一次函数与正比例函数 教学设计 北师大版数学八年级上册

一次函数与正比例函数【教学目标】知识技能：理解一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的表示方法；数学思考：经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符号意识；问题解决：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,掌握分析问题和解决问题的基本方法，发展学生的抽象思维能力；情感态度：在运用一次函数解决实际问题的过程中，认识数学的严谨性，体会数学的实际应用价值。【教学重难点】重点：理解一次函数和正比例函数的概念.难点：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.【教法与学法】教学方法：针对本节课内容采用学案导学、自主探究、合作探究、互动生成的教学方法.学法指导：本节课采用学生小组合作方式，面向全体，尊重差异，指导学生主动参与，体验成功，感受快乐.【教学过程】（导语：今天是XXX年XX月XX日，你的年龄又增长了一点点，在这个变化过程中，反映的是哪两个变量之间的关系？（时间和年龄）这两个变量之间的关系就是函数关系.）一、旧知再现（一）回顾思考1.什么是函数？2.函数的三种表示方法；3.常用公式及等量关系.【设计意图：学生通过对已有知识简单的回顾，为接下来的的学习做好铺垫。第一个问题是为一次函数的定义做铺垫；第二个问题是为一次函数各表示方法的互相转换打基础；第三个问题是为一次函数的实际应用提供列式依据。】（二）生活中的数学1.某种大米的单价是2.2元/kg，当购买xkg大米时,花费为y元，写出y与x之间的关系式;2.长方形的面积为10,长为b，宽为a,写出b与a之间的关系式;3.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：时间t(s)1234……距离s(m)14916……写出S与t的函数关系式；4.一棵树现在高50cm，每月长2cm，x月后这课树的高度为ycm，写出y与x之间的关系式；5.一辆汽车匀速行驶,它行驶的路程S(km)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示，请写出S与t的关系式;6.一盘蚊香105cm，点燃后每小时燃烧10cm，x小时后蚊香的长为ycm，写出y与x之间的关系式.（学生写出各关系式，教师巡视纠错后，直接展示各题答案，学生自行纠错）【设计意图：选取课本中的部分生活实际问题，涵盖各种形式：有文字叙述，有表格，有图象，让学生写出变量间的关系式，并做判断是否是函数关系，有四方面的意图。一是再一次在具体情境中复习函数关系，二是为接下来的探究环节提供素材，三是让学生初步感受三种函数表示方法间的互相转换，四是让学生体会数学在实际生活中的价值，达成部分教学目标。】二、合作探究（一）探索交流将下列函数关系式进行适当的分类，并说一说你分类的依据：（将上述关系式写在纸条上并贴在黑板上，学生自行按照某种标准分类后，请不同分类标准的学生将自己的结果展示在黑板上.）【设计意图：本环节的活动分三阶段进行，一是自主分类，二是组内交流，三是教师引导。通过分类活动，让学生学会自主探究与合作探究相结合，初步感受初中阶段学习的三类不同函数：一次函数、反比例函数和二次函数，既引出本节课的课题----一次函数与正比例函数，又体现了知识体系的完整性和连续性。】（二）一次函数、正比例函数的定义及两者关系一次函数：若两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k、b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量）特别地，当b=0时，即y=kx（k≠0），称y是x的正比例函数.提出问题：正比例函数一定是一次函数吗？【设计意图：对于分类后的一次函数，让学生通过观察找到关系式的共性，提炼出一次函数的定义之后，再进行二次分类，指出正比例函数是一次函数的特例。这样的设计，可以锻炼学生的逻辑思维和概括能力。两者关系的直观辨析，再次让学生明确两者的包含关系。】三、巩固新知1.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系；(3)某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池内有水ym3.2.某辆汽车油箱中原有油60L,汽车每行驶50km耗油6L.(1)写出耗油量y(L)与行驶路程x(km)的关系式___________；（或）(2)完成下表：汽车行驶路程x/千米050100150200300邮箱剩余油量P/升(3)油箱剩余油量P(L)与汽车行驶路程x(km)的关系式____________.【设计意图：本环节设置了两组练习。第一组练习来自课本的例1，因此组题目较为简单，加上在之前的环节中有过6道小题的练习，此组练习采用直接出示答案，小组长带领组内解决问题的方式处理。第二组练习改编自课本的引例，其中的第一问是解决问题的关键，因此这一小问采用教师引领集中解决的方式来处理，可先让学生自主思考，再在全班面前说思路并作解释。两种不同的思路来解决问题，也让学生体会思维的多样性。第二三两问让学生感受表格法和关系式法之间的关联。本环节通过两组题目的练习，再次加深对一次函数的认识。通过小组合作学习，让学生学会互帮互助，共同提高。】四、应用迁移（一）例题分析自10月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收3%所得税；……如某人月收入6960元，他应缴个人工资、薪金所得税为（6960－5000）×3%=58.8（元）.(1)当月收入大于5000元而又不超过8000元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式.(2)某人月收入为5760元，他应缴所得税多少元？(3)如果某人本月应缴所得税84元，那么此人本月工资、薪金是多少元？(4)某工厂工人按照工种，月收入在4000元—8000元之间，写出工人应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式.【设计意图：例题根据实际改编自课本例2，首先引导学生划重点语句来审题，其次引导学生关注自变量x的取值范围，第三要注意列关系式的书写规范、代入求值的格式；第（3）问要引导学生先由所得税来判断自变量x的取值范围；第（4）问中让学生体会分段函数和常量函数。借助例题的解决，再次让学生感受数学与我们的生活息息相关，同时也让学生体会数学是一门严谨的学科，培养学生的严谨性。】（二）挑战思维小明根据某个一次函数关系式填写了下表:x-2-101y3-1-3其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该空格里原来填的数是多少？解释你的理由。【设计意图：学生可由x的变化规律所引发的y的变化规律找到答案。借用此题引导学生思考表格法、关系式法、图象法之间可能存在的关系，为下节课一次函数的图象做铺垫。】五、总结反馈（一）、课堂小结本节课你有哪些收获？【设计意图：学生通过回顾梳理本节课所学的知识，所掌握的方法，所得到的提升，所存在的困惑，为后续的学习总结经验。】（二）、课堂检测下列函数中，y是x的一次函数的有_________①y=0.5x+6②y=2x2+3③y=3-2x④⑤y=5x⑥y=3x22.某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm,则弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的关系式为___________.【设计意图：当堂完成检测，并直接给出答案自批自改后统计通过率，掌握本节课基础知识掌握情况，为下一节课依据学情备课提供参考。】六、布置作业必做：练习册P81随堂练习2P82习题4.22、3

选做：P82习题4.25【设计意图：课后分层作业的布置，是希望让不同层次的学生都能学有所获。】【教学设计总体思路】新课程标准指出：“展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发展和创造过程，了解知识的来龙去脉”。基于此，本节课设计以教材提供的素材和学生实际生活中的一些具体问题为载体，使学生经历由实际问题抽象出数学问题及通过对数学问题的研究解决实际问题的过程，让学生充分感受到数学来源于生活、服务于生活，感受一次函数在解决实际问题中的作用。本节课将课本素材进行