《变化率与导数》设计4

《变化率与导数》教学设计教学目的1.了解导数概念的实际背景．2.理解导数的几何意义．3.能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)的导数．4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．5.能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.教学重点1.理解导数的几何意义．2.能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)的导数．3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.4.能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.教学难点能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.教学方法讲授法、问题推动教学课时1课时教学设计备注【教学过程】激趣激疑，引出课题情境一：教师手执两枚乒乓球，一枚拿稳、一枚抛动提问：两枚乒乓球是否相同？它们有何区别？回答：一枚是静止的，一枚是运动的T：但古希腊的大哲学家芝诺却不这么认为，他认为两枚乒乓球是一样的，因为在某个瞬间给它们拍照，它们的状态是一模一样的（在0时间里，位移为0）．现代物理学告诉我们，这两枚乒乓球不一样，因为一个的瞬时速度为0，一个不为0．那怎样求一个物体的瞬时速度呢？引例分析，思想奠基引例1：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=－2＋＋10．计算运动员在这段时间里的平均速度．解答：平均速度为0．点评：平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度．问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？回答：利用平均速度逼近瞬时速度问题二：怎样利用平均速度逼近瞬时速度？回顾点拨：利用有理指数幂逼近无理指数幂，利用“二分法”逼近函数零点．师生合作，共同探究情境二：小组活动，计算平均速度……问题三：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？ΔtΔt-13009951生甲（口答）：完成表格左边数据生乙（口答）：完成表格右边数据生丙：（观察并口答）在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值，即瞬时速度．练习：求在t=1及时刻，运动员的瞬时速度．解：；．问题四：运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示呢？回答：．问题拓展，深化概念T：由上节课我们知道，速度是位移的变化率，那么瞬时速度就是位移的瞬时变化率，你能求出一般情况下的瞬时变化率吗？引例2：气球体积V（单位：L）与半径（单位：dm）之间的函数关系是当空气容量从增加到时，气球的平均膨胀率为你能写出气球在体积时的瞬时膨胀率吗？回答：．一般地，函数在处的瞬时变化率是我们称之为函数在处的导数，记作或，即．T：导数就是瞬时变化率，瞬时变化率是平均变化率的逼近．古希腊大哲学家芝诺无法理解这种逼近，他只知道瞬间可以堆积成永恒，殊不知永恒也可以通过逼近来表现瞬间，这就是唯物辨证论；人类用了几千年，直到17世纪的工业革命，人们才逐渐认识到这种逼近．一旦认识到这种逼近，我们才定义了导数的概念——导数是研究变化的一种强有力的工具！一、导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：_____________________________称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点_______处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为____________:2．函数f(x)的导函数:_______________________________称函数为f(x)的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f(x)＝xn(n∈Q*)f(x)＝sinxf(x)＝cosxf(x)＝axf(x)＝exf(x)＝logaxf(x)＝lnx三、导数的运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝________________________；2．[f(x)·g(x)]′＝_________________________3.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝_______________________________．4.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．利用导数的定义求函数的导数由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．(3)复合函数求导的关键是分清函数的复合形式，其导数为两层导数的积，必要时可换元处理．导数的几何意义[例3](1)(2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9 (2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．－eq\f(1,4) B．2C．4 D．－eq\f(1,2)若例3(1)变为：曲线y＝x3＋11，求过点P(0,13)且与曲线相切的直线方程．由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k