债券的风险度量

债券的风险度量久期的介绍凸度的介绍程序实现方法上机实验检查内容债券的久期久期的概念久期的概念最早是马考勒(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考勒久期（简记为D）。马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。

保罗·萨缪尔森、约翰·斯克斯和瑞丁敦在随后的若干年独立地发现了久期这一理论范畴，特别是保罗·萨缪尔森和瑞丁敦将久期用于衡量资产/负债的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二种含义，即：资产针对利率变化的价格变化率。

免疫策略久期是债券投资管理中的一个极其重要的策略----“免疫策略”的理论基础，根据该策略，当交易主体债券组合的久期与债权的持有期相等的时候，该交易主体短期内就实现了“免疫”的目标，即短期内的总财富不受利率波动的影响。

麦考雷(Macaulay)久期的计算公式：麦考雷久期(以期间计)=麦考雷久期(年)=麦考雷久期(以期间计)/k其中：PV（C_t)为以t期对应的市场普遍收益率进行贴现得到的债券在第t期的现金流现值；n为债券持有期内现金流的期间总数；TPV为债券各期现金流的总现值;k为每年支付现金流的次数。

久期是反映债券价格波动的一个指标。它对到期时间进行加权平均，权重等于各期现金流的现值占总债券现金流现值的比例。久期实际表示的是投资者收回初始投资的实际时间。

久期计算举例假设面额为1000元的3年期变通债券，每年支付一次息票，年息票率为10%，此时到期收益率分别为为12%，5%，20%，则该种债券的久期为：

久期的一些特点从上面的计算结果可以发现，久期随着市场利率的下降而上升，随着市场利率的升而下降，这说明两者存在反比关系。

在持有期间不支付利息的金融工具，其久期等于到期期限或偿还期限。分期付息的金融工具，其久期总是短于偿还期限，是由于同等数量的现金流量，早兑付的比晚兑付的现值要高。金融工具到期期限越长其久期也越长；金融工具产生的现金流量越高，其久期越短。

修正久期=修正久期本质上是债券的对数关于到期收益率的导数的绝对值，反映了债券关于到期收益率的变化强度，其近似的表达关系是：

需要注意的是，另一种理解是债券作为风险项目，其价格过程视为变化的，则此时，久期和凸度的概念就类似于股票的模型。这是值得注意的地方。债券组合的久期计算公式：债券组合的久期=其中：债券i市值总和在债券组合市值总和中所占的比重；债券i的修正久期；债券组合中债券的个数。数学上上的问问题久期可可以视视作债债券定定价函函数的的导数数（除除去定定价初初值）），而而导数数反映映了一一个函函数的的变化化强度度，因因此，，从线线性近近似的的程度度来说说，以以价格格-到到期收收益率率曲线线而言言，存存在导导数最最小和和最大大的点点，这这样的的点具具有什什么样样的特特点，，这种种理解解是否否一定定正确确？如何寻寻找这这样的的点？？回想到到期收收益率率的初初衷，，如何何平衡衡风险险和项项目的的可靠靠性之之间的的关系系？如如何确确定最最优的的项目目的到到期收收益率率？上面的的问题题一和和问题题二是是要检检查的的内容容。凸度度凸性是是指在在某一一到期收收益率率下,到到期收收益率率发生生变动动而引引起的的价格变动幅幅度的的变动动程度度。凸凸性是是对债债券价价格曲曲线弯弯曲程程度的的一种种度量量。因因为在在利率率变化化比较较大的的情况况下久久期就就不能能完全全描述述债券价价格对利率率变动动的敏敏感性性。凸凸性越越大,债券券价格格曲线线弯曲曲程度度越大大,用用修正正久期期度量量债券券的利率风风险所产生生的误误差越越大。。凸度的的数学学原理理债券价价格——收益益率曲曲线凸度的的性质质凸性随随久期期的增增加而而增加加。若若收益益率、、久期期不变变，票票面利利率越越大，，凸性性越大大。利利率下下降时时，凸凸性增增加。。对于没没有隐隐含期权的债券券来说说，凸凸性总总大于于0，，即利利率下下降，，债券券价格格将以以加速速度上上升；；当利利率上上升时时，债债券价价格以以减速速度下下降。。含有隐隐含期期权的的债券券的凸凸性一一般为为负，，即价价格随随着利利率的的下降降以减减速度度上升升，或或债券券的有有效持续期随利率的的下降而而缩短，，随利率率的上升升而延长长。因为为利率下下降时买入期权权的可能性性增加了了。债券定价价定理4：若债券期限限一定，同同等收益益率变化化下，债券收益益率上升导致致价格下下跌的量量，要小小于收益益率下降降导致价价格上升升的量。。例：三债债券的面面值都为为1000元，，到期期期限5年年，息票票率7%，当到到期收益益率变化化时。到期收益率(%)678价格1042.121000960.07债券价格变化率(%)4.210-4.00但是从久久期和凸凸度的近近似并不不能看出出这一点点。这是是值得关关注的地地方。债券凸性性投资价价值的评评估假设我们们面对两两个不同同期次，，具有相相同存续续期间的的政府公债债（无信用用风险）），两者者的市场场到期收收益率也也正好相相同，投资人对这两张张债券是否会有有不同的的偏好呢呢？基于于债券凸凸性的特特质，如如果两者者有着不不同的债券凸率率，理性投投资人应应该会偏偏好债券券凸率较较高的公债。因此，，在市场供给需求的调整下下，我们们可以预预期两公公债的到到期收益益率必将将有所调调整，以以反应投投资人对对高凸率率公债的的偏好。。投资人对对于高凸凸率债券券的到期期收益率率要求将将会低于于凸率较较小的债债券，也就是说说，在其其他条件件相同的的情况下下，高凸凸率债券券的价格格应该比比低凸率率债券为为高，以反应债债券凸性性的价值，由此衍衍生的问问题是凸凸度的价价值问题题。一些诡异异的结论论然而，市市场中的的债券价价格果真真有反应应出债券券凸性的的价值吗吗？KahnandLochoff(1990)使使用1981年年至1986年年的美国国公债为为样本，发现债债券凸性性在某些些情况下下会给投投资人带带来超额额投资报报酬，也也就是说说即使投投资人以以较高的的价格购购入具有有高债券券凸率的的债券，，其投资资报酬仍仍然要比比投资于于低凸率率债券为为佳，这显示出出交易市场场对于债券券凸性的的定价并并不正确确，因此此存在有有超额获获利空间间。LaceyandNawalkha(1993)则则提出了了不同的的结论。。这两位位学者以以1976到1987年的美美国公债债为样本本作分析析，结果果并未发发现高债债券凸性性会带给给投资人人超额的的报酬，，表示其其已被市市场正确确的定价价。中国的情情况林聪钦(1995)以以国内公公债及公司债为样本，，发现债债券凸性性对于超超额投资资报酬有有解释能能力。李耀宗(1995)针针对国内内公司债债作分析析，也发发现债券券凸性是是超额投投资报酬酬的解释释因子之之一，显显示出针针对债券券凸性的的操作策策略是值值得投资资人重视视的。。(1997)使使用1992到到1996年国国内所发发行之35期次次的政府府公债来来测试债债券凸性性以及其其他因子子解释债债券超额额报酬的的能力。。发现债债券凸性性在解释释国内公公债超额额报酬的的能力上上并不显显著，再再度验证证国内公债市场场投资人对对于债券券凸性并并未做出出合理定定价，这这表示市市场投资资人或可可针对债债券凸性性找出套利机会。我们可以以做的工工作从前面的的几件比比较乌龙龙的事件件可以看看出，对对于债券券凸度的的价值的的定价并并不同意意，检验验方法也也有很大大的差别别，因此此在这个个领域存存在很多多有价值值的课题题。这些课题题及时本本科生也也可以做做出很有有意思的的成果。。已经有相相关的工工作可以以做这件件事情，，但是很很多的开开问题值值得关注注。久期的计计算例子子例3.16面面值为100美美元，票票息率为为10%的5年年期债券券,收收益率为为10%,计计算久期期(以年年计)及及修正久久期。dataa;c2=0;tc2=0;don=1to10;t=n;ifn<10thenc=5;elseifn=10thenc=105;a=1/((1+0.05)**n);c1=c/((1+0.05)**n);tc1=t*c1;c2=c2+c/((1+0.05)**n);tc2=tc2+t*c/((1+0.05)**n);ifn=10thend=tc2/(c2*2);md=d/(1+0.05);output;end;datab;seta;dropc2tc2n;labelt='时间'c='现金流流'a='1美元元的现值'c1='现金金流的现值'tc1='t*pvcf'd='久期(以年计)'md='修正正久期';procprintdata=blabelnoobs;title'久期及修修正久期';vardmd;run;输出结果：久期(以年计计)修修正久期注：修正久期期可直接用SAS函数计计算：Modifdur=DURP(100,0.1,2,10,0.5,0.1);函数DURP用法：DURP(A,c,n,K,k0,y)，其中中A表示面值值，c表示名名义年票息率率，n为年付付息次数，K为生于付息息次数，k0为现在到下下一次付息日日的间隔，y为收益率。。本章开始时所所提出的问题题，能否集合合这个函数来来实现？例3.19面面值为100美元，票票息率为10%，到期收收益率为10%的5年期期债券，以平平价出售，计计算久期。%macrod(i,y,p);dataa;x=100*(&i/2)*((1-1/((1+&y/2)**10))/(&y/2));h=x/&p;d=((1+(&y/2))/(&y/2))*h+(((&y/2)-(&i/2))/(&y/2))*10*(1-h);putd=;%mendd(i,y,p);%d(0.10,0.10,100);run;输出结果：d=8.1078216756，这这是否说明久久期比发行期期限来的大？？修正久期的近近似计算近似久期=其中：V-为收益率率下降证证券的估计价价格；V+为收益率率上升证证券的的估计价格；；V0为证券初初始价格；为证券收益率率的变化。例3.20票票息率为7%，到期收收益率为10%的20年年期债券，以以74.26美元的价格格出售，收益益率上升或下下降20个基本点点的价格变化如如下所示，试试计算近似修修正久期。V-=75.64468623V+=72.917291682V0=74.261370469=0.002(半年变化化10个基本本点)收益率上升或或下降20个个基本点的债债券初始价格格计算程序：dataa;delete;%macroa(n,y,cupon,par);dataa1;p1=0;%doi=1%to&n;p1=p1+&cupon*&par/(1+&y)**&i;output;%end;dataa1;seta1end=lasobs;iflasobs;p2=&par/(1+&y)**&n;p=p1+p2;y=200*&y;y1=100*&y;dataa;setaa1;putp=;%menda;%a(40,0.05,0.035,100);%a(40,0.052,0.035,100);%a(40,0.048,0.035,100);run;p=74.261370469p=71.611134614p=77.068604183近似久期计算算程序%macromd(Vu,Vd,V,y);dataa;md=(&vu-&vd)/(2*&v*&y);putmd=;%mendmd;%md(75.64,72.92,74.26,0.002);run;输出结果：MD=9.15701589结果接近精确确值md=9.1802370384精确值计算程程序：%macrod(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to.t=n;ifn<&periodthenc=&cupon;elseifn=&periodthenc=&cupon+&p0;a=1/((1+&y)**n);c1=c/((1+&y)**n);tc1=t*c1;c2=c2+c/((1+&y)**n);tc2=tc2+t*c/((1+&y)**n);ifn=&periodthend=tc2/(c2*2);md=D/(1+&y);putd=md=;output;dropntc2c2;end;%mendd;%d(0.05,3.5,40,100);run;输出结果为：：md=9.1802370384债券凸度计算算举例例3.21假假设面值为为100美元元，5年期的的票息率为8%的债券,每半年付付息。假设该该债券的初始始收益率为10%，计算算该债券的凸凸度。ifn=&periodthenconcave=tc2/(c2*((1+&y)**2));yearlyconcave=concave/4;putconcave=;putyearlyconcave=;output;dropntc2c2;end;procprintdata=a;%mendd;%d(0.05,4,10,100);run;计算结果：凸度(以半年年记)concave=78.29424228凸度(以年计计)yearlyconcave=19.57356057%macro(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to.t=n;ifn<&periodthenc=&cupon;elseifn=&periodthenc=&cupon+&p0;a=1/((1+&y)**n);c1=c/((1+&y)**n);tc1=t*(t+1)*c1;c2=c2+c/((1+&y)**n);tc2=tc2+t*(t+1)*c/((1+&y)**n);注：也可以用用SAS函数数直接计算：：convx=convxp(100,0.08,2,10,0.5,0.1);同久久期期一一样样，，能能否否结结合合这这个个函函数数，，实实现现求求凸凸度度最最大大的的点点？？例3.22假假设设面面值值为为100美美元元，，5年年期期的的零零息息票票债债券券，，年年收收益益率率为为10%，，计计算算凸凸度度。。%macroconcave(n,y);dataa;concave=&n*(&n+1)/((1+&y)**2);putconcave=;%mendconcave;%concave(10,0.05);run;计算算结结果果：：凸度度concave=99.77324263计算算凸凸度度引引起起的的价价格格变变化化凸度度引引起起价价格格变变化化百百分分比比的的估估计计值值=例3.24面面值值为为100美美元元，，期期限限为为15年年的的票票息息率率为为8%的的债债券券，，每每半半年年付付息息，，其其初初始始收收益益率率为为10%。。若若收收益益率率由由10%增增长长到到13%，，计计算算凸凸度度引引起起的的价价格格变变化化。。首先先计计算算年年凸凸度度：：只只需需要要将将上上面面凸凸度度计计算算程程序序中中的的宏宏参参数数值值改改为为%d(0.05,4,30,100)即即可可求求得得年年凸凸度度为为94.3571。。%macrovp(x,y);dataa;caused=0.5*&x*(&y**2)*100;putcaused=’%’;%mendvp;%vp(94.3571,0.03);run;计算结果：凸凸度引起的价价格变化为caused=4.2460695%美元凸度美元凸度=凸凸度×初始价价格.为确定美元引引起的价格变变化幅度，可可以利用以下下公式：凸度解释的价价格变化幅度度=例3.25期期限为15年的票息率率为8%的债债券，收益率率为10%，，计算每100美元面值值债券的美元元凸度。首先计算凸度度和初始价格格：凸度=94.36初初始价价格=84.627548973凸度前面已经经计算过，初初始价格的计计算程序为：：dataa;delete;%macroa(n,y,cupon,par);dataa1;p1=0;%doi=1%to&n;p1=p1+&cupon*&par/(1+&y)**&i;output;%end;dataa1;seta1end=lasobs;iflasobs;p2=&par/(1+&y)**&n;p=p1+p2;y=200*&y;y1=100*&y;dataa;setaa1;%menda;%a(30,0.05,0.04,100);putp=;run;计算的初始价价格为p=84.627548973计算美元凸度度程序：%macroanlaye(x,y,p);dataa;concave=&x*&p;vp=0.5*concave*(&y**2);putconcave=;putvp=;%mendanlaye;%anlaye(94.36,0.01,84.627548973);%anlaye(94.36,0.02,84.627548973);run;计算结果：美元凸度concave==7985.4555211100基点的价格变变化vp=0.3992727761200基点的价格格变化vp=1.5970911042近似凸度近似凸度=其中：V-为收益益率下降证证券券的估计价价格；V+为收