天津大港区第一中学2021年高三数学理测试题含解析

天津大港区第一中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若的定义域为[0，1]，则的定义域为（

）A．（，1）（1，＋∞）

B．（0，）

C．（1，＋∞）

D．（，1）参考答案：D2.抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是，反复这样投掷，数列定义如下：，若，则事件“”的概率是（

）A． B. C. D.参考答案：B3.设，则函数的图像大致形状是（

）参考答案：C4.有四个关于三角函数的命题：

其中真命题有(

)

A．P1，P4

B．P2，P4

C．P2，P3

D．P3，P4参考答案：C5.函数的定义域是，则a的取值范围为()A．a＞0

B．A＜1C．0＜a＜1

D．a≠1参考答案：C6.抛掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量的夹角为，则的概率为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D略7.不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b和b、n、c都成等差数列，则＝(

)A．－2

B．0

C．2

D．不能确定参考答案：C8.设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可.【详解】存实数，使得，说明向量共线，当同向时，成立，当反向时，不成立，所以，充分性不成立.当成立时，有同向，存在实数，使得成立，必要性成立，即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入3×3的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等（如图所示），我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（）834159672A．9 B．8 C．6 D．4参考答案：B【考点】计数原理的应用．【分析】列举所有排法，即可得出结论．【解答】解：三阶幻方，是最简单的幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9．其中有8种排法492、357、816；276、951、438；294、753、618；438、951、276；816、357、492；618、753、294；672、159、834；834、159、672．故选：B．10.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则b=（

）A．2

B．3

C.

4

D．5参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数则在[]上的零点个数是

.参考答案：3由题意得令则所以即.令,则满足条件;令,则满足条件;令,则满足条件;令,则不满足条件,则在上的零点个数是3.12.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面，，则球的表面积为.参考答案：【知识点】球的体积和表面积

解析：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故答案为.【思路点拨】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．13.在△ABC中，边,,角，过作于,且,则

参考答案：略14.设是的重心，且，则角的大小为

．参考答案：略15.若，，，则的取值范围是

．参考答案：(－∞,0]由题意，，则，由，则，即函数f(x)在上单调递增，则恒有，所以，又，所以，即，从而问题可得解.

16.已知f(x)是奇函数，且当时，.若，则a=__________.参考答案：–3∵，∴.

17.已知实数x，y满足’则不等式组表示的平面区城的面积为________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q．（Ⅰ）求证：QC?BC=QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ=6，AC=5．求弦AB的长．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）由已知得∠BAC=∠CBA，从而AC=BC=5，由此利用切割线定理能证明QC?BC=QC2﹣QA2．（2）由已知求出QC=9，由弦切角定理得∠QAB=∠ACQ，从而△QAB∽△QCA，由此能求出AB的长．解答： （本小题满分10分）选修4﹣1：几何证明选讲1证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5，由切割线定理得：QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC，∴QC?BC=QC2﹣QA2．（2）由AC=BC=5，AQ=6及（1），知QC=9，∵直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∴∠QAB=∠ACQ，又∠Q=∠Q，∴△QAB∽△QCA，∴=，∴AB=．点评：本题考查等式的证明，考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理、弦切角定理的合理运用．19.已知等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=an?2n，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式可得d=1，进而得到所求通项公式；（2）求得bn=an?2n=（n+1）?2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，a1=2，a3+a5=10，即为2a1+6d=10，解得d=1，则an=a1+（n﹣1）d=2+n﹣1=n+1；（2）bn=an?2n=（n+1）?2n，前n项和Sn=2?2+3?22+4?23+…+（n+1）?2n，2Sn=2?22+3?23+4?24+…+（n+1）?2n+1，两式相减可得，﹣Sn=4+22+23+24+…+2n﹣（n+1）?2n+1=2+﹣（n+1）?2n+1，化简可得，前n项和Sn=n?2n+1．【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．20.四川一所学校高三年级有10名同学参加2014年北约自主招生，学校对这10名同学进行了辅导，并进行了两次模拟模拟考试，检测成绩的茎叶图如图所示．预测卷

押题卷

291

99101003689883211258

8129

（1）比较这10名同学预测卷和押题卷的平均分大小；（2）若从押题卷的成绩中随机抽取两名成绩不低于112分的同学，求成绩为118分的同学被抽中的概率．参考答案：（1）（3分）,故（6分）（2）法1：押题卷成绩不低于112的同学（用分数作为学生的代号）共4个，随机抽取2个如下：(112、115)(112、118)(112、129)(115、118)(115、129)(118、129)。所以成绩为118分的同学被抽中的概率（12分）法2：成绩为118分的同学被抽中的概率（12分）21.

如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC,AC=AD=AB=1，

BC=，凸多面体ABCED的体积为，F为BC的中点．

（1）求证：AF∥平面BDE；

（2）求证：平面BDE⊥平面BCE．参考答案：略22.（满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．（Ⅰ）如果,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树的分布列和数学期望．参考答案：解:（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为……3分方差为………6分（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=