山东省潍坊市蒲沟中学2023年高三数学文下学期期末试题含解析

山东省潍坊市蒲沟中学2023年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则的大小关系是（

）.

A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.给出下列四个命题：①f（x）=sin（2x﹣）的对称轴为x=，k∈Z；②若函数y=2cos（ax﹣）（a＞0）的最小正周期是π，则a=2；③函数f（x）=sinxcosx﹣1的最小值为﹣；④函数y=sin（x+）在[﹣]上是增函数，其中正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质．【分析】求出函数的对称轴方程判断①；由周期公式求出a值判断②；利用倍角公式化简，进一步求出函数的最小值判断③；由函数的单调性判断④．【解答】解：①由，得x=，k∈Z，∴f（x）=sin（2x﹣）的对称轴为x=，k∈Z，①正确；②若函数y=2cos（ax﹣）（a＞0）的最小正周期是π，则，即a=2，②正确；③函数f（x）=sinxcosx﹣1=，最小值为﹣，③正确；④当x∈[﹣]时，x[﹣]，∴函数y=sin（x+）在[﹣]上不是单调函数，④错误．∴正确命题的个数是3个．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．3.复数（1+i）2的虚部是A．0

B．2 C．一2 D．2i参考答案：B4.已知函数，则下列说法中，正确的是（

）A.f(x)的最小值为－1B.f(x)的图像关于点对称C.f(x)在区间上单调递增D.将f(x)的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到参考答案：C【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过三角函数的最值判断的正误；三角函数的对称性判断的正误；三角函数图象变换判断的正误，推出结果即可．【详解】解：由已知得：，最小值是，故选项错误；，，解得，对称中心为，所以选项错误；将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，，故选项错误；利用排除法，正确答案．故选：．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的化简以及最值的判断单调性以及对称性的判断，是中档题．5.某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（

）A．

B．

C.

D.参考答案：B略6.在抛物线（）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（A）

（B）1

（C）2

（D）4参考答案：C略7.将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是(

)A．x= B．x= C．x= D．x=﹣参考答案：A考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x﹣），利用正弦函数的对称性即可求得答案．解答：解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题8.设，则的大小关系是

A.

B.

C.

D.参考答案：D，所以根据幂函数的性质知，而，所以，选D.9.函数y=x+xlnx的单调递增区间是（）A．（0，e﹣2） B．（e﹣2，+∞） C．（﹣∞，e﹣2） D．（e﹣2，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求导函数，令导数大于0，即可得到函数f（x）的单调增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得f′（x）=lnx+2，令f′（x）＞0，可得x＞e﹣2，∴函数f（x）的单调增区间是（e﹣2，+∞）故选B．10.若，且，则下列不等式一定成立的是A．

B．C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.当函数取得最大值时，___________.

参考答案：

函数为，当时，，由三角函数图象可知，当，即时取得最大值，所以.12.抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为__________.参考答案：13.已知函数，则等于___________参考答案：14.函数f（x）=x2﹣1（x＜﹣1）的反函数f﹣1（x）=

．参考答案：﹣，x15.（选修4-4：坐标系与参数方程）

曲线C的参数方程是（为参数，且），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的方程为，取线C与曲线D的交点为P，则过交点P且与曲线C相切的极坐标方程是

参考答案：

曲线即直线的普通方程为，又曲线即圆心为，半径为2的半圆，其方程为，注意到，所以，联立方程组得，解之得，故交点的坐标为.过交点且与曲线相切的直线的普通方程是，对应的极坐标方程为.16.在2013年3月15日那天，长沙县物价部门对星沙的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.51010.511销量y1110865根据上表可得回归直线方程是：则__________.参考答案：40略17.函数在区间[－2,2]上的最大值为

．参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；

（2）求cosβ的值．参考答案：考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．解答：解：（1）∵，从而．又∵，∴．

…（4分）利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得

．

…（6分）（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．

…（10分）∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…（12分）==．

…（14分）点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．19.（本小题满分12分）已知数列，，，记，，（）,若对于任意，，，成等差数列.

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)求数列的前项和.参考答案：解：（Ⅰ）根据题意，，成等差数列∴

--------------2分整理得∴数列是首项为，公差为的等差数列

--------------4分∴

--------------6分（Ⅱ）

--------------8分记数列的前项和为.当时，

当时，综上，

--------------12分

略20.已知定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）设实数t为m的最大值，若实数a，b，c满足，求的最小值．参考答案：（1）由题意可知恒成立，令，去绝对值可得：，画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为；------5分（2）由（1）可知，所以，

，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为.------10分21.(本小题满分16分)已知椭圆和圆，A，B，F分别为椭圆C1左顶点、下顶点和右焦点．⑴点P是曲线C2上位于第二象限的一点，若△APF的面积为，求证：AP⊥OP；⑵点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，证明直线MN恒过定点．参考答案：22.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若．（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证：为定值；（2）若且△APQ的面积为，求椭圆C的方程．

参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设P（x1，y1），则Q（﹣x2，y2），由．解得：x2=c，由直线的斜率公式k==，k'==，=﹣5为定值；（2）由，，=3，求得A点坐标，代入椭圆方程，解得=，由c2=a2﹣b2，，因此=，=，由三角形的面积公式可知：S△APQ=?3c?4y1=6cy1=，求得c2=，即可求得c的值，求得椭圆方程．【解答】解：（1）设焦点F（c，0），由c2=a2﹣b2，P（x