最新北师大版九年级数学上册第六章反比例函数63反比例函数的应用

6.3

反比例函数的应用yx4647O北师大版九年级数学上册1.反比例函数的性质:反比例函数的图象，当k>0时,图象位于第一、三象限，在每一象限内，y的值随x的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、四象限，y的值随x的增大而增大．2.双曲线的两条分支逼近坐标轴但不可能与坐标轴相交.3.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形．4.在反比例函数的图象上任取一点,分别作坐标轴的垂线（或平行线）与坐标轴所围成的矩形的面积S矩形=|k|．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务．你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么由p＝得p＝p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数．(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？当S＝0.2m2时，p＝＝3000(Pa)．答：当木板面积为0.2m2时压强是3000Pa．(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．图象如下当p＝6000Pa时，S＝＝0.1()．0.10.5O0.60.30.20.4100030004000200050006000P/PaS/利用图象对（2）和（3）做出直观解释．(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释,并与同伴交流.【解析】问题(2)是已知图象上的某点的横坐标为0.2,求该点的纵坐标;问题(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000,求这些点所处位置及它们横坐标的取值范围.实际上这些点都在直线p=6000下方的图象上.蓄电池的电压为定值.使用此电源时,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示：(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？【解析】(1)由题意设函数表达式为I＝∵A(9，4)在图象上，∴U＝IR＝36．∴表达式为I＝．即蓄电池的电压是36伏．【跟踪训练】R／Ω345678910I／A1297.2636/74.543.6(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？【解析】当I≤10A时,解得R≥3.6(Ω).所以可变电阻应不小于3.6Ω．【例】如下图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(，2)．(1)分别写出这两个函数的表达式.(2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？与同伴进行交流．分析：要求这两个函数的表达式，只要把A点的坐标代入即可求出k1，k2．求点B的坐标即求y＝k1x与y＝的交点．【例题】(2)B点的坐标是两个函数组成的方程组的另一个解.解得x=，.所以所求的函数的表达式为:y=2x,和y=—；6x【解析】(1)把A点坐标分别代入y=k1x,和y=—解得k1=2.k2=6；xk2某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将满池水全部排空.(1)蓄水池的容积是多少?【解析】蓄水池的容积为:8×6=48(m3).(2)如果增加排水管,使每时的排水量达到Q(m3),那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化?【解析】此时所需时间t(h)将减少.(3)写出t与Q之间的函数关系式;【解析】t与Q之间的函数关系式为:．【跟踪训练】(4)如果准备在5h内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少?【解析】当t=5h时,Q==9.6(m3).所以每小时的排水量至少为9.6m3.(5)已知排水管的最大排水量为每小时12m3,那么最少多长时间可将满池水全部排空?【解析】当Q=12(m3)时,t==4(h).所以最少需4h可将满池水全部排空.1.（綦江·中考）有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V=2m3时，气体的密度是_______kg/m3．OV（m3）42（kg/m3）【解析】先求出反比例函数的解析式，再由V＝2m3计算密度.【答案】42.小丽是一个近视眼，整天眼镜不离鼻子，但自己一直不理解自己眼镜配制的原理，很是苦闷，近来她了解到近视眼镜的度数y（度）与镜片的焦距x（m)成反比例，并请教了师傅了解到自己400度的近视眼镜镜片的焦距为0.2m，可惜她不知道反比例函数的概念，所以她写不出y与x的函数关系式，我们大家正好学过反比例函数了，谁能帮助她解决这个问题呢？问题（1）题目中告诉我们什么？变量间是什么关系？（2）当我们知道是什么关系时应该怎么做？（3）怎么计算出关系式？告诉我们度数与焦距成反比例，反比例关系设出反比例函数关系式的一般式y=3．（嘉兴·中考）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40,1)和B(m,0.5)．（1）求k和m的值；（2）若行驶速度不得超过60（km/h），则汽车通过该路段最少需要多少时间？【解析】（1）将（40,1）代入，

下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?

①②③④

⑤⑥⑦⑧

y=3x-1y=2x2y=2x3y=x1y=3xy=32xy=13xy=x1

小试牛刀挑战“记忆”3、在下列函数中，y是x的反比例函数的是（）

（A）（B）+7

（C）xy=5

（D）4、已知函数是正比例函数,则m=__；

已知函数是反比例函数,则m=___。y=8X+5y=x3y=x22y=xm-7y=3xm-7C86x-1=x1

小试牛刀温故知新1.函数的图象在第_____象限，在每个象限内，y随x的增大而_____.2.双曲线经过点（-3，___）y=

x5y=13x3.函数的图象在二、四象限，则m的取值范围是____.4.对于函数，当x<0时，y随x的_____而增大，这部分图象在第____象限.5.函数,y随x的减小而增大，则m=____.y=12xm-2xy=y=(2m+1)xm+2m-162二,四减小m<2三3增大91xy

小试牛刀温故知新

3、已知甲,乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地.如果汽车每小时耗油量为aL,那么从甲地到乙地的总耗油量y(L)与汽车的行驶速度v(km/h)的函数图象大致是().o(1)(2)(3)(4)

V(km/h)Y/LoV(km/h)Y/LoV(km/h)Y/LoV(km/h)Y/L3

做一做耗油过程中的数学请“图象”帮忙人均产量中的数学

4、某村的粮食总产量为a(a为常数),设该村粮食的人均产量为y(吨),人口数为x(人),则y与x之间的函数图象大致是().(1)(2)(3)(4)x/人ooooY/吨Y/吨Y/吨Y/吨x/人x/人x/人3

做一做面积计算中的函数

5、已知圆柱的侧面积是10πcm2,若圆柱底面半径为rcm,高为hcm,则h与r的函数图象大致是().o(1)(2)(3)(4)r/cmh/cmor/cmh/cmor/cmh/cmor/cmh/cm3

做一做知识方法结“网络”由k<0可知,两个函数的图象在第二,四象限,故可选(2),(4);再由y=k(x-1)=kx-k得-k>0,即一次函数与y轴的正半轴相交,

因此选(2).观察与发现“慧眼”辩真伪xyoxyoxyoxyo(1)(2)(3)(4)

做一做已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数

的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是:12函数

（k为常数）图象上有三个点（-2，y1），(-1，y2)，（，y3），函数值y1，y2

，y3的大小为：.

小试牛刀学以致用复习题(B)组1.考察函数的图象,

当x=-2时,y=

,

当x<-2时,y的取值范围是

;

当y≥-1时,x的取值范围是

.

做一做复习题(B)组2.函数y=ax-a与在同一条直角坐标系中的图象可能是

:xyoxyoxyoxyo(1)(2)(3)(4)(4)

做一做xyoxyoxyoxyo(1)(2)(3)(4)

(3)(2)(4)(1)

做一做复习题(C)组如图,点P是x轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ,交双曲线于点Q,连结OQ,当点P沿x轴正半方向运动时,Rt△QOP面积()

A.逐渐增大

B.逐渐减小

C.保持不变

D.无法确定xyopppppppppc如图所示，A（x1

，y1）、B（x2

，y2）、C（x3

，y3）是函数y=的图象在第一象限分支上的三个点，且x1＜x2

＜x3

，过A、B、C三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH、BEON、CFOP，它们的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论中正确的是()11xA、S1<S2<S3

B、S3<S2<S1

C、S2<S3<S1

D、S1=S2=S3D例1如图：一次函数y=ax+b的图象与反比例函数

y=交于M（2，m）

、N（-1，-4）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。yxkx20-1N（-1，-4）M（2，m）（1）求反比例函数和一次函数的解析式；yx20-1N（-1，-4）M（2，m）解：（1）∵点N（-1，-4）在反比例函数图象上

∴k=4,∴y=

又∵点M（2，m）在反比例函数图象上∴m=2∴m（2，2）∵点M、N都y=ax+b的图象上∴解得a=2，b=-2∴y=2x-24xyx20-1N（-1，-4）M（2，m）（2）观察图象得：当x<-1或0<x<2时，反比例函数的值大于一次函数的值（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。例2、已知反比例函数与一次函数y=-x+2的图象交于AB两点

(A点在第二象限,B点在第四象限).(1)求A.B两点的坐标;(2)求△AOB的面积.y=8X

小试牛刀学以致用AyOBxMNAyOBxMNCDAyOBxMNCD例3、已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,并且当x=1

时,y=7;当x=4时,y=13.(1)求y关于x的解析式,(2)当x=-1时,求y的值.

小试牛刀学以致用例4、如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与

x轴.y轴分别交于A.B两点,且与反比例函数

Y=m/x(m≠0)的图象在第一象限内交于C点,CD

垂直于x轴,垂足为点D,若OA=OB=OD=1.(1)求点A.B.D的坐标;(2)求一次函数和反比例函数的解析式DBACyxO

小试牛刀学以致用例5：已知一次函数

和反比例函数（k≠0）。