数学分析-复旦-dvd8附送

习题 讨论下列函数项级数在所指定区间上的一⑴(1x)xn x∈[0,⑵(1x)2xn

x∈[0,⑶x3enx2 ⑷xenx2 (i)x∈0,，(ii)x∈⑸

x∈(-∞,n01n3x3n3n4x

sin x∈(-∞,⑺(1)n(1x)xn x∈[0,⑻(1)n x∈(-∞,n1nx⑼

2nsin1 (i)x∈(0,+∞)，(ii)x∈ 3n⑽⑾

sinxsinnx x∈(-∞,nx x∈(-∞,nn0(1x2x x⑿(1)

x∈(-∞,+∞)

(1xn解（1）Sn(x)由于n1

(1k

1xn1

n 上非一致收敛

非一致收敛

（2）设un(x1x)2xn，则在[0,10u(x)u(n) ， nn

(n由于 n0(n

收敛Weierstrass判别

(1x)2xn在[0,1上一收敛n（3）设u(x)x3enx2，则当n1时，在[0,n30u(x)u )K3 n3 其中K

e2。由于 n0n

Weierstrass判别法，x3enx[0,)上一致收敛 1nn（4(i)设un(x)xenx对任意的正整数N，取m2n(nNxnn[0,)mu(x)xe(n1)x2xx(n2)x2 e2nx2nx k ne2(n)xenx2不满足Cauchy收敛原理的条件，由此可知

xenx2 [0,)上非一致收敛

(ii)设

(x)xenx2，则当n 2

时u

x在[,)上单所n0u(x)e2nn由于e2n收敛Weierstrass判别法xenx2在[,上一致

敛 设un(x)1n3x2，则当n1时un

32n

，由

3收敛n02nWeierstrass判别法

在(,)上一致收敛设

(x) sin

n01n3x3n4x，则当3n4x

(x)1，由于1 n n0n Weierstrass判别法

sin 在

上一致收敛3n4x设an(x1x)xnbn(x1)n，则an(x)对固定3n4xn是单调的，且在[0,1上一致收敛于零，同时bk(x)1k判别法(1)n(1x)xn在[0,1上一致收敛设

(x) nx

(x1)n，则

(x)x(,)nn是单调的，且在(,)上一致收敛于零bk(x)1k判别法(1)n在(,上一致收敛n1nx（9）(i)设u(x)2nsin1，取x (0,)， 3n 3nun(xn)2n即 2nsin1在(0,)上非一致un(x)在 上非一致收敛，所以

3n敛(ii)设u(x)2nsin1，则当x[,时 3nu(x)12n12

3 由于 收敛由Weierstrass判别法，2nsin 在[,)上一n03n1收敛n1

3n设

(x)

(xsinxsinnx，由于

(x)与x无关且单调趋零，所以an(x)x(,)关于n是单调的，且在(,)一致收敛于零，同nb(x)cosx

cosxcos(n1)xcosx2kk1

2 sin2k Dirichlet

sinxsinnx在

上一致收敛nxnun(x)(1x2

10，对任意的正整数Nnm2n(nN与n

1,，m x2 xm x2 uk(xn) 0 k (1x2 (1x2 (1x2 (1x2 所以 x 不满足Cauchy收敛原理的条件由此可知

x n0(1x2(,上非一致收敛x

n0(1x2设an(x

(1x2

，bn(x1)，则an(x)对固定x(,)nn是单调的，且在(,上一致收敛于零bk(x)1，由kDirichlet判别法 (1)

x(1x2

在(,上一致收敛证明：函数f(xcosnx在(0,2)上连续，且有连续的导函数n0n2证由

coscosn2 cosn2 在(0,2)上一致收敛，所以f(xcosnx在(0,2)上连设(x)

cos

n0n2nsinnx，由于

单调趋于零，且对(n21)'

n2

n2 意的0，当x,2时cosn1xcossinkx

2x

2 k

22

sin2由Dirichlet判别法，可知

nsinnx在[,2上一致收敛n2

nsinnx在(0,2上内闭一致收敛，因此(xn2

nsinnx在(0,2n2上连续。再由逐项求导定fx(x在(0,2)上成立，即f(xcosnx在(0,2)上有连续的导函数n0n2证明f(x)nenx在(0,)上连续，且有各阶连续导函证对任意的0aA，当x[aA，成立0nenxnean，且ne 收敛Weierstraass判别法，nenx在[a,A]上一致收敛，即nenx

(0,上内闭一致收敛，所以f(xnenx在(0,上连续设(x) (nenx)'

，与上面类似可证明 n2enx(0,上内闭一致收敛，因此(xn2enx在(0,上连续。再由项求导定理fx(x在(0,上成立f(xnenx在(0,上有连续的导注意到(1)knk1enx(k )在(0,)上都是内闭一致收敛的所以上述过程可以逐次进行下去，由数学归纳法f(x)n在 上有各阶连续导函数证明：函数1在(1,+∞)上连续，且有各阶连续导函数

n1n(1)n在上连续，且有各阶连续导函n 证设f(x1，对任意1aA，当x[aA]，成立011n1n a且1收敛，由Weierstraass判别法， 在[a,A]上一致收敛，an1

n1n1在(1,上内闭一致收敛，所以f(x1(1,)上连续n1n

d1

n1n

又dx

，且对任意1aA，

在[a,A]上一 n1敛，即

lnn

上内闭一致收敛，则lnn在(1,上连续n1n由逐项求导定理，可知f'(x)

ln

n1nf(x在(1,上有连续d

klnk

n1nx 可以证明 klnkx

(1) (k

(1) (1,

上内闭一致收敛，同理可得f(x)在(1,)上有各阶连续导函g(x)

，由Dirichlet判别法，可知对任意0a

A(1)n (1)nnn

(0,)上内闭一致g(x)

(1)n在(0,)上连d(1)n (1)n1ln又 ，同样由Dirichlet判别法，可知对任dx 0aA

在[a,A上一致收敛，即

(1)n1lnn

(0,上内闭一致收敛，所以

( lnn (0,)( lnn可 (1)n1lnn， 在上有连续导函数 n

g dk(1)n (1)nklnk利用dxk (k )，同样由Dirichlet判别法 可以证明

(1)nklnk 上内闭一致收敛，同理可 在 g在 n(0,)上有各阶连续导函数证明：函数项级数f(x

arctanx可以逐项求导，n

d(arctanxd n1d 函数项级数f(x)

arctanx对一切x,收敛，nd

x) ， ，nx由 ，由Weierstraass判别法，可知 d(arctanx1n2x n

n在 上一致收敛，再由逐项求导定理，即可知df(x d(arctanxd n1d 设数项级数an收敛，证明⑴lim

an

1

anxndx=

0x0n1 n1n0证(1)首先对于每一固x[0,)(0)1关于n单调，且对一切x

与一切n，成立011，又因为) )

n是数项级数收敛意味着关于x的一致收是由Abel判别法

n1

在0,一致收敛，因此和函

an关于x在0,连续，从而成 n1lim

an=a

n n1 由例题10.2.4anxn在0,1上一致收敛，再由逐项积分定理，到1a

an0n

dx=n设un(x)，vn(x)在区间(a,b)连续，且│un(x)│vn(x)对一切成立。证明：若vn(x)在(a,b)上点态收敛 续函数，un(x)也必然收敛 续函数证设任意闭区间[cd(ab。由于vn(x0在[cd连续，和函 vn(x)在[cd]连续，则由Dini定理可知vn(x)在[cd]一致收敛 是由Cauchy收敛原理，可知0N，mnN，x[cd，成un1(x)un2(x) um(x)vn1(x)vn2(x) vm(x) 此即说un(x在[cd一致收敛，因此un(x在[cd连续。由于 [cdab的任意性，即得到un(x在(ab连续n设函数项级数u(x在xa与xb收敛，且对一切n∈Nnun(x)在闭区间[ab]上单调增加，证明un(x)在[a,b]上一致收敛un(xxaxb收敛，由Cauchy收敛原理，可0NmnN，成

uk(a) k

uk(b)k再由un(x在[ab上的单调增加性，可知对一切x[ab]，成 (x)

k(a)

uk(b) k

k

k 此即说明un(x)在[a,b]上一致收敛nn

(x在xa发散证明对任意δ＞0，un(x)在(a,a+δ)上必定非一致收用反证法。设un(x在(aa上一致收敛,m0,N,mnNxaa,成立k

(x)2再令xa,

mukk

,这说2

)，所以un(x)在(a,a+δ)上必定非一致收证明函数项级数 在a,a上是一致收敛的其中a

nln2n小于2ln22的任意固定正 在a,a上单调增加，所 nln2n nln2n nln2n nln2n ～ (n ～ nln2n

nln2由于 收敛，所以 收敛，再由习题8可nln2 nln2n 在a,a上一致收ln1nln2 设

f(x)

1tanxn1 （1）证明f(x)在0,2上连6（2）2f(x)dx6解（1）对一切x[0,]201

tan

1由于

收敛，由Weierstraass判别

1tanx

上n1致收敛，从而f(x)

1tanx

连续

2（2）由（1，

1tan

]上一致收敛，由逐项积分 n在 n1 6

3

32n12f(x)dx2

2n

2n

ln lnn1 2 cos 2

cos再利用例题9.5.3的结果

xsinx，得

2f(x)dx ln2

f(x)

2n3n3（1）明f(x在(,上连续x（2）记F(x)0f(t)dt，证x2

F 2 （1）x(,，

2 2 ，cos ，n3n3n3n3收敛

cosnx在(,3由于3n

判别法，可知一致收敛，所以f(x

cosnx在

上连续n3n3）由于 （ cosnx在(n3n3）由于 （F(x)

xf