自动控制原理第三章

自动控制原理任课教师：徐先峰教材：鄢景华.自动控制原理(修订版).

哈尔滨工业大学出版社.2000年E-mail：xuxianfeng1982@163.com第三章控制系统的时域分析3.1典型输入信号3.2一阶系统的过渡过程3.3二阶系统的过渡过程3.4高阶系统的过渡过程3.5控制系统的稳定性3.6控制系统稳态误差的基本概念3.7稳态误差计算3.8消除和减少稳态误差的办法

分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数学模型，一旦获得系统的数学模型，就可以采用几种不同的方法去分析系统的性能。线性系统：时域分析法，根轨迹法，频率法

非线性系统：

多输入多输出系统：描述函数法，相平面法

采样系统：Z变换法状态空间法序言第三章控制系统的时域分析

时域分析定义：是指控制系统在一定的输入信号作用下，根据输出量的时域表达式（时域响应），分析系统的动态性能和稳态性能。

时域分析思路：第三章控制系统的时域分析

时域分析特点：

时域分析法是最基本的控制系统分析方法,是学习根轨迹法、频域分析法的基础。

(1)通过时域分析，可以直接在时间域中对系统进行分析与校正：直观，准确；

(2)可以提供系统时间响应的全部信息；

(3)基于求解系统输出信号的解析解，比较繁琐。第三章控制系统的时域分析3.1典型输入信号3.2一阶系统的过渡过程3.3二阶系统的过渡过程3.4高阶系统的过渡过程3.5控制系统的稳定性3.6控制系统稳态误差的基本概念3.7稳态误差计算3.8消除和减少稳态误差的办法3.1典型输入信号

为何要采用典型输入信号进行系统性能研究？实际系统的输入信号千差万别，需要统一比较基础；典型信号便于进行数学分析和实验研究；有利于确定性能指标，使分析系统化，便于比较系统的性能；预测系统在更为复杂的输入下的响应。3.1典型输入信号第三章控制系统的时域分析3.1典型输入信号3.2一阶系统的过渡过程3.3二阶系统的过渡过程3.4高阶系统的过渡过程3.5控制系统的稳定性3.6控制系统稳态误差的基本概念3.7稳态误差计算3.8消除和减少稳态误差的办法凡是输入信号和输出信号的关系，可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。T＝RC，时间常数，表征系统的惯性。其传递函数为：3.2一阶系统的过渡过程RC

r(t)c(t)一阶系统的动态结构图为：3.2一阶系统的过渡过程1Ts﹣+R(s)C(s)1Ts+1R(s)C(s)此一阶系统的闭环极点为？？？位于s平面？？tc(t)

０T

2T3T4T

当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。3.2.1一阶系统的单位阶跃响应0.6320.950.9820.8651.0稳态分量，谁决定？暂态分量，谁决定？一阶系统单位阶跃响应曲线稳态值（终值）3.2.1一阶系统的单位阶跃响应

响应曲线在[0，）的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。无振荡tc(t)

０T

2T

3T

4T

0.6320.950.9820.8651.0

时间常数T

T越小，惯性越小，响应越快！

T越大，惯性越大，响应越慢！一阶系统的单位阶跃响应

０T1

0.632c(t)t1.0T2

时间常数T设有两个一阶系统：时间常数T反映了系统的响应速度（系统的惯性，快速性）。响应曲线的初始斜率等于1/T。

０T

2T3T4T

tc(t)0.6320.950.9820.8651.0一阶系统的单位阶跃响应

时间常数T？响应曲线的初始斜率3.2.2一阶系统的单位斜坡响应

[r(t)=t]tc(t)0r(t)=tc(t)=t﹣T+Te﹣t/T

稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上滞后了一个时间常数T的斜坡函数。TT稳态分量（跟踪项+常值）暂态分量一阶系统的单位斜坡响应

时间常数T设有两个一阶系统：时间常数T反映了系统的响应速度（惯性）。tc(t)0r(t)=tT2T1一阶系统的单位斜坡响应

时间常数T研究系统的输入信号与输出信号的差值：当：说明一阶系统在跟踪单位斜坡函数时，当过渡过程结束后，在输出输入信号之间仍然存在着常值误差（或称跟踪误差），其值等于时间常数T。因此，时间常数T反映了系统的跟踪误差。比较单位阶跃响应曲线和单位斜坡响应曲线：

在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于0：无差跟踪

在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值T：有差跟踪。

0tc(t)1.0tc(t)0r(t)=tTT一阶系统的单位脉冲响应

它恰是系统的闭环传递函数，这时输出称为单位脉冲（单位冲激）响应，以k(t)（或g(t)）标志。T2T3Ttk(t)01/T0.368/T0.135/T0.05/T稳态分量暂态分量线性定常系统的重要性质比较三种输入信号之间量的关系：单位斜坡信号、单位阶跃信号、单位脉冲信号，有：再比较三种输入信号下，一阶系统的响应，有：线性定常系统的重要性质

2.在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分。

1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出为原来输出的导数。例：已知如图一阶系统的单位阶跃响应

试求

g(t),F(s),G(s)。

解:一阶系统的时域响应第三章控制系统的时域分析3.1典型输入信号3.2一阶系统的过渡过程3.3二阶系统的过渡过程3.4高阶系统的过渡过程3.5控制系统的稳定性3.6控制系统稳态误差的基本概念3.7稳态误差计算3.8消除和减少稳态误差的办法微分方程式为：

例如:RLC电路RCr(t)c(t)L3.3.1二阶系统的数学模型3.3.1二阶系统的数学模型

标准化的二阶系统的动态结构图为：

闭环传递函数标准形式为:

二阶系统有两个结构参数ξ

(阻尼比)和n(无阻尼自振频率)

。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。s(s+2ξn)R(s)C(s)n2

﹣+

对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼自振频率的含义是不同的。

j

03.3.2二阶系统的闭环极点二阶系统的特征方程为：

s2+2ξns+n2=0其两个特征根为：

上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比ξ

的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有不同的分布规律。分述如下：s1s2ξ>1时，特征根为一对不等值的负实根，位于s平面的负实轴上。二阶系统闭环极点过阻尼状态(2)ξ=1时，

j

0s1=s2=

n特征根为一对等值的负实根，位于s平面的负实轴上。临界阻尼状态(3)

0<ξ

<1

时，ns1s2

jd

ξn

j

0特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面的左半平面上。欠阻尼状态

j

0

(4)ξ=0时，

jn

特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上。无阻尼状态

j

0(5)ξ<0时，s1s2

两个相异的特征根位于s平面的右半平面。

j

0s1s2

j

0s1=s2ns1s2

jd

ξn

j

0

j

0

jn

阻尼比取不同值时，二阶系统极点的分布ξ>1ξ=10<ξ<1ξ=0二阶系统的单位阶跃响应由式，其输出的拉氏变换为式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s平面上的位置不同，二阶系统的单位阶跃响应对应有不同的运动规律（1）欠阻尼情况0<ξ<1

j

ns1s2

jd

ξn0本次课主要内容二阶系统的动态性能指标及其求取上升时间二阶系统的单位脉冲响应峰值时间调节时间超调量振荡次数二阶系统的单位阶跃响应欠阻尼无阻尼临界阻尼过阻尼

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成：稳态分量为1，表明系统在1(t)作用下不存在稳态位置误差；暂态分量是阻尼正弦项，其振荡频率为有阻尼自振频率ωd，而其幅值则按指数曲线衰减，两者均由参数ξ

和n决定。c(t)t01衰减正弦振荡曲线稳态分量暂态分量二阶系统的单位阶跃响应二阶系统欠阻尼单位阶跃响应曲线

(2)无阻尼情况ξ=0c(t)t0等幅振荡二阶系统的单位阶跃响应

无阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应是等幅余弦振荡曲线，振荡频率为无阻尼自振频率ωn。（3）临界阻尼情况ξ=1

s1,2=n

此时响应是稳态值为1

的非周期上升过程，其变化率：t=0，变化率为0；t>0变化率为正，c(t)单调上升；

t→∞

，变化率趋于0。整个过程不出现振荡，无超调，稳态误差＝0。tc(t)01（4）过阻尼情况ξ>1

响应特性包含两个单调衰减的指数项，无超调，响应是非振荡的。

0tc(t)1.0二阶系统的单位阶跃响应二阶系统过阻尼单位阶跃响应曲线（5）不稳定系统

ξ<0总结：

1）ξ<0时，响应发散，系统不稳定；

2）ξ＝0时，响应为等幅振荡；

3）0<ξ<1时，响应有超调。但上升速度快，调节时间短，合理ξ选择可使既快又平稳，工程上把ξ＝0.707的二阶系统称为二阶最优系统；

4）ξ>＝1时，响应与一阶系统相似，无超调；二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应=0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2(弹簧例子)3.3.4二阶系统的动态性能指标欠阻尼（衰减振荡）

常用tr

,

tp

,

,

ts

等性能指标来衡量动态响应的好坏。

c(t)t010.05或0.02tr

tp

ts(1)

上升时间tr

：从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量。tr越小，响应越快。(2)峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。(3)最大超调量

：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示。(4)过渡时间（调节时间）ts

：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过△=5%（△=2%）所需要的时间。(5)振荡次数Ｎ：在时间内，过渡过程穿越其稳态值次数的一半。(1)上升时间tr

：从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量。tr越小，响应越快。二阶系统的动态性能指标求解(2)峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。二阶系统的动态性能指标求解(3)最大超调量

：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示。二阶系统的动态性能指标求解只是ξ

的函数，其大小与无阻尼自振频率ωn无关！(4)过渡时间（调节时间）ts

：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过△=5%（△=2%）所需要的时间。二阶系统的动态性能指标求解显然，大小限制在之间。即它们是

c(t)的包络线：由ts

的定义可知：ts是响应曲线进入并永远保持在规定的允许范围内所对应的时间：可近似认为就是包络线衰减到△区域所需要的时间。(4)过渡时间（调节时间）ts

：二阶系统的动态性能指标求解

工程上，当0.1<ξ

<0.9

时，通常用下列二式近似计算调节时间。△=5%c(∞)△=2%c(∞)(5)振荡次数Ｎ：在时间内，过渡过程穿越其稳态值次数的一半。根据定义，有：系统有阻尼振荡周期。若已知：所以c(t)t01二阶系统的动态性能指标总结：

均与和有关，而只是的函数，与无关：与可以相互确定。在不改变最大超调量的情况下，通过调整无阻尼自振频率，可以改变控制系统的快速性。

先由确定后，时间常数则主要依据来确定：性能指标之间是有矛盾的。

(1)ωn

一定：使trtp

ξ

使tsN

ξ

(ξ

一定范围)必须必须必须(2)ξ

一定，使

trtpts

ωn

(3)ξ

N

只由ξ

决定必有总结：例3-1单位负反馈随动系统如图所示(1)确定系统特征参数与实际参数的关系。(2)若K=16(rad/s)、T=0.25(s)，试计算系统的动态性能指标。

(1)系统的闭环传递函数为与典型二阶系统比较可得：K/T=n21/T=2ns(Ts+1)R(s)C(s)K﹣+二阶系统计算举例解：(2)K=16，T=0.25时(=0.05)K/T=n21/T=2n二阶系统计算举例例3-2带负反馈的随动系统如图所示要求系统的性能指标为试确定系统的值和值，并计算动态性能指标：二阶系统计算举例解：s(s+1)R(s)C(s)K﹣+又由：得：例3-3已知单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试求系统的开环传递函数。

解：由系统的单位阶跃响应曲线，直接求出最大超调量和峰值时间。

Mp=30%tp=0.1求解上述二式，得到=0.357，n=33.65(rad/s)。于是二阶系统的开环传递函数为1c(t)t01.30.1（1）欠阻尼情况二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应二阶系统欠阻尼单位脉冲响应曲线二阶系统的单位脉冲响应性能指标参数“峰值时间”“最大超调量“二阶系统的单位脉冲响应c(t)t01

tp

（2）无阻尼情况二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应（3）临界阻尼情况二阶系统的单位脉冲响应（4）过阻尼情况二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应曲线（1）欠阻尼情况二阶系统的单位斜坡响应r(t)=t稳态分量？暂态分量？二阶系统的单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应（2）临界阻尼情况（3）过阻尼情况第三章控制系统的时域分析3.1典型输入信号3.2一阶系统的过渡过程3.3二阶系统的过渡过程3.4高阶系统的过渡过程3.5控制系统的稳定性3.6控制系统稳态误差的基本概念3.7稳态误差计算3.8消除和减少稳态误差的办法G(s)，H(s)

一般是复变量s的多项式，故上式可记为3.4高阶系统的过渡过程3.4.1高阶系统的单位阶跃响应高阶控制系统的动态结构图，如下图所示。其闭环传递函数为G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)

式中0<ξ

k<1

。即系统有q

个实极点和r

对共轭复数极点。（系统闭环特征根，或系统的闭环极点）。

其中，分子多项式的阶次m不高于分母多项式的阶次n。对上式进行因式分解，在一定条件下，可得：

取拉氏反变换，并设全部初始条件为零，得到系统单位阶跃响应的时间表达式：

于是，系统单位阶跃响应的拉氏变换：式中；

。高阶系统的时域分析Ak、Bk是各项系数，为常数。稳态分量？暂态分量？分析上式可知：

单位阶跃响应的各暂态分量项，由闭环极点决定。

若该极点远离虚轴，则该项系数小；若该极点靠近一个零点，则该项系数小；若该极点远离所有零点，又接近虚轴，则该项系数大！

单位阶跃响应各项的系数由零、极点分布共同决定。具体有以下几种典型情况：衰减慢！

衰减慢且系数大的项在过渡过程中起主导作用。3.4.2闭环主导极点

满足下列条件的极点称为闭环主导极点：

在所有极点中，距离虚轴最近的极点（往往是一对共轭复数极点）；此（对）极点附近无零点；其他极点距虚轴的距离是它的5倍以上。主导极点的对应项衰减最慢，系数最大，系统的暂态性能指标主要由它决定。具有共轭闭环主导极点的高阶系统可近似为二阶系统。第三章控制系统的时域分析3.1典型输入信号3.2一阶系统的过渡过程3.3二阶系统的过渡过程3.4高阶系统的过渡过程3.5控制系统的稳定性3.6控制系统稳态误差的基本概念3.7稳态误差计算3.8消除和减少稳态误差的办法3.5控制系统的稳定性

稳定性是对系统的基本要求，探讨系统的稳定条件；提出保证系统稳定的措施。3.5.1稳定的概念和定义

如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；摆的平衡

(a)(b)ABA稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。

如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。

小球的稳定域控制系统的稳定性

线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。3.5.2线性系统的稳定条件

线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。根据定义输入扰动(t)，设扰动响应为Cn(t)。如果当t→∞时，Cn(t)收敛到原来的平衡点，即有

那么，线性系统是稳定的。

下面据此推导系统的稳定条件：控制系统的稳定性

线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。判稳求根

不失一般性，设n阶系统的闭环传递函数为

3.5.3

劳斯稳定判据首先给出系统稳定的必要条件：

设线性系统的特征方程为

式中，qi（i=1,2,,

n）是系统的n个闭环极点。根据代数方程的基本理论，有下列关系式成立：劳斯稳定判据：一种不用求解特征方程式的根，根据特征方程式的系数就可以判断控制系统是否稳定的间接方法。劳斯稳定判据

从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：aiaj>0(i,

j=1,2,

,

n)即，闭环特征方程各项系数同号且不缺项。

这是一个必要条件！根据劳斯稳定判据，系统稳定的充分条件是：由该特征方程作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。若不满足，则不稳定劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。劳斯稳定判据系统稳定的必要条件:有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定!系统稳定的充分条件:劳斯表第一列元素不变号!若变号系统不稳定!变号的次数为特征根在s右半平面的个数!特征方程各项系数均大于零!-s2-5s-6=0稳定吗？劳斯稳定判据表中：1）最左一列元素按s的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。

2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。

3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。a0

a2a4a6

…a1

a3a5a7

…b1

b2b3b4

…c1c2c3c4…d1d2d3d4…┋…e1snsn−1

sn−2

sn-3sn-4┋s1

s0

劳斯表的构造：判稳！！！！！2.劳斯判据的应用示例（+两种特殊情况）（1）判断系统的稳定性及方程正实部根的个数

例1

设有下列特征方程D(s)=s4+2s3+

3s2+4s+5=0，试用劳斯判据判别系统的稳定性以及该特征方程的正实部根的数目。解：必要条件构造劳斯表第一列元素符号改变了2次，∴系统不稳定，且s右半平面有2个根。s4s3s2s1s0135246155例2系统的特征方程为

D(s)=s33s+2=0试用劳斯判据确定正实部根的个数。解：必要条件系统的劳斯表为第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。这表明系统处在不稳定状态或临界稳定状态。为了完成劳斯表，对此情况，可作如下处理：s3s2s1s01302∞稳定否？∵ε→0+时，b1<0，劳斯表中第一列元素符号改变了两次∴系统有两个正实部根，不稳定。s3s2s1s0130(ε)22用一个很小的正数ε来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。D(s)=s33s+2=0劳斯稳定判据例2设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳斯表s0s1s2s3s451756116601劳斯表何时会出现零行?2出现零行怎么办?3如何求对称的根?②由零行的上一行构成辅助方程:①

有关于原点对称的特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数:2s1211继续计算劳斯表1第一列全大于零,所以系统稳定错啦!!!由综合除法可得另两个根为s3,4=-2,-3解辅助方程得对称根:s1,2=±j劳斯表出现零行系统一定不稳定劳斯稳定判据第二种特殊情况出现全行为0时系统特征根在s平面有对称分布大小相等符号相反的实根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根劳斯稳定判据第二种特殊情况例3

设某线性系统的闭环特征方程为

D(s)=s4+

s3

3s2

s+2=0

试判断系统稳定性，并用劳斯判据求方程根。解:必要条件。。该系统的劳斯表如下属于第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在关于原点对称的根（正负实根，共轭虚根或两对共轭复数根）。因此处理如下：s4s3s2s1s0132112200

由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，∴系统有两个正实部根，系统不稳定。通过解辅助方程可求出关于原点对称的根：

s1=1和s2=1

。对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为s3=1和s4=2

。

用全零行的上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。s4s3s2s1s01321122

42F(s)=2s2+2F(s)=4s（2）分析参数变化对稳定性的影响例4

已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。

解：系统特征方程式s3+3s2+2s+K=0要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均须大于零，因此0<K<6s3s2s1s012

3K(6K)/3Ks(s+1)(s+2)R(s)C(s)

K﹣+根据必要条件可知：K须大于零。（3）确定系统的相对稳定性

例5

检验多项式2s3+10s2+13s+4=0是否有根在s右半平面，并检验有几个根在垂直线s

=1的右边？解：1)

劳斯表中第一列元素均为正∴系统在s右半平面没有根，系统是稳定的。

2)s3s2s1s0213

10412.24-1sS1

令s1

=s

1坐标平移，得新特征方程为

2

s13+4

s12

s1

1=0

劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在s1右半平面有一个根。s13s12s11s1021410.51

因此，系统在垂直线s=1的右边有一个根。劳斯稳定判据第三章控制系统的时域分析3.1典型输入信号3.2一阶系统的过渡过程3.3二阶系统的过渡过程3.4高阶系统的过渡过程3.5控制系统的稳定性3.6控制系统稳态误差的基本概念3.7稳态误差计算3.8消除和减少稳态误差的办法3.6

控制系统稳态误差的基本概念1.误差的定义：定义被控量的希望值与实际值之差为控制系统的误差，记为：G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)Y(s)系统被控量的实际值；系统被控量的希望值；c(t)[误差信号]中包含稳态分量和暂态分量。稳态分量：反映控制系统跟踪控制信号或抑制干扰信号的能力和精度，能够反映控制系统的稳态性能。

2.稳态误差定义：误差信号的稳态分量，定义为控制系统的稳态误差，记为：3.与的关系对于系统被控量的希望值：当反馈通道传递函数是常数时：定义偏差信号为零时的被控量的值，就是被控量的希望值。G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)Y(s)令则

4.误差与偏差的关系G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)Y(s)根据误差的定义式：可得：又由：故：又由：可得：亦即：G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)Y(s)偏差信号对于参考输入的闭环传递函数？误差信号对于参考输入的闭环传递函数？误差传递函数！！第三章控制系统的时域分析3.2一阶系统的过渡过程3.3二阶系统的过渡过程3.4高阶系统的过渡过程3.5控制系统的稳定性3.6控制系统稳态误差的基本概念3.7稳态误差计算3.8消除和减少稳态误差的办法3.9顺馈控制的误差分析稳态误差的计算误差系数稳态误差

用级数展开法求误差系数

用长除法求误差系数

单位负反馈系统稳态误差的求取：G1(s)R(s)C(s)﹣+++G2(s)稳态误差的产生？误差传函稳态误差的计算G1(s)R(s)C(s)﹣+++G2(s)

干扰信号为零，参考输入信号引起的稳态误差参考输入信号下稳态误差的计算将在邻域内进行泰勒级数展开：令：误差系数参考输入信号下稳态误差的计算参考输入信号引起的稳态误差——不仅与系统的特性有关还与参考输入信号的特性有关G1(s)R(s)C(s)﹣+++G2(s)

参考输入信号为零，干扰信号引起的稳态误差G2(s)G1(s)F(s)C(s)++-1稳态误差的计算

总稳态误差

非单位负反馈稳态误差的求取：误差系数干扰信号引起的

稳态误差——不仅，还例1单位负反馈控制系统的开环传递函数为：其中，K=10，T=1，求在作用下的稳态误差。稳态误差的计算示例1解：由上式可求得误差系数：且：所以：稳态误差的计算

用级数展开法求误差系数

用长除法求误差系数例2用长除法求上例所示控制系统的稳态误差。K=10，T=1，解：误差系数稳态误差误差传函用长除法求误差系数用长除法求误差系数例3

设有一随动系统如图所示，计算该系统的稳态误差。稳态误差的计算示例3解：f(t)=0R(s)C(s)﹣+++稳态误差的计算示例3稳态误差的计算示例3解：r(t)=0第三章控制系统的时域分析3.2一阶系统的过渡过程3.3二阶系统的过渡过程3.4高阶系统的过渡过程3.5控制系统的稳定性3.6控制系统稳态误差的基本概念3.7稳态误差计算3.8消除和减少稳态误差（终值）的办法3.9顺馈控制的误差分析如图所示单位负反馈控制系统方块图。设其开环传递函数为：υ

=0

称为0型系统；υ

=1称为Ⅰ型系统；υ

=2称为Ⅱ型系统。等等```G(s)R(s)C(s)﹣+

控制系统的类型消除和减少稳态误差（终值）的办法

对于所有型次的控制系统系统，有如下定义：系统的开环位置放大倍数系统的开环速度放大倍数系统的开环加速度放大倍数

几个定义式：消除和减少稳态误差（终值）的办法0型系统：

系统的型次不同，系统的开环**放大倍数取值不同：I型系统：II型系统：G(s)R(s)C(s)﹣+

误差传递函数：消除和减少稳态误差（终值）的办法误差对参考输入信号的闭环传递函数：1.阶跃输入作用下的稳态误差（终值）开环位置放大倍数0型系统：Kp

=

K典型输入信号作用下的稳态误差（终值）Ⅰ型及Ⅰ型以上系统：Kp

=∞0型系统有差跟踪阶跃输入I型及以上系统无差跟踪阶跃输入2.单位斜坡输入作用下的稳态误差（终值）开环速度放大倍数

0型系统：Kv

=0，0型系统无法跟踪斜坡输入Ⅰ型系统：Kv

=

K，有差跟踪Ⅱ型及Ⅱ型以上系统：Kv

=∞，无差跟踪3.加速度输入作用下的稳态误差开环加速度放大倍数

0型系统：Ka=0

Ⅰ型系统：Ka

=0

Ⅱ型系统：Ka

=

K

Ⅲ型及Ⅲ型以上系统：Ka

=∞

单位阶跃、单位斜坡、单位加速度输入作用下的稳态误差r(t)=t2/2r(t)=tr(t)=1(t)开环（**）放大倍数系统型别ess=1/Ka

ess=1/Kv

ess=1/(1+Kp)

KpKvKaυ∞∞1/(1+K

)

K

0

00∞1/K

00

∞∞

KII1/K

0

∞

K

0I典型输入信号作用下的稳态误差(终值)减小和消除稳态误差的办法提高系统的开环放大倍数；增加系统的类型数；结论：若单位反馈控制系统的开环传递函数中含有个积分环节时，当系统跟踪类型的信号时，系统的稳态误差（终值）等于零。因此，对于形如的输入信号而言，只要在系统前向通道中串联个积分环节，就可以消除稳态误差。减小和消除稳态误差的办法误差信号对输入信号的闭环传递函数：

求取稳态误差终值的办法：小总结

先求稳态误差，再求稳态误差的终值；

级数展开法，长除法，求误差系数，再求稳态误差。

根据误差传递函数，求稳态误差的终值；终值定理。

利用结论，直接得稳态误差的终值；r(t)=t2/2r(t)=tr(t)=1(t)ess=1/Ka

ess=1/Kv

ess=1/(1+Kp)

例：

已知单位负反馈：求：时的稳态误差的终值。

根据误差传递函数，求稳态误差的终值；示例

例：示例

已知单位负反馈：求：时的稳态误差的终值。

先求稳态误差，再求稳态误差的终值；

例：

已知单位负反馈：求：时的稳态误差的终值。

利用结论，直接得稳态误差的终值；I型系统，K=2.5对于控制系统，当输入时对于I型系统：示例

所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。

计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样可以采用拉氏变换终值定理。

如何减少和消除系统在干扰信号作用下引起的稳态误差？？？由于干扰信号的作用点与参考输入信号不同，因此需要具体讨论。减小和消除干扰信号引起的稳态误差的办法G1(s)R(s)C(s)﹣+++G2(s)

放大倍数的影响减小和消除干扰信号引起的稳态误差的办法G1(s)R(s)C(