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“大衍求一术”源流中国南北朝时有部《孙子算经》，其卷下第26问是这样的：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之乘三，七七数之剩二，问物几何。答曰：23。术曰：三三数之则剩二，置140；五五数之剩三，置63；七七九之剩二，置30；并之得233，以210减之，即得。凡三三数之剩一，则置70；五五数之剩一，则置21；七七数之剩一，则置15；106以上，以105减之，即得。到宋代，民间有诗流传：“三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇；七度上元重相会，寒食清明便可知。”是隐喻上述问题的解法，读者只需注意诗中“上元”指农历正月十五，“寒食”指清明的前一天，而冬至后105天不是清明就是寒食。到明代，程大位《算法统宗》（1593）中载有：“物不知总，孙子歌曰（又云韩信点兵也）：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”也是把上述问题解法中的关键性数字，编排在一首打油诗中。这一首题与两首诗，究竟是怎么回事？仔细琢磨，我们就会明白。《孙子算经》中的“物不知其数”题，是很著名的数论问题，可以表示成求解如下一次同余式组：也可以表示成求解如下不定方程组：其解法在《孙子算经》的“术”中也给出来了：又可以进一步指明：这里三数剩二对应70，五数剩三对应21，七数剩二对应15，以及105等都在诗句中出现。实际上这个结果还能写成其中只有2、1、1三个数没有出处可交待，或者说这三个数如何确定尚不清楚。到1247年南宋数学家秦九韶在《数书九章》一书中，解决了这个问题，并称其为“乘率”。秦九韶在总结前人成果的基础之上，提出“大衍总数术”，从数的理论的角度，总结了求解一次同余式组的一般方法。对于一般的一次同余式组：前面介绍的都是Ai两两互素的情形，而且解答中的N是取最小正数。秦九韶将此推广到Ai未必互素的一般情形，所以他的“大衍总数术”包括两大部分：其一，将｛A1，A2，…An｝化为两两互素的｛A1，A2，…An｝，即将（*）转化为这叫做化问数Ai为定数ai；其二，求解得乘率，从而可得其中，所得余，P为适当非负整数，使N＜M。求乘率的方法叫做“大衍求一术”，这是关键！秦九韶的结论，被国际数学界誉为“中国剩余定理”。其实，秦九韶的方法当时还有些不够严密的地方，表述也很晦涩，因而，秦九韶之后，在中国有不少数学家对他的方法进行了一系列的训诂、改进，尤其是清代学者张敦仁、骆腾凤、时日醇、黄宗宪等在这方面做出了贡献。在西方直到欧拉、拉格朗日、高斯才对此问题进行了较为深刻的研究，高斯的方法与秦九韶的方法非常相同，不过那已是19世纪了。我们不防用秦九韶的方法完整地解一道题求“定数”：化15、8、25为3、8、25，其中要满足3、8、25两两互素，3×8×25的最小公倍数，且

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