《1直线的方程》案例

《直线的方程》教学案例一、教学目标知识与技能了解平面解析几何的概念、研究的基本思想方法以及研究的主要对象等；理解直线的方程和方程的直线（图形）的概念；知道直线方向向量的概念；初步掌握直线的点方向式方程。2、过程与方法通过在直角坐标平面上对直线的代数表达形式的寻找，初步体会在平面解析几何中研究满足某种条件的点的轨迹（集合）的一种重要的方法——直接法求动点轨迹的一般步骤。初步体会平面解析几何中求动点轨迹应注意的两个方面：纯粹性和完备性。掌握过已知点且平行于非零向量的直线方程的求法，理解在什么情况下直线的方程才可以写成直线的点方向式方程。3、情感态度与价值观通过平面解析几何有关概念和在数学学科中的作用与地位等的介绍，感受数学的博大与美妙。通过直线的方程和方程的图形（直线）概念的学习，体会数学的严谨。二、教学重点、难点重点：直线的点方向式方程难点：利用定义验证直线是方程的直线，方程是直线的方程。三、教学过程（一）平面解析几何简介今天开始我们将一起学习数学中全新的一个分支——平面解析几何。（1）什么是解析几何？用代数方法研究几何问题的一门学科。（2）构成平面图形的基本元素有哪些？点、直线、曲线（重点是圆锥曲线）（3）研究的主要方法是什么？主要是用代数方法来研究。（二）新课平面几何的基本图形是:点与线;因此我们就从直线切入。1、直线的方程与方程的直线首先我们应该知道怎样才能确定一条直线？答案无外乎两种：（1）经过两点可以确定一条直线；（2）经过一点并给定一个方向。请判断下列两命题的真假：(1)过一定点与已知直线平行的直线有且仅有一条（）(2)过一定点与已知非零向量平行的直线有且仅有一条（）答：(1)是假命题。反例：定点在已知直线上。（2）无法判断。因为没有直线与非零向量平行的定义，如果用类似非零向量与非零向量平行定义的方法来补充直线与非零向量的平行，那么可以定义为：直线与非零向量所在的直线平行或重合即直线与非零向量平行。在此定义的前提下(2)是正确的。命题(2)中的非零向量实质是给定一个方向。接下来我们就来学习如何求“过一定点与已知非零向量平行的直线”的方程我们把这个问题放到平面直角坐标系中考虑，设，非零向量，过且与平行的直线为，则对上的任意点，都有∥设点的坐标为(),可得，由向量平行的充要条件得：①或反之，如果是方程①的任意一个解，即：那么把坐标为的点作为终点，把作为起点的向量与向量平行，由直线的唯一性得：点在直线上。因此，直线上的所有点的坐标()都满足方程①，（完备性）而以方程①的所有解（）为坐标的点都在直线上。（纯粹性）这样直线上的所有点与方程①的所有解之间就建立了一一对应的关系。我们把方程①叫做直线的方程，直线叫做方程①的图形，把与直线平行的非零向量叫做直线的方向向量。注意：直线的方向向量有无穷多个，向量只是其中的一个。2、直线的点方向式方程关于方程①的变式：若均不等于0，方程①可改写为：②,我们把方程②叫做直线的点方向式方程（也叫直线的标准方程）。如果向量的坐标中有一个为零，直线的方程和图象如何呢？因为为非零向量，所以不可能均等于0。若,方程①可改写为：,表示一条垂直于x轴的直线；若，方程①可改写为：，表示一条垂直于y轴的直线。3、反馈与练习思考题：（1）坐标平面上的任意一条直线是否都有它的方程？(有)（2）坐标平面上的任意一条直线是否都有它的点方向式方程？(不一定，须满足均不为0)例1、已知三点，求经过点且与平行的直线的点方向式方程。解：如图，由题意知，直线经过点，它的一个方向向量，所以直线的点方向式方程为。例2、求经过点和点的直线的点方向式方程。解：因为直线经过、两点，可知它的一个方向向量为，而，所以直线的点方向式方程为。思考：是否是直线的点方向式方程？直线的点方向式方程还有其它形式吗？如果有，有多少个呢？巩固练习：1、书后练习/12、已知直线经过点，且，（1）若，则直线的方程为：；（2）若，则直线的方程为：；（3）若，则直线的方程为：。（三）课堂小结：1、直线的方程与方程的直线。2、直线的方向向量，要注意，直线的方向向量有无穷多个。3、直线的点方向式方程，求直线的点方向式方程的方法与步骤:=1\*GB3①先确定一个方向向量和一个点；=2\*GB3②然后按公式形式写出即可。（四）作业布置：1、阅读课本，理清概念；完成书上练习2、3；习题册练习题。（五）教学设计说明：1、知识体系必须具有完整性，本节课，作为平面解析几何的第一节课，让学生简单了解解析几何的研究对象及研究方法是很重要的，所以在讲授新课之前，我选择了先简单介绍解析几何。2、直线方程的种类比较多，但确定一条直线实质上只有两种方法，一个是给出直线上的相异两点，另一个就是给出直线上的一个点及直线的一个方向向量，所以，为了避免这个问题在今后混淆，这节课我在学生第一次接触这个概念时，就先来讲清楚这个问题，对于学生今后知识技能的系统化打好基础。3、直线的点方向式方程是本节课的重点，是务必要落实的一个知识点，同时也能为今后研究直线方程的其它形式作好铺垫，所以，在研究方法和具体的解题步骤上，我都作了详尽的分析，力争从各个不同的侧面分析问题，抓住问题的本质。（六）教后反思通过本节课的教学实践，我再次体会到：课堂上的真正主人是学生，教师只是一名引导者、参与者。这节课，我在不同的时间分别设置了不同的问题，学生们在逐步回答这些问题的过程中，也就自然地把这堂课学完了，可以说是真正地成为了课堂的主人，学生们有了积极的情感体验，课堂效率得到了提高。课堂教学过程中，我努力使各知识点让学生通过探索发现，让学生充分经历探索与发现的过程。教学中没有将重点放在大量的练习上，而是定位在知识形成