中考数学第三轮复习 第五讲 三角形 讲义

必备拿分技巧–三角形A|近五年各模块考查情况B|高频考点分析三角形的知识点覆盖考点一：直角三角形考点二：全等三角形考点三：相似三角形考点1直角三角形(一)“勾3股4弦5”型 (二)“1、1、”型 (三)“1、2、”型在RtΔABC中，∠C=90°

AB=3，AC=1.8，求BC.策略：总结归纳出解题模型来解答勾股定理中的计算问题，可以提高计算的速度，还可以利用三角函数的定义来求出特殊角的三角函数值，对于等腰三角形需要背得它的性质与判定，结合分类讨论的思想来解题.例1．已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA=EC．若AB=6，，则DE的长是________．策略：勾股定理与方程思想解决计算问题.预测：如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF=．考点2全等三角形(一)对称型将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合,这种类型都隐含了一条公共边或者公共角.例1.如图，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D．(二)旋转型将原图形绕某一点转一定角度，这种类型都隐含了一个相等角.例2.(本小题满分6分)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2.求证：BC=DE.(三)平移型将原图形沿着某一方向移动一段距离，这种类型都隐含了一段重叠的线段.例3.如图，点E、C在线段BF上，BE=CF，AB=DE,AC=DF.求证：∠ABC=∠DEF.平移旋转型例4.如图，E、F是线段BD上的两点，且DF=BE，AE=CF，AE//CF，求证：AD//BC.策略:注意标注图形，背得全等三角形的判定.预测1：平移型全等如图，点A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，CE与BF交于点O，∠E=∠EOF=∠F，求证：CE=DF.预测2：旋转型全等如图，AE和BD相交于点C，AB//DE，AC=EC.求证：△ABC≌△EDC.例5.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为l．(1)若△ABE的面积为30，直接写出S的值；(2)求证：AE平分∠DAF；(3)若AE=BE，AB=4，AD=5，求l的值.全等辅助线策略：注意关键信息中点：倍长中线；A=B+C/A–B=C型条件、结论：截长补短预测3如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．(1)求证：CE=CF；(2)如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．考点3相似三角形相似三角形提分策略：相似在中考解答题中一般不单独考查，它作为一个工具综合四边形、函数、圆，但首先要掌握相似三角形的判定和性质，通过刷题归纳总结出相似三角形的模型，提高学生解答相似三角形相关知识的能力，特别在解答压轴题中随时考虑到三把火之一的相似三角形知识.相似模型“A型”“X型”例1．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE//BC，，则=________.例2．如图，已知AB//CD，若，则=______.相似模型“K型”例3．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点(DP<CP)，∠APB=90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN//MP交DC于点N．(1)求证：AD2=DP·PC；(2)请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；(3)如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若，求的值．预测：已知，如图1，将△AED绕点E旋转180°得到△BEF，延长FB到点C，使得BC=FB，连接DC．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)如图2，点G是边BC上任意一点(点G与点B、C不重合)，连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK//HC，交DF于点K．①求证：HC=2AK；②当点G是BC边中点时，恰有HD=n·HK(n为正整数)，求n的值．必备拿分技巧–三角形考点1直角三角形例1．当点E在CD上： 当点E在AB上 预测：6考点2全等三角形(一)对称型例1.证明：在△ABC与△ADC中∴△ABC≌△ADC(SSS) …5分∴∠B=∠D …6分(二)旋转型例2.证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，又∵AB=AD，∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE(ASA)，∴BC=DE.(三)平移型例3.思路：由BE=CF得BC=EF，再结合已知条件证得△ABC≌△DEF，可得∠ABC=∠DEF.平移旋转型思路：由DF=BE得DE=BF，由AE//CF得∠AEF=∠EFC，再由等角的补角相等得∠AED=∠CFB，结合已知条件证得△DEA≌△BFC，可得∠D=∠B，从而AD//BC.预测1：平移型全等证明：∵∠E=∠EOF=∠F，∴AE//BF，CE//DF，∴∠A=∠FBD，∠ACE=∠D，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，∴△ACE≌△BDF(ASA)，∴CE=DF.预测2：旋转型全等证明：∵AB//DE，∴∠A=∠E,∠B=∠D

在△BAC与△DEC中∴△BAC≌△DEC(AAS)例5.(1)S=60解：(2)(倍长中线法)延长AE交BC延长线于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE，∵E为CD的中点，∴CE=ED，∴△ADE≌△HCE，∴AD=HC，AE=HE，∴AD+FC=HC+FC又∵AF=AD+FC，∴FH=HC+FC=AF，∴∠FAE=∠CHE，又∠DAE=∠CHE，∴∠DAE=∠FAE，∴AE平分∠DAF；(截长补短法)延长FC至点H，使得HC=AD，连结EH∵E为CD的中点，∴CE=ED，∠ADE=∠HCE，AD=HC，∴△ADE≌△HCE，∴∠DAE=∠CHE，∠AED=∠CEH∵AF=AD+FC，FH=HC+FC=AD+FC∴AF=FH∴∠FAE=∠CHE，又∠DAE=∠CHE，∴∠DAE=∠FAE，∴AE平分∠DAF；预测3(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，∵点E、F分别为AB、AD的中点，∴，，∴BE=DF，在△BCE和△DCF中，∴△BCD≌△DCF(SAS)，∴CE=CF；(2)证明：延长BA与CF，交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF//BC，AB//CD，∴∠G=∠FCD，∵点F为AD的中点，且AG//CD，∴AG=CD=AB，由(1)知△BCE≌△DCF，∴∠ECB=∠DCF，∵∠CHB=2∠ECB，∴∠CHB=2∠G，∵∠CHB=∠G+∠HCG，∴∠G=∠HCG，∴GH=CH，∴CH=AH+AG=AH+AB．考点3相似三角形相似模型“A型”“X型”例1．例2．相似模型“K型”例3．(1)证明：在矩形ABCD中，∠D=∠C=90°，AD=BC，∵∠APB=90°，∴∠3+∠1=∠3+∠2，∴∠1=∠2∴△ADP∽△PCB，∴，又∵AD=CB∴AD•CB=AD2=PC•DP(2)四边形PMBN是菱形，证明：在矩形ABCD中，PN//MB，又∵PM//BN，∴四边形PMBN是平行四边形，又由折叠得∠3=∠4，∴∠4+∠6=∠3+∠1=90°，∴∠1=∠6，∵PN//MB∴∠1=∠5，∴∠6=∠5∴MP=MB∴平行四边形PMBN是菱形.(3)∵，设DP=a，则AD=2a，∵AD2=DP·PC，∴PC=4a，AB=DC=5a，∵CP//AB，∴△PCF∽△BAF，∴，