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背包问题例1(背包问题)设有一辆背包可以装入的物品情况如下表:问:如何安排装入方案,使背包一次装入的货物总价值最大?解:设xi为背包装入第i种货物的件数。货物（件）12…n

最大装入量

单位重量w1

w2…wn

a单位价值c1

c2…cn注：若每种物品的最大件数为1，则xi取值为0或1，称为0-1背包问题阶段：按照物品的种类将装入背包的过程分为n个阶段，每个阶段装入一种物品；状态变量sk:装前k-1种的物品的可用背包容量；决策变量xk

:装入第k种物品的数量；状态转移方程:sk=sk+1-wkxk最优指标函数fk(sk+1)：若只装入k种物品，背包容量为sk+1时装入物品的最大价值动态规划的顺序递推方程（顺序解法）显然，我们要求的是fn(a)例1：有一艘货船的最大载重量为5吨，用以装载三种货物，每种货物的单位重量及单价如表所示。应如何装载使总重量最大？货物（件）123

最大装入量

单位重量3255单位价值8512解：按顺序装入三种货物，装入过程分为三个阶段，k=1，2，3。采用动态规划的顺序解法求解。当k=2时当k=1时当k=3时由所以所装入的最大物品总价值为13。

旅行商（TSP）问题设有一个由n个城市构成的交通网络，各个城市之间的路径长度已知。一个推销员从城市1出发到其他城市，每个城市必须经过且只经过一次然后返回城市1。问：该推销员该如何选择行走路线使得总的路程最短。记所有城市的集合为V={v1,v2,…,vn}；

城市i到城市j的距离为dij；递推公式(动态规划的基本方程)：很显然，我们最后需要求的是，其中将推销员的旅行过程分为n个阶段；第k阶段的状态为：(所在的城市vi，所经过的城市集合Vk

)最优值函数fk(vi,Vk):从城市1出发，经过k个城市（经过城市集合为Vk）到达城市vi

的最短路径长度采用顺序解法进行求解例2：求解4个城市的旅行商问题，其4个城市之间的距离如矩阵所示。求推销员从城市1出发经过所有城市一次并回到城市1的最短路径及路径长度。解：由边界条件可知k=1：从v1出发，经过一个城

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