山东省潍坊市平和中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析

山东省潍坊市平和中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是(

)A.在平面内有且只有一条直线与直线垂直B.过直线有且只有一个平面与平面垂直C.与直线垂直的直线不可能与平面平行

D.与直线平行的平面不可能与平面垂直参考答案：B2.已知复数，则|z﹣1|为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的乘法法则，化简即得．【解答】解：复数===﹣i，∴z﹣1=﹣i，∴|z﹣1|=，故选：A3.曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是（）A．4 B． C．3 D．2参考答案：C【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，可得曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是3=3sinx，计算求的结果．【解答】解：由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是3=3sinx=3，故选：C．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，属于基础题．4.若n>0,则n+的最小值为(

)(A)2

(B)4

(C)6

(D)8参考答案：C略5.若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，故选：B6.已知关于的不等式的解集为M，（1）

当时，求集合M；（2）

若，且，求实数的取值范围。参考答案：.解

（1）当时，不等式化为即.........3分所以或，即原不等式的解集为.............6分（2）因得

①

...........8分因得或

②

（补集思想的运用）...........10分

由①、②得，或或。

所以的取值范围为：。

...........12分略7.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（） A．4 B． C． D．8参考答案：C【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1， 经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2）， AK⊥l，垂足为K（﹣1，2）， ∴△AKF的面积是4 故选C． 【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视． 8.经过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，若,则线段的长等于

（

）A、5

B、6

C、7

D、8参考答案：C9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为(

)A． B． C． D．参考答案：A考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．解答：解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．点评：本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题10.复数（是虚数单位），则的共轭复数的虚部是A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数z满足z(1+i)=1-i(i是虚数单位),则其共轭复数=.参考答案：i略12.若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积．参考答案：13.已知向量与互相垂直，则x=________．参考答案：1【分析】两向量垂直，其数量积的等于0.【详解】【点睛】本题考查两向量垂直的数量积表示，属于基础题。

14.设均为正实数，且，则的最小值为

．参考答案：16略15.已知AC、BD为圆O：的两条互相垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为

.参考答案：516.如图若执行下面伪代码时执行y←x2＋1，则输入的x的取值范围是

▲

.参考答案：17.某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有

种。参考答案：24三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数(1)求曲线在点处的切线方程(2)若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围参考答案：(1)x+y-1=0.(2).【分析】(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2)函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.【详解】（1）因为，所以.所以又所以曲线在点处的切线方程为即.（5分）（2）由题意得，，所以.由，解得，故当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以.又，，结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则解得.所以实数a的取值范围为.19.设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4（舍去），∴m﹣n＞3；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）?ln2a﹣（ax0﹣1）?lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以．20.已知命题，若m＞，则mx2﹣x+1=0无实根，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据四种命题的定义，可得该命题的逆命题、否命题、逆否命题，进而判断它们的真假．【解答】解：若m＞时，则方程为二次方程，且△=1﹣4m＜0，为真命题，其逆命题为：若mx2﹣x+1=0无实根，则m＞为真命题，其否命题为：若m≤，则mx2﹣x+1=0有实根为真命题，其逆否命题为：若mx2﹣x+1=0有实根，则m≤为真命题．21.（12分）已知函数（1）当时，解不等式

（2）若函数有最大值，求实数的值参考答案：（1）当时，有，即解得不等式的解集为…………6分（2）由题意……………10分

得因此……………

12分22.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=，bsin（+C）﹣csin（+B）=a，（1）求证：B﹣C=（2）若a=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】解三角形．【分析】（1）通过正弦定理以及两角和与差的三角函数化简已知表达式，推出B﹣C的正弦函数值，然后说明