现代数字信号处理第01讲2 第一章2：信号空间

武汉大学电子信息学院研究生课程1现代数字信号处理

——理论及其实践

AdvancedDigitalSignalProcessing

——TheoriesandPractices第1讲(2)第1章(2)信号空间武汉大学电子信息学院研究生课程2第2章信号理论

数学框架2函数论——信号空间(1)Hilbert空间 信号空间

(2)线性性质 线性系统(3)几何性质 信号分解

武汉大学电子信息学院研究生课程32信号空间信号在直观上描述成“波形”数学上描述为“函数”“函数分析”是信号分析的理论基础语音信号（汉语“信号”）的波形武汉大学电子信息学院研究生课程4(1)Hilbert空间——信号空间Hilbert空间定义为一个内积空间考虑到物理世界中的现实信号，同时考虑信号的可处理性，我们处理的信号x定义在Hilbert空间HH空间是将二维/三维空间的矢量代数扩展到高维/无穷维用于对信号集进行数学分析；并且可以利用“几何结构”（如，“正交”，“投影”等概念）理解信号

武汉大学电子信息学院研究生课程5能量有限信号和平均功率有限信号

连续自变量的有限能量信号离散自变量的有限能量信号

武汉大学电子信息学院研究生课程6能量有限信号和平均功率有限信号

连续自变量的有限平均功率信号

离散自变量的有限平均功率信号随机信号

武汉大学电子信息学院研究生课程7能量有限信号和平均功率有限信号

连续自变量的有限平均功率信号

离散自变量的有限平均功率信号随机信号

武汉大学电子信息学院研究生课程8提示：在Hilbert空间上可以利用“几何”性质进行信号分析信号估计推导信号处理的有效算法武汉大学电子信息学院研究生课程9第2章信号理论

数学框架2.1函数论——信号空间2.1.1Hilbert空间 信号空间

2.1.2线性性质 线性系统2.1.3几何性质 信号分解

武汉大学电子信息学院研究生课程10(2)Hilbert空间的两个基本性质

——

①

线性组合性质Hilbert空间中的信号x可以在矢量空间中表示成N维基矢量 的线性加权和矢量空间的维数N为有限值或者为无限；基矢量{εi}(i=1,2,…,N)为H中的元素，它们是线性独立的；权值αi为实数或者复数武汉大学电子信息学院研究生课程11(2)Hilbert空间的两个基本性质

——

②

几何测度矢量（信号）x的“长度”（范数）定义为

<x,x>1/2两个矢量x和y的“距离”定义为

<x,y>1/2非零矢量x和y之间的“夹角”的余弦定义为x与y“正交”（x⊥y）,当且仅当

<x,y>=0

武汉大学电子信息学院研究生课程12第2章信号理论

数学框架2.1函数论——信号空间2.1.1Hilbert空间 信号空间

2.1.2线性性质 线性系统2.1.3几何性质 信号分解

武汉大学电子信息学院研究生课程13(3)Hilbert空间的分解和投影定理

——

①

正交分解定理设N维H空间的N个正交归一化基矢量序列（基底）：{εi}(i=1,2,…,N)正交性归一化那么，任意信号可以表示成基矢量εi的线性组合：武汉大学电子信息学院研究生课程14提示：正交分解定理信号分析武汉大学电子信息学院研究生课程15(3)Hilbert空间的分解和投影定理

——

②

正交投影定理设信号y是H空间的一个元素L是H的一个线性子空间那么，y在L空间上的正交投影z是在L空间在均方差意义下对y的最佳线性逼近。武汉大学电子信息学院研究生课程16提示：正交投影定理信号估计（滤波）例如：武汉大学电子信息学院研究生课程17BPSK调制分类器－随机矢量（例2）武汉大学电子信息学院研究生课程18(3)Hilbert空间的分解和投影定理

——

③

Gram-Schmidt正交化通过Gram-Schmidt正交化过程，由任意一个线性独立的信号矢量序列可以构造一个正交基矢量序列且有线性组合武汉大学电子信息学院研究生课程19(3)Hilbert空间的分解和投影定理

——

③

Gram-Schmidt正交化长度：归一化矢量：长度：投影：ε2–Newinformation武汉大学电子信息学院研究生课程20正交化：线性组合：εisareorthogonal武汉大学电子信息学院研究生课程21提示：Gram-Schm