山东省莱芜市新起点高级中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

山东省莱芜市新起点高级中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a=20.3，b=0.32，c=logx（x2+0.3）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a参考答案：B【考点】指数函数单调性的应用．【分析】利用指数函数y=ax和对数函数的单调性，比较大小【解答】解：∵a=20.3＜21=2且a=20.3＞20=1，∴1＜a＜2，又∵b=0.32＜0.30=1，∵x＞1，∴c=logx（x2+0.3）＞logxx2=2，∴c＞a＞b．故选B2.已知，则

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C3.函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）+2f（x）＞0，则（）A．4f（﹣2）＜f（﹣1） B．4f（4）＜f（2） C．4f（2）＞﹣f（﹣1） D．3f（）＞4f（2）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题目给出的条件2f（x）+xf′（x）＞0，想到构造函数g（x）=x2f（x），求导后分析该函数的单调性，从而能判出函数的极小值点，进一步得到函数g（x）恒大于0，则有f（x）恒大于0，再利用函数的单调性，分别比较大小，即可得到答案．【解答】解：令g（x）=x2f（x），则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），=x[2f（x）+xf′（x）]，∵2f（x）+xf′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上为增函数．当x＜0时，g（x）＜0，所以函数g（x）在（﹣∞，0）上为减函数．∴当x=0时函数g（x）有极小值，也就是最小值为g（0）=0．所以g（x）=x2f（x）恒大于等于0，当x≠0时，由x2f（x）恒大于0，可得f（x）恒大于0．又对可导函数f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，取x=0时，有2f（0）+0×f（0）＞0，所以f（0）＞0．综上有f（x）恒大于0．g（x）在（﹣∞，0）上为减函数．∴g（﹣2）＞g（﹣1），即4f（﹣2）＞f（﹣1），故A错误；g（x）在（0，+∞）上为增函数．∴g（4）＞g（2），即4f（4）＞f（2），故B错误；∵f（x）恒大于0，∴﹣f（﹣1）＜0，4f（2）＞0，∴4f（2）＞﹣f（﹣1），故C正确；对于D，g（x）在（0，+∞）上为增函数．g（）＜g（2），即3f（）＜4f（2），故D正确．故答案选：C．4.已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=3﹣b，P=lnc，则M，N，P的大小关系是（）A．P＜N＜M B．P＜M＜N C．M＜P＜N D．N＜P＜M参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，则M=2a＞1，N=3﹣b=∈（0，1），P=lnc＜0，∴P＜N＜M．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B考点：函数的奇偶性、对称性.6.复数z=i2(1+i)的虚部为（

）A.

1

B.

i

C.

-1

D.

–i参考答案：C略7.在空间中，表示直线，表示平面，则下列命题正确的是(

)A.若，则

B.若，则C.若，则

D.若，则参考答案：D略8.已知函数，若存在使得成立，则实数m的取值范围为(

)A.(0,+∞) B.[－1,0)∪(0,+∞)C.(－∞,－1]∪[1,+∞) D.(－∞,－1]∪(0,+∞)参考答案：D【分析】数形结合去分析，先画出的图象，然后根据直线过将直线旋转，然后求解满足条件的取值范围.【详解】如图,直线过定点,为其斜率，满足题意，当时，考虑直线与函数相切，此时，解得，此时直线与的切点为，∴也满足题意.选D【点睛】分段函数中的存在和恒成立问题，利用数形结合的思想去看问题会更加简便，尤其是直线与曲线的位置关系，这里需要注意：（1）直线过定点；（2）临界位置的切线问题.9.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩?UB=（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴?UB={2，5，8}，则A∩?UB={2，5}．故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10.“”是“为等腰三角形”的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果函数的图像关于点成中心对称，那么的最小值为_____________.

参考答案：略12.已知向量a=(，1)，b=(m，1)．若向量a，b的夹角为，则实数m=_____参考答案：试题分析：，所以，解方程得考点：向量的数量积运算13.某篮球运动员在5场比赛中得分的茎叶图如图所示，则这位球员得分的平均数等于________．参考答案：1514.已知函数f（x）=，若f（m）=1，则m=．参考答案：﹣1或10【考点】3T：函数的值．【分析】根据分段函数的表达式进行解方程即可．【解答】解：若x＞0，则由f（m）=1得f（m）=m2=1，解得m=﹣1，若x≤0，则由f（m）=1得f（m）=lgm=1，解得m=10，综上m=﹣1或m=10，故答案为：﹣1或10．15.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时

▲

．参考答案：当离圆最远时最小，此时点坐标为：记，则，计算得=

16.已知实数x,y满足则的最小值为____________．参考答案：17.若函数，则的定义域是

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．参考答案：【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）分析题意，找出相关量之间的不等关系，（2）求出x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数p与直线截距的关系，进而求出最优．【解答】解：（1）由题意得：x=，4≤v≤20，y=，30≤ω≤100，∴P=100+3（5﹣）+（8﹣）=123﹣﹣，其中，4≤v≤20，30≤ω≤100，（2）由（1）可得2.5≤x≤12.5，3≤y≤10，①由于汽车、乘船所需的时间和应在9至14小时之间，∴9≤x+y≤14

②因此满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分目标函数p=100+3（5﹣x）+（8﹣y）=123﹣3x﹣y，当x=11，y=3时，p最小，此时，p=123﹣33﹣3=87【点评】本题考查不等式关系的建立，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则?=?=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则?=?=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20.已知函数,（1）当时,若有个零点,求的取值范围；（2）对任意,当时恒有,求的最大值,并求此时的最大值。参考答案：------------------------2分(1）,,极小值,极大值由题意:

----------------6分(2）时,有,由图示,在上为减函数

易知必成立；--------8分只须

得

可得------------------------10分又

最大值为2------------------------12分此时,

有在内单调递增，在内单调递减，----------------------------------------15分21.（本小题13分）设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.（1）数表如表1所示，若经过两“操”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1123101（2）数表如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；表2（3）对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由.参考答案：（1）详见解析；（2），；（3）详见解析.（1）解：法1：法2：法3：（2）每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1；①如果首先操作第三列，则有则第一行之和为，第二行之和为，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以或，当时，则接下只能操作第一行，此时每列之和分别为，必有，解得，当时，则接下操作第二行，此时第4列之和为负，不符合题意.

②如果首先操作第一行，则有则每一列之和分别为，，，，当时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉，当时，，至少有一个为负数，所以此时必须有，即，所以或，经检验，或符合要求，综上：.22.（本题满分14分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，AB=,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE;参考答案：证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=AG=1