山东省烟台市海阳第九中学2023年高二数学理期末试题含解析

山东省烟台市海阳第九中学2023年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γB．若a，b与α所成的角相等，则a∥bC．若a⊥α，a∥β，则α⊥βD．若a∥b，a?α，则b∥α参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】阅读型；空间位置关系与距离．【分析】结合两平面的位置关系，由面面垂直的性质，以及面面平行的判定即可判断A；由线面角的概念，结合两直线的位置关系即可判断B；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质以及面面垂直的判断即可判断C；由线面平行的判定定理即可判断D．【解答】解：A．若α⊥β，α⊥γ，则β、γ可平行，如图，故A错；B．若a，b与α所成的角相等，则a∥b或a，b相交或a，b异面，故B错；C．若a⊥α，a∥β，则过a的平面γ∩β=c，即有c∥a，则c⊥α，c?β，则α⊥β，故C正确；D．若a∥b，a?α，则b?α，或b∥α，由线面平行的判定定理得，若a∥b，a?α，b?α，则b∥α，故D错．故选C．【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，面面平行、垂直的判定和性质，熟记这些是正确解题的关键．2.已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝()A．2

B．8C．18

D．20参考答案：C略3.直线的倾斜角为A.30°

B.45°

C.60°

D.135°参考答案：B4.已知直线与圆R有交点,则

的最小值是(

)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A．

B．

C．

D．参考答案：B5.设为等差数列的前项和，若，公差，，则

A．5

B．6

C．7

D．8参考答案：B6.已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，可得m=3n，从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率．【解答】解：双曲线mx2﹣ny2=1化为标准方程为：∵双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，∴∴m=3n椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为：∴椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方为=∴椭圆mx2+ny2=1的离心率为故选C．【点评】本题考查椭圆、双曲线的离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.在正四面体ABCD中，点E、F分别为BC、AD的中点，则AE与CF所成角的余弦值为A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.的展开式中的系数为（

）A．360

B．180

C．179

D．359

参考答案：C略9.已知函数，，当时，取得最小值，则在直角坐标系中函数的图像为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B10.双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于(

)A．2 B．2 C．4 D．4参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若方程+=1表示双曲线，则实数k的取值范围是．参考答案：（﹣2，2）∪（3，+∞）【考点】双曲线的标准方程．【分析】由已知得（|k|﹣2）（3﹣k）＜0，由此能求出实数k的取值范围．【解答】解：∵程+=1表示双曲线，∴（|k|﹣2）（3﹣k）＜0，解得k＞3或﹣2＜k＜2，∴实数k的取值范围是（﹣2，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣2，2）∪（3，+∞）．12.已知△ABC为直角三角形，且，AB=8，点P是平面ABC外一点，若PA=PB=PC，且PＯ⊥平面ABC，Ｏ为垂足，则ＯＣ=．参考答案：4略13.设，若，则的最大值为

．参考答案：由柯西不等式，，知．14.已知圆的弦的中点为，则弦的长为

▲

.参考答案：415.的展开式中的常数项是 。参考答案：6016.已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1（包括边界）内的任一点，若满足的关系式为：

。参考答案：17.若，则与的大小关系是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设有关于的一元二次方程（1）若是从0，1，2，3四个数中任意取一个数，是从0，1，2三个数中任意取一个，求上述方程有实根的概率；（2）若，求上述方程有实根的概率.

参考答案：略19.如图在正三棱锥P-ABC中，侧棱长为3，底面边长为2，E为BC的中点，(1)求证：BC⊥PA(2)求点C到平面PAB的距离参考答案：证明（1）E为BC的中点，又为正三棱锥BC⊥PA（2）设点C到平面PAB的距离为。则略20.以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）在曲线的极坐标方程两边同时乘以，再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设、在直线l上对应的参数分别为、，将直线l的参数方程与曲线的直角坐标方程联立，列出和，由可计算出的值.【详解】（Ⅰ）在曲线的极坐标方程两边同时乘以得，曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）设、在直线l上对应的参数分别为、，将直线的参数方程代入，整理得，则，，，.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，同时也考查直线截圆所得弦长的计算，可将直线的参数方程与圆的普通方程联立，利用的几何意义结合韦达定理求解，也可以计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理计算出弦长，考查运算求解能力，属于中等题.21.设正项数列{an}的前n项和Sn，且满足Sn=a+（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3的值，猜想{an}的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，证明：Tn＜．参考答案：【考点】8E：数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用递推导思想求出a1=1，a2=2，a3=3．由此猜想an=n，再用数学归纳法进行证明．（Ⅱ）证法一：由，利用裂项求和法和放缩法进行证明．证法二：利用用数学归纳法进行证明．【解答】（Ⅰ）解：当n=1时，，解得a1=1，，解得a2=2，，解得a3=3．猜想an=n….3分，证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立．（ⅱ）假设当n=k时，ak=k….4分，则当n=k+1时，，结合an＞0，解得ak+1=k+1…..6分，于是对于一切的自然数n∈N*，都有an=n…7分．（Ⅱ）证法一：∵，…10分∴．…14分证法二：用数学归纳法证明：（ⅰ）当n=1时，，，….8分（ⅱ）假设当n=k时，…9分则当n=k+1时，要证：只需证：由于所以…13分于是对于一切的自然数n∈N*，都有….14分【点评】本题考查数列的通项公式的求法和证明，考查不等式的证明，解题时要认