第三章 FIR数字滤波器的设计

第三章FIR数字滤波器的设计§3.1数字滤波器设计概述§3.2窗口设计法（时间窗口法）

§3.3频率取样法§3.4等波纹优化设计1

§3.1数字滤波器设计概述滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数。数字滤波器任何线性时不变离散系统都是一个数字滤波器（简称DF）。设计数字滤波器的任务就是寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数H(z)具有指定的频率特性。2

§3.1数字滤波器设计概述DF的幅度特性性能要求（低通为例）0通带过渡带阻带：通带波纹：阻带波纹：通带截止频率：阻带截止频率：过渡带3

§3.1数字滤波器设计概述DF的相位特性性能要求从信号不失真角度，其相位特性通常必须满足以下两个要求之一：①相位线性。即：②具有群恒时延特性。即：其中称为时延常数4

§3.1数字滤波器设计概述数字滤波器设计采用角频率，如何与实际信号频率对应？角频率w，采样频率fs,实际信号频率f的转换关系

采样频率的角频率为5

§3.1数字滤波器设计概述

例如：设计一个带通滤波器，通带可通过中心频率为3MHz，带宽为1.2MHz的带通信号，系统采样频率为24MHz。带通滤波器通带3dB衰减处距离带通信号通带边缘100kHz，阻带衰减40dB处距离带通信号通带边缘300kHz。根据数字带通滤波器的角频率技术指标：通带截止频率（以3dB衰减为准）阻带截止频率（以40dB衰减为准） 带通滤波器中心频率画出数字带通滤波器的角频率幅频响应频谱示意图6

解：（1）§3.1数字滤波器设计概述7

（2）数字带通滤波器的角频率频谱示意图为：§3.1数字滤波器设计概述8

§3.1数字滤波器设计概述设计滤波器理想频响包含：低通，高通，带通，带阻对应到数字滤波器的频谱为：9低通滤波器幅频响应相频响应Φ＝－aw称为截止频率§3.1数字滤波器设计概述10低通滤波器§3.1数字滤波器设计概述a11

高通滤波器幅频响应相频响应称为通带开始频率§3.1数字滤波器设计概述Φ＝－aw12

§3.1数字滤波器设计概述高通低通时域除n=a点外符号相反频域上相当于低通平移π13

带通滤波器幅频响应相频响应称为通带截止频率§3.1数字滤波器设计概述Φ＝－aw可看成是两个低通滤波器时域相减得到14

§3.1数字滤波器设计概述低通wc1低通wc2带通wc1－wc215

带阻滤波器幅频响应相频响应称为通带开始频率§3.1数字滤波器设计概述Φ＝－aw与带通滤波器互补16

（二）带阻滤波器§3.1数字滤波器设计概述带通滤波器带阻滤波器17

§3.1数字滤波器设计概述无论哪种数字滤波器，设计过程一般包括以下三个基本问题：①根据实际要求确定数字滤波器性能指标；②用一个因果稳定的系统函数去逼近这个理想性能指标；③用一个有限精度的运算去实现这个传输函数。现在要讨论的是问题2数字滤波器IIR数字滤波器：其系统函数通常可表示成关于的有理分式FIR数字滤波器：其系统函数通常可表示成关于的多项式18FIR数字滤波器的特点：

优点：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要；（2）可得到多带幅频特性；（3）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；（4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是满足；

（5）无反馈运算，运算误差小。§3.1数字滤波器设计概述19缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。§3.1数字滤波器设计概述20§3.1数字滤波器设计概述线性相位FIR数字滤波器21§3.1数字滤波器设计概述下表给出了上述4种类型的线性相位滤波器的相位响应、时域幅度响应和频域幅度响应的示意图。22四种线性相位FIRDF特性，第一种情况，偶对称、奇数长度，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶对称、偶数长度，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。在π处有零点第三种情况，奇对称、奇数长度，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。在0，π，2π处都有零点第四种情况，奇对称、偶数长度，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻。0，2π处有零点§3.1数字滤波器设计概述23§3.1数字滤波器设计概述例1N=5,h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=-1/2,h(2)=2，求频响函数H(ω)，画出幅频响应24§3.1数字滤波器设计概述例1N=5,h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=-1/2,h(2)=2，求频响函数H(ω)，画出幅频响应H(ω)=e-j2w(2

-cosω-cos2ω)25

四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：当H(ω)用│H(ω)│表示时，H(ω)为奇对称时，其相频特性中还应加一个固定相移π。§3.1数字滤波器设计概述结论：26§3.2窗口设计法（时域）FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数去逼近，逼近方法有三种：窗口设计法（时域逼近）频率采样法（频域逼近）最优化设计（等波纹逼近）

时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以从理想频响通过付氏反变换获得

27理想频响是分段恒定，在边界频率处有突变点理想单位脉冲响应hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果办法:直接截取一段hd(n)代替h(n)

§3.2窗口设计法（时域）28

§3.2窗口设计法（时域）h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段hd(n)表达为h(n)和一个“窗函数”的乘积，即h(n)=w(n)hd(n)在这里窗口函数就是矩形脉冲函数RN（n）29设计步骤：由定义§3.2窗口设计法（时域）∵该式为有限项，∴N越大，误差越小。但对矩形窗截取还存在“吉布斯（Gibbs）效应”，这将使滤波器的特性很差。30一.矩形窗口法则

以一个截止频率为ωc的线性相位理想低通滤波器为例,讨论FIR的设计问题。a.对于给定的理想低通滤波器，计算：低通滤波器的延时§3.2窗口设计法（时域）为保证所得到的是线性相位FIR滤波器，延时a应为h(n)长度N的一半,即31

其中b.计算§3.2窗口设计法（时域）32c.计算。设为窗口函数的频谱:

用幅度函数和相位函数来表示，则有

其线性相位部分则是表示延时一半长度，

§3.2窗口设计法（时域）33两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有§3.2窗口设计法（时域）相频响应未发生变化34

则实际FIR滤波器的幅度函数H（ω）为正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。§3.2窗口设计法（时域）35§3.2窗口设计法（时域）364个特殊频率点看卷积结果：（1）ω=0时,H(0)等于在[-ωc,ωc]内的积分面积因一般故H(0)近似为在[-π,π]内的积分面积§3.2窗口设计法（时域）(2)ω=ωc时，一半重叠，H(ωc)=0.5H(0);(3)ω=ωc–2π/N时，第一旁瓣（负数）在通带外，出现正肩峰；(4)ω=ωc+2π/N时，第一旁瓣（负数）在通带内，出现负肩峰。37窗口函数对理想特性的影响：

①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为，等于WR(ω)的主瓣宽度。（决定于窗长）

②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于

WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强，与

N无关。（决定于窗口形状）

③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。因主瓣附近其中x=Nω/2,所以N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变WR（ω）的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时，幅值变大，频率轴变密，而最大肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。

3800.250.50.751-40-30-21-100N=15N=31用矩形窗设计的c=p/2FIR滤波器的幅度响应§3.2窗口设计法（时域）39

改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。但实际上对同样长度的窗这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。

肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。§3.2窗口设计法（时域）40

几种常用的窗函数：

1.矩形窗，上面已讲过，不再细述

2.汉宁窗（升余弦窗）

利用付氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数W（ω）可用矩形窗的幅度函数表示为：

§3.2窗口设计法（时域）41三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1倍，为。

§3.2窗口设计法（时域）42

3.汉明窗（改进的升余弦窗）

它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。

4.布莱克曼窗（三阶升余弦窗）

增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，为。增加N可减少过渡带。频谱的幅度函数为：

43下图为N=31时，矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼这5种窗口函数的包络曲线§3.2窗口设计法（时域）44下图为N=51时矩形窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼4种窗口函数的幅度响应§3.2窗口设计法（时域）45下图为N=51时用矩形窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼设计的低通滤波器的幅度响应§3.2窗口设计法（时域）465.凯塞窗以上四种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。I0(x)是零阶修正贝塞尔函数，参数β可自由选择，决定主瓣宽度与旁瓣衰减。β越大，w(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。一般取4<β<9。β=5.44接近汉明β=8.5接近布莱克曼β=0为矩形§3.2窗口设计法（时域）47§3.2窗口设计法（时域）1）根据逼近滤波器的理想频率响应，计算截止频率设计过程2）确定通带和阻带波动，通带最大衰减为Ap，阻带最大衰减为Ar3）由于通带和阻带等波动，因此选择最小的波动4）用最小波动重新计算Ap，Ar5）计算过渡带

=wr-wp6）计算β值48过渡带宽Ar为最小衰减，此为经验公式§3.2窗口设计法（时域）49§3.2窗口设计法（时域）β

过渡带

通带波纹（dB）

阻带最小衰减(dB)

2.120

3.00π/N

±0.27

-30

3.384

4.46π/N

±0.08647

-40

4.538

5.86π/N

±0.0274

-50

5.658

7.24π/N

±0.00868

-60

6.764

8.64π/N

±0.00275

-70

7.865

10.0π/N

±0.000868

-80

8.960

11.4π/N

±0.000275

-90

10.056

12.8π/N

±0.000087

-100

50

§3.2窗口设计法（时域）窗函数设计滤波器步骤：1、根据要求求出理想滤波器的单位脉冲响应，通常无限长2、根据阻带衰减的要求，选择窗函数类型；根据过渡带宽要求，估计窗口的长度3、计算FIR滤波器的窗函数h（n）＝hd（n）w（n）4、计算h（n）的DFT验证频谱响应是否满足技术要求，如不满足，重复2，3，4若得不到封闭式或不能用上式计算时，可对在到间等间隔采样M，用下式代替上式的积分51

§3.2窗口设计法（时域）例1：根据下面的技术指标设计一个FIR线性相位低通滤波器例2：确定幅度频响应为下图的理想脉冲响应21π/6π/352

§3.2窗口设计法（时域）例：根据下面的技术指标设计一个FIR线性相位LPF阻带衰减：过渡带：汉宁：汉明：布莱克曼：53

§3.2窗口设计法（时域）例：确定幅度频响应为下图的理想脉冲响应21π/6π/354§3.2窗口设计法（时域）55§3.2窗口设计法（时域）56§3.2窗口设计法（时域）57

wn=kaiser(30,4.55);

nn=[0:1:29];

alfa=(30-1)/2;

hd=sin(0.4*pi*(nn-alfa))./(pi*(nn-alfa)); h=hd.*wn';

[h1,w1]=freqz(h,1); plot(w1/pi,20*log10(abs(h1))); axis([0,1,-80,10]);

grid;

xlabel('归一化频率/')

ylabel('幅度/dB')§3.2窗口设计法（时域）58§3.3频率采样法一、基本思想使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则有较好的逼近。内插公式59二.设计方法1）确定频率采样值2）利用IDFT计算3）计算系统函数或频率响应§3.3频率采样法60三、

约束条件

为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值H（k）要满足一定的约束条件。前已指出,具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)是实序列，且满足

，由此得到的幅频和相频特性，就是对H(k)的约束。。§3.3频率采样法下面以偶对称条件h(n)=h(N-n-1)为例说明设计公式。61对在等间隔N点采样得H(k)

,k=0,1,…,N-1对线性相位滤波器，其相位响应为：幅度响应设的频响为：§3.3频率采样法62∴对频率采样的幅度值有：N为奇数

N为偶数

按线性相位的偶对称条件:若N为偶数，对π为奇对称:

对π为偶对称:

若N为奇数，

，k=0,1,…,(N-1)/2按式对相位进行频率采样得：§3.3频率采样法63对N为偶数，(N-1)为奇数∴取，k=0,1,…,N/2-1对N为奇数，(N-1)为偶数∴取，k=0,1,…,(N-1)/2综合以上分析，可得到设计公式如下：§3.3频率采样法64综合以上分析，可得到设计公式如下：对N为奇数，设计公式为：k=0,1,…,(N-1)/2，k=0,1,…,N/2-1对N为偶数，设计公式为：§3.3频率采样法65滤波器的频率响应将代入频率采样公式得：其中在采样点但在采样点之间，两者误差与特性的平滑程度有关：

在幅度曲线的平滑段，误差较小，但在曲线的间断点附近，会产生较大的误差，使得滤波器的阻带性能变坏。误差还与采样点数N有关，N越大误差越小。§3.3频率采样法66为提高阻带衰减，常用增加过渡带法如右图§3.3频率采样法67优化原则：在通带内要求在阻带内要求例

用频率采样法设计一个低通滤波器，通带截止频率的偶对称情况。，采样点数N=20，采用h(n)=h(N-n-1)解：∵N=20，在范围内等间隔采样，显然，在通带共有3个采样点，分别是k=0,1,2采样间隔为：又∵N为偶数，可得：§3.3频率采样法68将和代入求得，进而求得或其相位响应为线性相位。过渡带为：2p/20=p/10其幅度响应如下图，图中还给出了其单位脉冲响应§3.3频率采样法69由上图

d）可见，所设计的滤波器的阻带衰减很小，只有-16dB。为了改进阻带衰减，在边界频率处增加一个过渡点，为了保证过渡带宽不变，将采样点数增加一倍，变为N=40，并将过渡点的采样值进行优化，取H1=0.3904，得到和分别为过渡带为（2p/40×2）=p/10，求得的单位脉冲响应和幅度响应如下图所示。§3.3频率采样法70§3.3频率采样法71由上图

d）可见，这时阻带衰减达到了-43dB。为了进一步增加阻带衰减，可再增加一个过渡采样点，并将采样点数增加到60，两个过渡样点值经优化分别为=0.5925和=0.1099,相应的和分别为过渡带为（2p/60×3）=p/10所得单位脉冲响应和幅度响应如下图所示。

§3.3频率采样法72§3.3频率采样法73增大阻带衰减三种方法：1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。

2）过渡带的优化设计利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求的滤波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值）。上例中H9=0.3904。对应的H(ejω)的幅频特性，比H9=0.5时的阻带衰减大大改善。

3）增大N

如果要进一步增加阻带衰减，但又不增加过渡带宽，可增加采样点数N。代价是滤波器阶数增加，运算量增加。74小结：频率采样设计法优点：

①

直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；

②

适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度；

缺点：截止频率难以控制。因频率取样点都局限在2π/N的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。75最优化设计的前提是最优准则的确定，在FIR滤波器最优化设计中，常用的准则有

①最小均方误差准则

②最大误差最小化准则。§3.4最大误差最小化设计761)

均方误差最小化准则，若以E(ejω)表示逼近误差，则

那么均方误差为§3.4最大误差最小化设计就是选择一组时域采样值，以使均方误差，这一方法注重的是在整个-π～π频率区间内总误差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频率点可能会有较大的误差。77

对于窗口法FIR滤波器设计，因采用有限项的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近误差为：如果采用矩形窗则有§3.4最大误差最小化设计这是一个最小均方误差。矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差FIR设计其优点是过渡带较窄，缺点是局部点误差大,或者说误差分布不均匀。782)

最大误差最小化准则（也叫最佳一致逼近准则）表示为其中F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是通带，也可以是阻带。最佳一致逼近即选择N个频率采样值（或时域h(n)值），在给定频带范围内使频响的最大逼近误差达到最小。也叫等波纹逼近。优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。§3.4最大误差最小化设计79

切比雪夫最佳一致逼近用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数：

M、ωc、ωr、δ1、δ2按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带

0ωωp

内以最大误差δ1

逼近1，在阻带ωr

ω内以最大误差δ2逼近零。§3.4最大误差最小化设计cr80

§3.4最大误差最小化设计要同时确定上述五个参数较困难。常用的两种逼近方法：

1）给定M、δ1、δ2，以ωc和ωr为变量。缺点：边界频率不能精确确定。

2）给定M、ωc和ωr，以δ1和δ2为变量，通过迭代运算，使逼近误差δ1和δ2

最小，并确定h(n)——切比雪夫最佳一致逼近。特点：能准确地指定通带和阻带边界频率。

81

一.误差函数定义逼近误差函数：

为所设计的滤波器与理想滤波器的幅频特性在通带和阻带内的误差值，是已知的权函数，在不同频带可取不同的值，所要设计的滤波器的幅频特性理想滤波器的幅频特性§3.4最大误差最小化设计82例如，希望在固定M,c,r

的情况下逼近一个低通滤波器，这时有对于第一种线性相位滤波器（偶对称，奇数长度）§3.4最大误差最小化设计83切比雪夫逼近问题变为，寻求一组系数使逼近误差的最大值达到最小，即

给定后等效于求最小。§3.4最大误差最小化设计84

二.交替定理（最佳逼近定理）令F表示闭区间的任意闭子集，为了使在F上唯一最佳地逼近于,其充分必要条件是误差函数在F上至少应有（M+2）次“交替”，即其中，且属于F。

1）至少有M+2个极值，且极值正负相间，具有等波纹的性质，

2）由于是常数，所以的极值也就是的极值。§3.4最大误差最小化设计85注意：极值点频率必须位于和区间内。由于和固定，因而和必为这些极值频率中的一个，设