数值计算第5章N-C公式

第5章数值积分与数值微分Newton-Cotes公式微积分学---“人类精神的卓越胜利”微积分就是微分运算和积分运算这两种互逆运算方法的合称，就像加法与减法，乘法与除法是互逆运算一样，但微积分的运算法则要比加减乘除，乘方，开方等运算复杂得多，现在已成为高等数学的核心内容。

为什么要数值积分？在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数f(x)☞有解析表达式；☞f(x)的原函数F(x)为初等函数．Whydowedonumericalintegral?问题☎f(x)没有解析表达式，只有数表形式e.g.x12345f(x)44.5688.5☎f(x)有表达式，但原函数不是初等函数e.g.它们的原函数都不是初等函数.☎f(x)原函数表达式很复杂，计算量很大e.g.讨论数值积分的必要性更一般地，我们可以在区间[a,b]上选取某些节点4.-----(1.3)数值求积的方法是近似方法，要保证精度，我们自然希望求积公式对尽可能多的函数准确地成立，因此定义代数精度的概念:P98-99考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式/*trapezoidalrule*/解：逐次检查公式是否精确成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代数精度=1例1.试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.解:因此所以该积分公式具有3次代数精确度各节点为Cotes系数注：Cotes系数仅取决于n和i，可查表得到。与f(x)及区间[a,b]均无关。梯形公式时，——3/8公式例用n=6的牛顿－柯特斯公式计算定积分值解：将积分区间[0,1]划分为n份，得到节点列为在这些节点处的函数值为则n=6的牛顿－柯特斯公式为Simpson公式及其余项Cotes系数为求积公式为上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式记为Simpson公式的余项为Simpson公式具有3次代数精度Cotes公式及其余项Cotes系数为求积公式为上式称为Cotes求积公式，也称五点公式记为Cotes公式的余项为Cotes公式具有5次代数精度思考使用n次Lagrange插值多项式的Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度,并且n为偶数时至少具有n+1次代数精度.考察Cotes系数因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由其值可以精确给定记而理论值为定义2在机械求积公式中，若其中则称机械求积公式是收敛的。使用机械求积公式计算得到的近似值记为记为误差舍入误差充分小这表明求积公式计算是稳定的。定义3对任给只要成立，就称机械求积公式是稳定的。若就有定理2：若机械求积公式中的系数则此求积公式是稳定的。证：4.3复化求积公式直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大公式的舍入误差又很难得到控制为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复化方法然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式最后将每个小区间上的积分的近似值相加复化Simpson公式：=

Sn注：为方便编程，可采用另一记法：令n’=2n为偶数，这时，有复化求积公式的余项和收敛的阶我们知道,三个求积公式的余项分别为单纯的求积公式复化求积公式的每个小区间则复合梯形公式的余项为由于即有例用复化Simpson公式计算积分的近似值，并估计误差。（取n=5）解：n=5，h=(1-0)/n=0.2，节点列为则复化Simpson公式为截断误差估计：理查德森外推法/*Richardson’sextrapolation*/利用低阶公式产生高精度的结果。设对于某一h

0，有公式T0(h)近似计算某一未知值I。由Taylor展开得到：T0(h)I=1h+2h2+3h3+…i与h无关现将h对分，得：()()()...)(3232222120+++=-hhhhITaaaQ：如何将公式精度由O(h)提高到O(h2)？...432112)()(23322020---=---hhIhTThaa即：求积公式