概率专题核心知识点解析

中考数学专题探究-----概率与统计概率与统计赌徒是凭直觉下注吗？赌徒A、B利用掷硬币赌钱，约定正面朝上为赢。赌徒A连续掷同一枚硬币10次，前9次结果均是正面朝上即赌徒A赢，则第10次赌徒A赢的可能性多大？大多数赌徒凭直觉认为第10次还会正面朝上，因为出现了9次“正面朝上”之后，会有极高的机会掷到“正面朝上”。根据概率原理，掷一枚硬币所得结果均是等可能的。每次出现“正面朝上”、“反面朝上”的概率均为50%。赌徒的心态：当连续几轮出现“正面朝上”的结果之后，往往会高估下一轮出现“反面朝上”的机会，以致可能产生“孤注一掷”的冲动。同学们，你们在中考时可不要这样冲动哟！历史上历次投硬币实验数据结果：实验者投掷次数n正面出现次数k正面出现的频率k/n蒲丰404220480.5069德·摩根404920480.5005皮尔逊24000120120.5005罗曼诺夫斯基80640396990.4923在相同条件下作重复实验时，对某一实验结果（即事件A）：1、其发生的频率是随机的，事先无法确定。2、其发生的频率又是稳定的，稳定在一个常数附近。3、一般讲，对实验的某一结果（事件A）出现的频率偏离这个常数很大的可能性虽存在，但实验次数越大，频率偏离这个常数的可能性越小。我们就称这个常数为这一结果（事件）A发生的概率，例如50%这个常数是“投掷硬币，正面朝上”这一事件的概率。概率的本质随机现象用以下两个特征来刻划：一个是结果的随机性，即在相同条件下作重复实验时，实验的结果不止一个，在实验之前无法预知那一个结果会发生；另一个是频率的稳定性，既大量实验时，任一结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却稳定在这个事件发生的概率的附近，实验次数越多，频率与概率偏差大的可能性越小。一、你会玩摸球游戏吗？例1（08扬州）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同。1）小明认为，搅均后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的。你同意他的说法吗？为什么？（2）搅均后从中一把摸出两个球，请通过列表或树状图求两个球都是白球的概率；（3）搅均后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？例1（08扬州）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同。（1）小明认为，搅均后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的。你同意他的说法吗？为什么？不同意。因为P（摸出白球）=2/3，P（摸出红球）=1/3，所以摸出白球和摸出红球不是等可能的。例1（08扬州）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同。（2）搅均后从中一把摸出两个球，请通过列表或树状图求两个球都是白球的概率；P（摸出两球都是白球）=2/6=1/3例1（08扬州）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同。（3）搅均后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为2/3，应如何添加红球？设添加x个红球，则由题意，列方程得解得x=3（经检验是原方程的解且符合题意）第3问涉及解分式方程，注意检验所得结果不但要符合原方程还要符合题意。初中求概率常见的两种方法：列表法与树状图法二、你会玩中学吗？命题趋势分析:1、概率与其它知识点的有机结合是近年来中考命题的热点和今后的方向，值得我们关注。2、结合具体问题，直接考查统计与概率的有关概念、图象信息捕捉运用能力。命题趋势一：概率与其它知识点的有机结合例2（08镇江）有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字－1，－2和－3．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为(x，y)．（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；（2）求点Q落在直线y=x－3上的概率．分析：这是概率与一次函数知识点的结合。略解（1）用列表或画树状图的方法求点Q的坐标有(1，－1)，(1，－2)，(1，－3)，(2，－1)，(2，－2)，(2，－3)．略解（2）点Q落在直线y=x－3上的概率为（08盐城方程）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和．记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；（2）根据（1），若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．08泰州（不等式）已知关于x的不等式ax+3>0(a≠0)．(1)当a＝-2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；(2)小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有整数-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-l，将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上．从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a，求使该不等式没有正整数解的概率．(1)x＜1.5，解集略；(2)用列举法，得到整数a取－3至－10中任意一个整数时，不等式没有正整数解.P（不等式没有正整数解）=0.808宿迁（二元一次方程的整数解）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为0.5．(1)求袋中黄球的个数；(2)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；(3)若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小明共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得20分，问小明有哪几种摸法？答案：（1）1；（2）；（3）小明有三种摸法：摸到红、黄、蓝三种球的次数分别是1、5、0；2、3、1；3、1、2．08浙江金华（完全平方数）在a2□4a□4的空格□中,任意填上“＋”或“－”A1B1/2C1/3D1/4答案:B08湖南常德（相似三角形）如图，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．答案：（1）1/3；（2）略这类问题能否成功解决，取决于你们相关知识的掌握程度，是概率考法的新尝试。命题趋势二：结合具体问题，直接考察统计与概率的有关概念、图象信息捕捉运用能力基本概念有三数（平均数、中位数、众数）、三差（极差、方差、标准差）、对事件和概率的理解，主要考查形式以填空题和选择题为主。统计图（表）的运用在统计初步中占重要位置，不仅要求会读图（表）、释图（表）、作图（表），还要求对统计图（表）中的信息作出判断与推测，给出评价，主要考查形式以解答题为主。例3（08福建龙岩)下表为抄录北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门票价格，某公司购买的门票种类、数量绘制的条形统计图如下图：依据上列图、表，回答下列问题：（1）其中观看男篮比赛的门票有张；观看乒乓球比赛的门票占全部门票的%；答案：（1）30，20（2）公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门票的条件下，每人抽取一张（假设所有的门票形状、大小、质地等完全相同且充分洗匀），问员工小亮抽到足球门票的概率是；答案：（2）0.5（3）若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的1/8，试求每张乒乓球门票的价格.略解：1000×30+800×50+20x=8×20xx=500这是一道统计与概率、解方程相结合的中考题，只要读懂统计图表即可求出相关概率、乒乓球门票的价格。你会读图吗？例4（08浙江杭州）小张根据某媒体上报道的一张条形统计图(如图),在随笔中写道:“……今年在我市的中学生艺术节上,参加合唱比赛的人数比去年激增……”.小张说得对不对?为什么?(请你用一句话对小张的说法作一个评价)________________________________.分析：表达形式具有开放性，只要说得合理，均可认为是正确答案。例如：说法一：这种说法不对，因为题中所呈现的条形统计图中，纵轴上的省略部分与显示部分比例失真，容易给人造成视觉上的误差。说法二：说得不对，因为小张只看到了图中显示的小长方形的高度，而忽视了纵轴上所对应的数据。本题不但要会读图、释图，而且要会对统计图中的信息作出判断，给出评价，有助于深入理解统计图并会初步运用，体现数学归纳能力和表达能力。概率与统计概率与统计部分内容约占总分15%左右，一般难度为基础题、中档题。这部分试题背景新颖朴实、与时俱进，既注重对基本概念、基本方法的考查，又关注对概率与统计知识本质及应用意识的考查，同时渗透概率与统计的数学思想。三、统计与概率【课标解读】1、统计1）强调对基本统计量的理解（如平均数、方差、众数、中位数、频数、频率等）。2）统计图表的分析和绘制。3）掌握用样本估计总体的思想。统计的应用，能解决简单的实际问题。2、概率1）理解概率的意义。2）会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。3）会设计等效模拟实验。【试题扫描】例1（08扬州）星期天上午，茱萸湾动物园熊猫馆来了甲、乙两队游客，两队游客的年龄如下表所示：甲队：年龄1314151617人数21412乙队：年龄34565457人数122311（1）根据上述数据完成下表：

平均数中位数众数方差甲队年龄1515

乙队年龄15

411．4（2）根据前面的统计分析，回答下列问题：①能较好地代表甲队游客一般年龄的统计量是；②平均数能较好地反映乙队游客的年龄特征吗？为什么？例2（08扬州）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．(1)小明认为，搅均后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？(2)搅均后从中一把摸出两个球，请通过列表或画树状图求两个球都是白球的概率；(3)搅均后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？【点评】本题考查了学生概率意识和用树状图分析预测概率这一核心技能,同时需要学生能在具体的问题情境中辨别区分两种基本的概率模型(不可重复事件和可重复事件),较好地考查了学生利用概率有关知识解决问题的意识和能力。例3（08贵阳）20．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球的次数m651241783024815991803摸到白球的频率m/n0.650.620.5930.6040.6010.5990.601（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近．（精确到0.1）（2）假如你摸一次，你摸到白球的概率．（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？例4(08宁夏)张红和王伟为了争取到一张观看奥运知识竞赛的入场券，他们各自设计了一个方案：张红的方案是：转动如图所示的转盘，如果指针停在阴影区域，则张红得到入场券；如果指针停在白色区域，则王伟得到入场券（转盘被等分成6个扇形．若指针停在边界处，则重新转动转盘）。王伟的方案是：从一副扑克牌中取出方块1、2、3，将它们背面朝上重新洗牌后，从中摸出一张，记录下牌面数字后放回，洗匀后再摸出一张．若摸出两张牌面数字之和为奇数，则张红得到入场劵；若摸出两张牌面数字之和为偶数，则王伟得到入场券．（1）计算张红获得入场券概率，并说明张红方案是否公平？（2）用树状图（或列表法）列举王伟设计方案的所有情况，计算王伟获得入场券的概率，并说明王伟的方案是否公平？需要提醒的是：从近年的中考试题走势看，对统计与概率的考查，一是强调对数据的收集整理的能力，二是突出统计思想的运用。【启发体会】培养习惯、夯实基础应是我们初中数学教学的首要任务。重基础重内涵重发展---------从中考试题走势谈课堂教学导向突出表现在：不回避常规题型—加强通性通法（常规方法）的考查；不回避容易的考点—强化对基础知识的考查不回避重要的考点—突出对核心内容的考查不回避联系生活的考点—重视对生活实际的考查从所占分值比例看：容易题(难度在0.7以上)、中等难度题(难度在0.4～0.7)、较难题(难度在0.4以下)所占分值的比例大约为7:2:1或6:3:1。从命题依据看：严格以《课程标准》为依据,以课本为主导.回归课本，每题在课本都能找到落脚点。一）重基础数学的基础知识、基本技能和基本思想方法是发展能力、提高学生数学素养的基础和依托，对学生后续学习意义重大。纵观各地中考试题，可见各地均突出了对学生基础知识、基本方法、基本数学思想的掌握及领悟的程度考查。二）重内涵新课程强调对学生的评价要从知识立意向能力立意转变，从近几年的中考试题看，数学味越来越浓，越来越注重对数学本质的考查。突出表现在对思想方法的考查。三）重发展今年的试题还有一重要特点，那就是重发展。具体表现在：一是对后续学习有支撑的内容明显增多（如代数式的变形、函数知识、算法的渗透等）；二是考查学生潜能的内容有所增加（几何证明要求的提高、数值规律的探索、现场学习解决问题等）走向及思考试题的主要特点今年的中考试卷强调了应用性，增加了探究性，注重了综合性。试题集“双基、实践、探究”于一身。注重基础，突出对基础知识、基础技能及基本数学思想方法的考查，有较好的教学导向性试题编排从最基本的知识开始，由易到难，缓慢提高。试题的起点非常低，使学生动手很容易，这体现了对学困生的人文关怀；同时试题的设置又具较明显的梯度，综合题入口宽而易，出口高。以选择题、填空题、解答题三种题型中的大部分题目都立足于考查初中数学的核心基础知识、基本技能及隐含于其中的基本数学思想方法，在考查三基时，注意结合现实背景，体现对数学本质理解的考查。初中数学中常见的函数与方程、数形结合、分类讨论题、待定系数法等数学思想方法在试卷中得到了充分的体现。同时大部分基础性试题都源于课本，将教材中的例题、习题，通过类比、加工改造、加强或弱化条件、延伸或扩展在落实三维课程目标的同时而形成的，体现了“人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”这一基本理念。试题的主要特点今年的中考试卷强调了应用性，增加了探究性，注重了综合性。试题集“双基、实践、探究”于一身。注重基础，突出对基础知识、基础技能及基本数学思想方法的考查，有较好的教学导向性试题编排从最基本的知识开始，由易到难，缓慢提高。试题的起点非常低，使学生动手很容易，这体现了对学困生的人文关怀；同时试题的设置又具较明显的梯度，综合题入口宽而易，出口高。以选择题、填空题、解答题三种题型中的大部分题目都立足于考查初中数学的核心基础知识、基本技能及隐含于其中的基本数学思想方法，在考查三基时，注意结合现实背景，体现对数学本质理解的考查。初中数学中常见的函数与方程、数形结合、分类讨论题、待定系数法等数学思想方法在试卷中得到了充分的体现。同时大部分基础性试题都源于课本，将教材中的例题、习题，通过类比、加工改造、加强或弱化条件、延伸或扩展在落实三维课程目标的同时而形成的，体现了“人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”这一基本理念。着眼于考查学生的基本的数学能力新课程强调对学生的评价要从知识立意向能力立意转变，突出了以下几方面：⑴注重学生对研究性学习与探究能力的考查。有效的数学学习不能单纯地依靠模仿与记忆，而是应该通过观察、猜想、验证、推理等数学活动，形成学生自己对数学知识的理解，从而使学生的知识内化，方法获得迁移，能力得以形成。不少试题从特殊到一般，再到特殊，就是要让学生从运动变化中探究不变的数学本质，再从不变的数学本质出发，寻求变化的规律，层层递进，环环相扣，使学生经历了问题探究的全过程，从而考查了学生分析问题、应用数学模型解决问题的能力。⑵注重学生对收集、处理信息能力的考查。收集、处理信息，进而解决问题是学生必备的一种能力，是现代信息社会对公民提出的基本要求，也是今年中考数学试题的一大特点。利用从各种相关材料中获取的信息解决问题，较好地体现了新课程的理念，强调了培养学生在现代社会中获取和处理信息能力的要求。⑶注重学生的动手实践能力的考查。培养学生的动手实践能力和创新意识是初中数学始终追求的目标，这类试题主要考查计算、归纳、猜想能力，关键是看学生能否对实践操作的要领、程序有较好地把握。试题的命制，稳定当中见变化变化1：客观题量在减少，尤其是选择题不少试卷明显在压减；变化2：几何证明要求有所提高；变化3：经过几年的课改实践，试题的命制日趋成熟，表现在从人为硬性编造情景到返璞归真还数学本来面目；变化4：对后续学习支撑较多的（如代数式的变形、应用性问题、方程与函数）、数学味浓的内容，试卷中明显增多。彰显新课程理念，突出新课程立意。这些题考查学生自主探索、自主发展的能力和归纳、类比、概括、推理、论证等思维活动的水平。新课程的评价更注重考查学生的观察能力、实际应用能力和探索创新能力。基于以上三点，我觉得平时的教学应做好以下几方面工作：1、紧扣教材，搞好核心内容的教学。教材凝聚了课程专家的心血，是当前最能体现新课程标准精神的课程资源，必须用好用足，吃透其精神。新课