课题学习－最短路径问题 导学案 人教版八年级数学上册

人教版八年级数学上册导学案第十三章轴对称13.4课题学习－最短路径问题【学习目标】1．掌握利用轴对称解决简单的最短路径问题。2．理解图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。3．通过对这个实际问题的解决，体会数学的应用价值。【课前预习】1．一个等腰三角形的周长为40cm,以一边为边作等边三角形,这个等边三角形周长为45cm,那么这个等腰三角形的底边长为()A．15cmB．10cmC．30cm或10cmD．15cm或10cm2．下列命题中,不正确的是()A．关于某条直线对称的两个三角形全等B．若两个图形关于直线对称,则对称轴是对应点连线的垂直平分线C．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的平分线重合D．两个全等的三角形不一定是轴对称图形3．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．124．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.55．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（）A．2 B．4 C．5 D．6【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题1.两点之间，_______最短。2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中_______最短。3．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_________。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_____。4．平移性质：(1)平移前后图形的形状和大小________。(2)对应点连线___________。5.（1）如图，已知直线L的两侧有两村庄A、B，若要在L上找一点到两村庄的路程最短，应怎样选址？（2）如图，已知直线L的同侧有两村庄A、B。①若要在L上找一点到两村庄的路程相等，应怎样选址？②若要在L上找一点到两村庄的路程最短，应怎样选址？造桥选址问题：如图，A、B两地在綦河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。互学探究探究（一）最短路径问题1.从课本P85我们可以知道：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的即为所求。2.自学反馈：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M.N分别表示位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M.N的距离之和最短？探究（二）运用轴对称解决距离最短问题直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的，连接对称点与另一个点，则与该直线的即为所求．2.自学反馈：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M.N分别表示位于公路AB的同侧，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M.N的距离之和最短？探究（三）利用平移确定最短路径选址1.解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题。2.自学反馈：如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？课堂小结（一）最短路径问题。（1）求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求。（2）求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求。（二）运用轴对称解决距离最短问题。运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同。（三）利用平移确定最短路径选址。解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题。【课后练习】1．如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．132．如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（）A．55° B．56° C．57° D．58°3．如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小，则的度数为（）A． B． C． D．4．如图，在中，点、、的坐标分别为、和，则当的周长最小时，的值为（）A．0 B．1 C．2 D．35．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（）A．15° B．25° C．30° D．45°6．如图，ΔABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC+PE的和最小时，∠ACP=_____．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是_____．8．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．9．如图，在中，AB＝AC，BC＝4，面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则PBF周长的最小值为__________．10．如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AB的垂直平分线E