山东省潍坊市昌邑围子镇宋庄初级中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析

山东省潍坊市昌邑围子镇宋庄初级中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.为定义在上奇函数，时，，则（

）A

3

B

1

C

-1

D

-3

参考答案：D2.若实数x，y满足，且z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，则m等于（）A． B．﹣ C．1 D．参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最小值，判断目标函数的最优解，求解a即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图，z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，可知目标函数的最优解过点A，由，解得A（，3），﹣=a﹣3，解得m=1；故选：C．3.已知函数，则函数的大致图象是（

）

参考答案：D解：，所以图像的重要特征是时，减函数，并且过点，所以选D．4.设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．1024 B．256 C．8 D．4参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z==22x﹣y，令u=2x﹣y，作出约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x﹣u由图象可知当直线y=2x﹣u过点A时，直线y=2x﹣u的截距最小，此时u最大，由，解得，即A（5，2）．代入目标函数u=2x﹣y，得u=2×5﹣2=8，∴目标函数z==22x﹣y，的最大值是28=256．故选：B．5.函数的零点所在的区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.若函数的导函数为，且，则在上的单调增区间为A．

B．

C．和

D．和参考答案：D；由，得，也即得，取，又，得和。7.已知函数，对于下列命题：

①函数是周期函数；

②函数是奇函数；

③对任意满足

④函数的定义域是R，且其图象有对称轴

其中真命题是

（

）

A．③④

B．②③

C．①④

D．①③参考答案：A略8.如图所示，用过A1、B、C1和C1、B、D的两个截面截去正方体ABCD－A1B1C1D1的两个角后得到一个新的几何体，则该几何体的正视图为（） 参考答案：A9.若复数是纯虚数，则实数a的值为

（

）A．—4

B．—6

C．5

D．6参考答案：D10.若直线等分不等式组表示的平面区域的面积，则实数的值为(A)

(B)1

(C)2

(D)3参考答案：C因为不等式构成的区域为直角内部，又直线恒过定点A,要使直线等分直角的面积，则有直角的面积为直角面积的一半，即点P应为的中点，又B,D点的坐标分别为，所以中点P的坐标为，代入直线方程，解得，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象(的部分)，则函数的表达式为__________参考答案：y=sin（2x＋）12.某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度(单位：mm)数据绘制了频率分布直方图(如图)．若规定长度在101以上的元件是合格品，若则根据频率分布直方图估计这批产品的合格品率是

．

参考答案：65%13.已知（），f’(x)为f(x)的导函数，f’(1)=2，则a=

参考答案：214.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，cosC=，且acosB+bcosA=2，则△ABC面积的最大值为．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：∵acosB+bcosA=2，∴a×+b×=2，∴c=2，…（6分）∴4=a2+b2﹣2ab×≥2ab﹣2ab×=ab，∴ab≤（当且仅当a=b=时等号成立）…（8分）由cosC=，得sinC=，…（10分）∴S△ABC=absinC≤××=，故△ABC的面积最大值为．故答案为：．…（12分）【点评】此题考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．15.已知非空集合，则实数的取值范围是

.参考答案：略16.用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B略17.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是__________．参考答案：[﹣1，1]考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；平面向量及应用．分析：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．解答：解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），∵=λ+μ，∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．点评：本题考查平面向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设等差数列的前项和为，且,(Ⅰ)求数列的通项公式(Ⅱ)设数列满足，求的前项和参考答案：19.(本小题满分14分)设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若(O为原点)，求k的值.参考答案：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．所以，k的值为

20.设是公比大于1的等比数列，为数列的前n项和．已知,且构成等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前n项和．参考答案：（Ⅰ）设数列的公比为，由已知，得

，即，也即解得

故数列的通项为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

∴，

又，∴是以为首项，以为公差的等差数列

∴即．

略21.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I）取AB的中点M，根据，得到F为AM的中点，又E为AA1的中点，根据三角形中位线定理得EF∥A1M，从而在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1DBM为平行四边形，进一步得出EF∥BD．最后根据线面平行的判定即可证出EF∥平面BC1D．（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱AC上存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出AG与AC的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】证明：（I）取AB的中点M，∵，∴F为AM的中点，又∵E为AA1的中点，∴EF∥A1M在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别为A1B1，AB的中点，∴A1D∥BM，A1D=BM，∴A1DBM为平行四边形，∴AM∥BD∴EF∥BD．∵BD?平面BC1D，EF?平面BC1D，∴EF∥平面BC1D．（II）设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15，则，∵==∴，∴，∴AG=．所以符合要求的点G不存在．22.以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．（1）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求的值；（2）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（3）当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．参考答案：（1）解：依题意，得，

解得.

…………4分（2）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件，

依题意，共有10种可能.

由（1）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所