模糊数学及其应用

PAGEword文档可自由复制编辑1基本编程思想例题设有矩阵请按以下要求编写M-文件求任意两个向量之间的距离：①最大最小法：；②算数平均最小法：；③几何平均最小法：；④将上面的①、②、③算法的程序合成一个M-函数文件，使得调用它时可以任选以上三种方法中的一种进行距离的计算。模糊数学及其应用1模糊数学的历史简介根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。基于此，1965年L.A.Zadeh教授在《InformationandControl》杂志上发表了一篇开创性论文“FuzzySets”,标志着模糊数学的诞生。 模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。 在模糊数学的应用中，经常应用于聚类分析、模式识别和综合评判等方面。2模糊数学的基础知识1）集合及其特征函数（ⅰ）集合论域E中具有性质P的元素组成的总体称为集合。（ⅱ）集合的运算集合的常用运算包括：交（∩）、并（∪）、补（ⅲ）特征函数对于论域E上的集合A和元素x，如有以下函数：特征函数表达了元素x对集合A的隶属程度。可以用集合来表达各种概念的精确数学定义和各种事物的性质。2）模糊集合（ⅰ）概念的模糊性许多概念集合具有模糊性，例如： 成绩：好、差 身高：高、矮 年龄：年轻、年老 头发：秃、不秃（ⅱ）隶属度函数如果一个集合的特征函数不是{0,1}二值取值，而是在闭区间[0，1]中取值，则是表示一个对象x隶属于集合A的程度的函数，称为隶属度函数。隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模糊性。（ⅲ）模糊子集①设集合A是集合U的一个子集，如对于任意U中的元素x，用隶属度函数来表示x对A的隶属程度，则称A是U的一个模糊子集，记为。模糊子集通常简称模糊集。模糊集A由隶属函数唯一确定，故认为二者是等同的。②模糊集可以用下式表示1°Zadeh表示法或其中表示对模糊集A的隶属度，称为模糊子集A的支持点，“+”叫做查德记号，不是求和。如“将1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为可省略可省略2°序偶表示法3°向量表示法4°若论域U为无限集，其上的模糊集可表示为：论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。③模糊集与隶属度举例[例1]设论域，，，意思是对模糊集的隶属度分别是0.5，0.1，0.4，0.2；对模糊集的隶属度分别是0.2，0，0.6，1。[例2]设以人的岁数作为论域，单位是“岁”，那么“年轻”，“年老”，都是U上的模糊子集。隶属函数如下：=“年轻”(u)=(*)=“年老”(u)=(**)(*)表示：不大于25岁的人，对子集“年轻”的隶属函数值是1，即一定属于这一子集；而大于25岁的人，对子集“年轻”的隶属函数值按来计算，例如对40岁的人，隶属函数值。同理，由(**)可得：，。模糊子集的隶属度函数的确定通常是根据经验或统计，常常带有主观性，但大家也较容易接受（上述两个模糊集的隶属度函数如下所示）。模糊集合之间还可象经典集合一样进行集合之间的其它运算。模糊集合之间还可象经典集合一样进行集合之间的其它运算。（ⅳ）模糊集合的基本运算：①相关运算的定义相等：包含：交集：∨:表示取大∧∨:表示取大∧:表示取小补集：②举例例一个房地产商想将销售给客户的商品房进行分类。房子舒适如何的一个标志是其卧室的多少。设是房子卧室数集，模糊集“对三口之家的舒适型房子”可以描述为模糊集“对三口之家的大面积型房子”可以描述为A与B的并表示“大或者舒适的房子”，为：A与B的交表示“又大又舒适的房子”，为：B的补集表示“不大的房子”，为：③一些常用的算子1°Zadeh算子2°取大、乘积算子3°环和、乘积算子4°有界和、取小算子5°有界和、乘积算子6°Einstain算子3）模糊集合的α水平截集①模糊子集本身没有确定边界，其水平截集有确定边界，并且不再是模糊集合，而是一个确定集合。②例题[例1]设年龄的取值集合为U={50岁,45岁,40岁,35岁,30岁,25岁}模糊集“年青”可表示为：A=0/50岁+0.1/45岁+0.3/40岁+0.5/35岁+0.9/30岁+1/25岁A的不同的水平截集为：α=0，A0={50岁，45岁,40岁,35岁,30岁,25岁}α=0.1，A0.1={45岁,40岁,35岁,30岁,25岁}α=0.2，A0.2={40岁,35岁,30岁,25岁}α=0.3，A0.3={40岁,35岁,30岁,25岁}α=0.5，A0.5={35岁,30岁,25岁}α=0.7，A0.7={30岁,25岁}α=0.9，A0.9={30岁,25岁}α=1，A1={25岁}[例2]某医生今天给五个发烧病人看病，设为，其体温分别为：，，，，。医生在统计表上就可以这样写：以上的五人：；以上的三人：；以上的一人：；如果规定以下的不算发烧，问有多少发烧病人？医生就可以回答：，但所谓“发烧”实际上是一个模糊概念，它存在程度上的不同，也就是说要用隶属函数来描述。如果根据医师的经验规定，对“发烧”来说：体温以上的隶属函数；体温以上不到的隶属函数；体温以上不到的隶属函数；体温以上不到的隶属函数；体温以下的隶属函数；用模糊集合来处理这个问题：设现在问：隶属函数的有哪些人，用来表示这一集合，则，同理，，，。4）模糊关系及模糊矩阵上面研究的都是单个集合的描述关系与定义，但往往更多时候需要研究的是模糊集与模糊集之间的关系，比如：身高与体重的联系。这些涉及到关系的定义。（ⅰ）集合的笛卡儿乘积设,为两个集合，则它们的笛卡儿乘积集为：是元素间的有序对。是一种无约束有顺序的组合。笛卡尔乘积的运算不满足交换律。特殊的笛卡尔乘积：当时（ⅱ）关系及其表示①设,为两个集合，为笛卡尔乘积的一个子集，则称其为中的一个关系。关系代表了对笛卡尔乘积集合中元素的一种选择约束。②关系的表示1°集合表示法：。2°描述表示法：3°图形表示法：关系图。4°矩阵表示法：例如[例1][例2]设U＝{张三,李四,王五}，V＝{数学，英语，政治}，则关系R（选课）可表示为：[例3]上的关系（相似）（ⅲ）模糊关系①如果关系是的一个模糊子集，则称为的一个模糊关系，其隶属度函数为。隶属度函数表示具有关系的程度。②若一个矩阵元素取值为[0,1]区间内，则称该矩阵为模糊矩阵。同普通矩阵一样，有模糊单位阵，记为I；模糊零矩阵，记为0；元素皆为1的矩阵用Ｊ表示。③模糊矩阵的表示④例题[例1]设x为身高，y为体重。x=（1.4,1.5,1.6,1.7,1.8）（单位m），y=(40,50,60,70,80)（单位kg）。模糊关系“合乎标准”表示为：40506070801.410.80.2001.50.810.80.201.60.20.810.80.21.700.20.810.81.8000.20.81也可记为：[例2]样本集X中各样本之间的相似关系可表示为：（ⅳ）模糊矩阵的关系及其运算①基本关系及运算设都是模糊矩阵，则定义用≤，≥表示1用≤，≥表示2°包含：；3°并：4°交：3°并：[例题]②模糊矩阵的合成1°定义：设模糊矩阵称模糊矩阵为矩阵A与B的合成，其中。2°例题③模糊矩阵的转置同普通矩阵一样。④模糊矩阵的-截矩阵1°定义：设模糊矩阵，对任意的，称为模糊矩阵A的-截矩阵，其中2°例题5）隶属度函数的确定方法与matlab作图（ⅰ）隶属度的确定方法①模糊统计法模糊统计试验的四个要素：1°论域2°中的一个固定元素3°中的一个随机运动集合4°中的一个以作为弹性边界的模糊子集，制约着的运动。可以覆盖，也可以不覆盖，致使对的隶属关系是不确定的。特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。模糊统计试验过程：1°做次试验，计算2°随着的增大，频率呈现稳定，此稳定值即对的隶属度：②指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。③其它方法：如德尔菲法专家评分根据主观认识或个人经验，给出隶属度的具体数值。这时的论域元素多半是离散的。（ⅱ）经典隶属度函数（membershipfunction）matlab作图①高斯型隶属度函数（图1）1°函数：2°[格式]y=gaussmf(x,[sigc])3°[示例]>>x=1:0.1:10;>>y=gaussmf(x,[25]);>>plot(x,y)图1图2②双边高斯型隶属度函数（图2）1°函数：2°[格式]y=gauss2mf(x,[sig1c1sig2c2])3°[示例]>>x=1:0.1:10;>>y=gauss2mf(x,[1334]);>>plot(x,y)③钟型隶属度函数（图3）1°函数：2°[格式]y=gbellmf(x,[abc])图3图4④型隶属度函数（图4）1°[格式]y=pimf(x,[abcd])2°[示例]>>x=1:0.1:10;>>y=pimf(x,[14510]);>>plot(x,y)⑤S型隶属度函数（图5）1°函数：2°[格式]y=sigmf(x,[ac])图5图6⑥梯型隶属度函数（图6）1°函数：2°[格式]y=trapmf(x,[abcd])⑦三角型隶属度函数（图7）1°函数：2°[格式]y=trimf(x,[abcd])图7图8⑧Z型隶属度函数（图8）[格式]y=zmf(x,[ab])图9图10⑨S型函数乘积构成的隶属度函数（图9）1°函数：2°[格式]y=psigmf(x,[a1c1a2c2])⑩S型函数之和构成的隶属度函数（图10）1°函数：2°[格式]y=dsigmf(x,[a1c1a2c2])6）模糊性的度量隶属函数的值的确定，虽然有各种方法，本质上应该是客观的，但实际上常常带有主观性，对同一论域上的模糊集合，不同的人或用不同的判断标准，所得出的各元素的隶属度也不尽相同，那么，有没有办法来比较哪一个更正确些呢，这就涉及到怎样来度量模糊性的问题。[例题]假定有甲乙两个顾客到商场买衣服，他们主要考虑三个因素：①花色式样（）；②耐穿程度（）；③价格（）；甲乙两人就会根据自己的观点，分别给、、打分，这种打分实际上是模糊的，也就是要确定对这个因素“满意”的隶属度，但是由于两个人的经验，性格和经济情况等都不相同，所以他们对、、所确定的隶属度也不会相同。花样（）耐穿度（）价格（）顾客甲确定的隶属度顾客乙确定的隶属度这就得到两个模糊集：，究竟谁的观点正确呢？看来没法确定。因为各人有各人的经验，各人有各人的道理，这就是怎样度量模糊性的问题。解决这个问题的研究途径很多，目前用得较多的大致有“距离”，“贴近度”两个。（ⅰ）模糊性的“距离”度量方法①在有限论域X上有两个模糊子集和，和的汉明距离定义如下：绝对汉明距离：；相对汉明距离：。例如上例中：②在有限论域X上有两个模糊子集和，和的欧几里德距离定义如下：绝对欧几里德距离：相对欧几里德距离：上例中：，③用表示与最贴近的集合，如果里某元素的隶属度，的相应元素的隶属度为1，如果，则相应的隶属度为0，即，令，，用，来表示模糊集合的模糊度。或大，即模糊度大。因此，上例中，，，，所以；，，所以；可见的模糊度比的模糊度大。（ⅱ）模糊性的“贴近度”度量①设和为论域U上的两个模糊子集，记分别称为模糊集和的内积与外积，其中为最大下界，为最小上界。②把称为模糊集与的贴近度。在前例中：，，有因此，，表示贴近度不大不小。度量模糊性十全十美的公式是不存在的，只能根据实际需要和经验选取。3模糊聚类分析1）问题的提出若有一批样品共有个，每个样品有个特征，则有数据矩阵如下：特征样品该矩阵称为特征矩阵，其中每行为一维向量，样品记做请问：如何对以上产品进行适当的等级分类？2）例题[例1]考虑某环保部门对该地区5个环境区域，按污染情况进行分类。设每个区域包含空气、水分、土壤、作物4个要素，环境区域的污染情况由污染物在4个要素中的含量超过的程度来衡量。设这5个环境区域的污染数据为：试对X进行分类。[例2]中国城镇居民消费结构分析3）基本理论与方法（ⅰ）模糊聚类分析的基础知识①基本概念及定理定义设是阶模糊方阵，是阶单位方阵，若满足1°自反性：2°对称性：3°传递性：则称为模糊等价矩阵。定理：设是阶模糊等价矩阵，则所决定的分类中的每一个类是所决定的分类中的某个子类。该定理表明，当时，的分类是分类的加细，当由1变到0时，的分类由细变粗，形成一个动态的聚类图。例：设对于模糊等价矩阵当时，分类为当时，分类为当时，分类为当时，分类为当时，分类为（ⅱ）模糊聚类分析的一般步骤①建立数据矩阵设论域为被分类对象，每个对象又由个指标表示其性状：则得到原始数据矩阵为在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较，需要将数据规格化，常用的方法有：1°标准差标准化对于第个变量进行标准化，就是将换成，即式中：2°极差正规化3°极差标准化4°最大值规格化其中：例题对电视观众的喜好进行调查后有下表数据：编号年龄（年）x1文化（年）x2时间/日（分）x312516402606120342129043414150>>A=[2516 40;606120;42 12 90;34 14 150];>>m=mean(A);%计算均值>>n=std(A);%计算标准方差>>[ij]=size(A);>>A1=ones(i,1);>>A2=A1*m;>>A3=(A-A2)./(A1*n)%标准中心化A3=-1.02450.9258-1.27921.3268-1.38870.42640.11760-0.2132-0.41990.46291.0660另：range(A)表示计算极差>>a=range(A)a=3510110②建立模糊相似矩阵建立与相似程度的方法主要有：相似系数法1°夹角余弦法：2°相关系数法距离法一般地，取，其中为适当选取的参数，它使得采用的距离有：1°Hamming距离：2°Euclid距离：3°Chebyshev距离：贴近度法1°最大最小法：2°算术平均最小法：3°几何平均最小法：③聚类并画出动态聚类图采用模糊传递闭包法，其步骤为：1°求出模糊相似矩阵的传递闭包；2°按由大到小进行聚类；3°画出动态聚类图。（ⅲ）模糊聚类分析实例求解[例1解]由题设知特性指标矩阵为采用最大值规格化法将数据规格化为用最大最小法构造得到模糊相似矩阵用平方法合成传递闭包将中的元素从大到小编排如下：1>0.70>0.63>0.62>0.53取，得被分成5类：取，得取，得被分成4类：被分成3类：取，得取，得被分成2类：被分成1类：4模糊综合评判模型1）模糊综合评判介绍模糊综合评判方法，是一种运用模糊数学原理分析和评价具有"模糊性"的事物的系统分析方法。它是一种以模糊推理为主的定性与定量相结合、精确与非精确相统一的分析评价方法。由于这种方法在处理各种难以用精确数学方法描述的复杂系统问题方面所表现出的独特的优越性，近年来已在许多学科领域中得到了十分广泛的应用。2）模糊综合评判模型的建立一级模糊综合评判设与被评价事物相关的因素有个，记作称之为因素集。又设所有可能出现的评判有个，记作称之为评判集。由于各种因素所处地们不同，作用也不一样，考虑用权重来衡量。步骤：（ⅰ）确定因素集（ⅱ）确定评判集（ⅲ）进行单因素评判得到（ⅳ）构造综合评判矩阵：（ⅴ）综合评判：对于权重计算，并根据隶属度最大原则作出评判。根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：①模型Ⅰ主因素决定型其评判结果只取决于在总评价中起主要作用的那个因素，其余因素均不影响评判结果，此模型比较适用于单项评判最优就能作为综合评判最优的情况。②模型Ⅱ主因素突出型它与模型相近，但比模型精细些，不仅突出了主要因素，也兼顾了其他因素。此模型适用于模型失效（不可区别），需要“加细”的情况。③模型Ⅲ加权平均型该模型依权重的大小对所有因素均衡兼顾，比较适用于要求总和最大的情形。④模型Ⅳ取小上界和型在使用此模型时，需要注意的是：各个不能取得偏大，否则可能出现均等于1的情形；各个也不能取得太小，否则可能出现均等于各个之和的情形，这将使单因素评判的有关信息丢失。⑤模型Ⅴ均衡平均型该模型适用于R中元素偏大或偏小的情形。3）例题考虑一个服装的评判问题。ⅰ）建立因素集其中花色；式样；耐穿程度；价格。ⅱ）建立评判集，其中很欢迎；较欢迎；不太欢迎；不欢迎。ⅲ）进行单因素评判得到：ⅳ）由单因素评判构造综合评判矩阵ⅴ）综合评判设有两类顾客，他们根据自己的喜好对各因素所分配的权重分别为用模型计算综合评判为按最大隶属原则，第一类顾客对此服装不太欢迎，而第二类顾客对此服装比较欢迎。对于类似于的情形，在下结论前通常将其归一化为多级模糊综合评判（以二级为例）（ⅰ）问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面（ⅱ）二级模糊综合评判的步骤：①将因素集划分成若干组得到，其中，称为第一级因素集。②设评判集先对第二级因素集 的个因素进行单因素评判，得单因素评判矩阵设的权重为求得综合评判为③再对第一级因素集作综合评判，设其权重为，则总评判矩阵为从而得综合评判为按最大隶属度原则即得相应评语。（ⅲ）例题某企业生产一种产品，它的质量由9个指标确定，产品的级别分为一级、二级、等外、废品。由于因素较多，宜采用二级模型。1°将因素集分为3组：2°设评判集，一级；二级；等外；废品。3°对每个中的因素进行单因素评判，有取权重为，单因素评判矩阵为作一级模糊综合评判，得其中，下同。取权重为，单因素评判矩阵为作一级模糊综合评判，得取权重为，单因素评判矩阵为作一级模糊综合评判，得4°对第一级因素设权重为令总单因素评判矩阵为作二级模糊综合评判，得 按最大隶属原则，此产品属二级品。5模糊层次分析法1．层次分析法(AHP)存在的问题层次分析法是美国运筹学家,匹兹堡大学的A.L.Saaty教授于20世纪70年代提出的一种定性分析和定量分析相结合的系统分析方法。层次分析法通过明确问题,建立层次分析结构模型,构造判断矩阵,层次单排序和层次总排序五个步骤计算各层次构成要素对于总目标的组合权重,从而得出不同可行方案的综合评价值,为选择最优方案提供依据。AHP的关键环节是建立判断矩阵,判断矩阵是否科学、合理直接影响到AHP的效果,所以AHP主要有以下缺陷：(1)检验判断矩阵是否具有一致性非常困难。检验判断矩阵是否具有一致性需要求判断矩阵的最大特征根,看是否同判断矩阵的阶数相等。若，则具有一致性。当阶数较大时,精确计算的工作量非常大。(2)当判断矩阵不具有一致性时需要调整判断矩阵的元素,使其具有一致性,这不排除要经过若干次调整、检验、再调整、再检验的过程才能使判断矩阵具有一致性。(3)检验判断矩阵是否具有一致性的判断标准:缺乏科学依据。(4)判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异。为了解决上述问题,我们引进了模糊一致矩阵的概念。为此,下面先介绍模糊一致矩阵的定义及其性质。2．模糊一致矩阵的定义及其性质（1）模糊一致矩阵及其有关概念定义1设矩阵,若满足:则称是模糊矩阵。定义2若模糊矩阵满足:则称模糊矩阵是模糊互补矩阵。定义3若模糊互补矩阵满足:有则称模糊矩阵是模糊一致矩阵。（其中条件互补可以减弱）（2）模糊一致矩阵的性质定理1设模糊矩阵是模糊一致矩阵,则有1)有；2)有；3)的第行和第列元素之和为;4),且均为模糊一致矩阵,其中是的转置矩阵,是的余矩阵;5)从中划掉任意一行及其对应列所得的子矩阵仍然是模糊一致矩阵;6)R满足中分传递性,即当时,若,,则有;当时,若,,则有;证明1），2）直接由定义取特殊情况即可得。3)～6)的证明见参考资料【1】。性质5）的意义就在于当我们设计好模糊一致矩阵后，如果又要删除某一因素，则不必重新设计模糊一致矩阵，而只要从原矩阵中删除该因素对应行与对应列即可。如此获得的降阶(即阶)模糊矩阵仍然是模糊一致的。这说明模糊一致矩阵有很好的鲁棒性。定理2若模糊矩阵是模糊互补矩阵,则有。定理3模糊互补矩阵是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定两行的对应元素之差为常数。证明必要性。对任意指定的第行和第行,由模糊一致矩阵的定义知,,有在上式中和是固定的,只有是变动的。所以,第行和第行对应元素之差为常数。充分性。对任意指定的第行和第行,设它们对应元素之差为常数,即,有①成立,特别地,当时也应成立,即有②由①式和②式,有故③再由是模糊互补矩阵及定理2知,有,故由③式,有最后,由和的任意性及模糊一致矩阵的定义知,模糊互补矩阵是模糊一致矩阵。定理4模糊互补矩阵是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定行和其余各行对应元素之差为某一个常数。证明必要性。由定理3直接可得。充分性。若对任意指定的第行和第行,对恒有则,有即第行和第行的对应元素之差为常数,再由和的任意性知,的任意指定两行对应元素之差均为常数,从而由定理3知，是模糊一致矩阵。3．用模糊一致矩阵表示因素间两两重要性比较的合理性解释在模糊数学中,模糊矩阵是模糊关系的矩阵表示,若论域上的模糊关系“⋯⋯比⋯⋯重要得多”的矩阵表示为模糊矩阵,则的元素具有如下实际意义。1）的大小是比重要的重要程度的度量,且越大,比就越重要,表示比重要;反之,若,则表示比重要。2）由余的定义知,表示不比重要的隶属度,而不比重要,则比重要,又因比重要的隶属度为,故,即是模糊互补矩阵。特别地,当时,有,也即元素同自身进行重要性比较时,重要性隶属度为0.5。3）若人们在确定一元素比另一个元素重要的隶属度的过程中具有思维的一致性，则应有:若，即比重要，则有。另一方面,是比相对重要的一个度量,再加上自身比较重要性的度量为,则可得比绝对重要的度量,即也即应是模糊一致矩阵。综上所述,以及模糊一致矩阵的性质知,用模糊一致矩阵表示论域上的模糊关系“⋯比⋯重要得多”是合理的。4．表示因素间两两重要性比较的模糊一致矩阵同表示因素重要程度权重之间的关系设表示元素两两比较重要程度的模糊判断矩阵为元素的权重分别为,由的定义知,表示元素比元素重要的隶属度,越大,就比越重要,时,表示和同等重要。另一方面,由权重的定义知，是对元素的重要程度的一种度量,越大,元素就越重要。因而,的大小在一定程度上也表示了元素比重要的程度,且越大,比就越重要。这样,通过两两比较得到的元素比重要的重要程度度量同可建立一定的联系,这种联系我们用函数表示,即。下面推断函数应具有的性质:1）由上面的分析讨论知,越大,就比越重要。同样,越大，元素比越重要。因此,函数应是上的增函数(因为)。2）为确保模糊判断和与重要程度差异的一致性以及模糊判断整体的一致性,函数应是连续的。3）由维尔斯特拉斯(Weirstrass)定理知,对于函数及任意，总存在一个多项式,使得在上一致成立。因此,在精度允许的范围内,可以假定具有多项式形式,即4）由具有的性质,可以确定的具体形式如下:（i）由,有,令,有,从而有将代入上式,并化简得即④对一切成立(这里假定或),又因次多项式最多有个不同的根,要使④式对一切成立,必有故,即具有如下形式:简记为(ii)由,有令,,有再由及上式,有即又故要使对一切成立,必有事实上,因为对一切成立,特别地,对也应成立。此时,有故于是有,,及。（iii）由及,