B调动5个给C，C调动1个给D，共调动16次；故选：A【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.8.（原创）已知，则为（

）(A)

0

(B)1

(C)2

(D)4参考答案：C由题意，得函数的定义域为R，【考点】函数的奇偶性，推理与证明.9.已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．π B．3π C． D．2π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】求出P到平面ABC的距离为，AC为截面圆的直径，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，求出R，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．10.设复数满足，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某中学要把9台型号相同的电脑送给三所希望小学，每所小学至少得两台，不同送法的种数为

参考答案：答案：1012.已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则x﹣y=

．参考答案：2考点：二阶矩阵．专题：矩阵和变换．分析：由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解x，y即可．解答： 解：由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式

，解得x=4，y=2，故答案为：2．点评：本题考查增广矩阵，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义，属于基础题．13.已知实数x，y满足,则的最大值等于________．参考答案：12

14.类比是一个伟大的引路人。我们知道，等差数列和等比数列有许多相似的性质，请阅读下表并根据等差数列的结论，类似的得出等比数列的两个结论：等差数列等比数列

若

，则数列为等差数列若

，则数列为等比数列

参考答案：，（2分）

15.（4分）sin585°的值为_________．参考答案：16.若函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．参考答案：17.是虚数单位，能使得成立的成立的最小正整数是

；【解析】由，得，所以，即,所以最小的正整数为3。参考答案：由，得，所以，即,所以最小的正整数为3。【答案】3

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的焦点坐标为(-1,0)，(1,0)，过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，(1)求椭圆的方程；(2)过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

参考答案：（1）设椭圆方程为=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1由PQ|=3，可得=3，……………2分解得a=2，b=，…………………3分故椭圆方程为=1……………4分（2）设M，N,不妨>0,<0,设△MN的内切圆的径R，则△MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，………6分，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得+6my-9=0，………8分得，，则AB（）==，……………9分令t=,则t≥1,则,………10分令f（t）=3t+，则f′(t)=3-，当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，

有f(t)≥f(1)=4,≤=3,即当t=1,m=0时，≤=3,=4R，∴=，这时所求内切圆面积的最大值为π.故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为π………………13分19.已知函数,其中.(1)判断函数的单调性；(2)若，求函数的最值；(3)设函数，当时，若对于任意的，总存在唯一的，使得成立，试求m的取值范围.

参考答案：解：（1）则当时，知函数在上单调递增，在及上单调递减；当时，知函数在上单调递减，在及上单调递增.(2)由，可得..由(1)知，当，，函数在上是减函数，而函数在上也是减函数，故当时，函数取得最大值.当时,函数取得最小值.(3)当时，由于，则，由(1)知，此时函数在上是减函数，从而若时，由于，则==，易知在上单调递增，从而.要使成立，只需，即成立即可,设则易知函数在上单调递增，且，故，所以.20.（13分）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1?k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若?+?=64，求直线l1、l2的方程．参考答案：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴?+?=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．21.已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若f（x）≤kx2对任意x＞0成立，求实数k的取值范围；（3）当n＞m＞1（m，n∈N*）时，证明：．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a；（2）f（x）≤kx2对任意x＞0成立对任意x＞0成立，令，则问题转化为求g（x）的最大值，运用导数，求得单调区间，得到最大值，令k不小于最大值即可；（3）令，求出导数，判断单调性，即得h（x）是（1，+∞）上的增函数，由n＞m＞1，则h（n）＞h（m），化简整理，即可得证．解答： 解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f'（x）=a+lnx+1，又∵f（x）的图象在点x=e处的切线的斜率为3，∴f'（e）=3，即a+lne+1=3，∴a=1；

（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，∴f（x）≤kx2对任意x＞0成立对任意x＞0成立，令，则问题转化为求g（x）的最大值，，令g'（x）=0，解得x=1，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是增函数；当x＞1时，g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是减函数．

故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=1，∴k≥1即为所求；

（3）令，则，由（2）知，x≥1+lnx（x＞0），∴h'（x）≥0，∴h（x）是（1，+∞）上的增函数，∵n＞m＞1，∴h（n）＞h（m），即，∴mnlnn﹣nlnn＞mnlnm﹣mlnm，即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn，lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn，ln（mnn）m＞ln（nmm）n，∴（mnn）m＞（nmm）n，∴．点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查不等式的证明，运用构造函数，求导数得到单调性，再由单调性证明，属于中档题．22.（2016秋?桓台县校级期末）在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出BD∥EF，BD⊥AC，EF⊥AC，从而EF⊥AO，EF⊥PO，由此能证明BD⊥平面POA．（2）设AO∩BD=H，连接BO，以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣O的余弦值．【解答】证明：（1）∵点E，F分别为CD，CB的中点，∴BD∥EF，∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO，∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO=O，∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA．解：（2）设AO∩BD=H，连接BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴，在Rt△BH