第二章被控对象的数学模型

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第一节概述第二节对象数学模型的建立第三节描述对象特性的参数第一节概述

数学模型是系统输入作用与输出作用之间的数学关系。其表达形式主要有两类：即非参量模型和参量模型。

非参量模型是指用曲线或数据表格形式来表示的数学模型。

参量模型是指用数学表达式来描述的数学模型。下面我们主要讨论参量模型。

控制系统中需要建立数学模型的，不局限于被控对象，系统中的每一个部分都需要建立数学模型。但相对来说，被控对象之外部分的数学模型很多是控制仪表及装置的模型，其特性已经研究得比较多，而且变化很少。被控对象则比较复杂，不同的控制系统，被控对象的差异极大。因此，建模的重点是对象的建模。被控对象千差万别，建立模型特别是机理建模，需要对被控对象有比较透彻的了解。1．控制对象的特点

控制对象系统相对较大、较为复杂，时间常数大、滞后大，具有非线性、分布参数和时变特性，因此建模比较困难，需要在模型的简化上做工作，更多地需要从实验中建立模型。2．简化模型

实际的物理系统是非常复杂的，控制对象也是如此，必须对系统进行适当的简化处理，才能有效地建模。通常的做法是：（1）从分布参数到集中参数所有系统的模型本质上都是分布参数（数理统计名词）的，但分布参数模型太复杂，难建立也难以处理。因此，通常都是将它简化为集中参数系统来建立模型。当然，这仅仅在一定的范围内是有效的。（2）从非线性到线性实际的物理系统存在许多非线性，只要系统中任何一个环节是非线性的，系统就是非线性的。线性系统的重要特征是可以运用叠加原理，这将使系统建模分析大大简化。因此，在很多情况下，应该尽量将系统简化为线性系统来建模和分析。3．建模方法

系统的建模方法分为两大类：机理建模与实验建模。开始人们倾向于机理建模，认为这样的模型有理论依据，物理意义明确。但对于较复杂的系统，做了许多简化与理想化后，才能建立起机理模型。实验室建模似乎是迫不得已的办法，但在数据处理能力大大提高的今天，它也有较强的生命力。机理建模就像是“开环控制”，理论上可以做到很精确，但实际上很难；试验建模就像是“闭环控制”，不管对象有多复杂，都可用这种综合方法来对付它。

对于一个新的建模问题，可以先建立一个比较简化的机理模型，对之进行一些初步的了解和研究。然后再试图建立一个比较完善的数学模型，进行比较全面和精确的研究。最好是机理建模与实验建模相互印证、相互补充和完善。第二节对象数学模型的建立一、机理建模机理建模就是根据被研究对象的物理化学性质和运动规律来建立系统的数学模型。因此，需要掌握对象的能量平衡关系、物料平衡关系、动量平衡关系、化学反应规律、电路电子原理等知识，难度相当大。因此，必须作出合理的假设，建模才是可行的。通常总是假设系统是集中参数的和线性的，当然，在这样的假设条件下，建立的模型只能在一定的工作范围内适用。

但是，各种假设的合理程度如何？简化的方法是否正确？模型的适用工作范围如何？这一系列问题，最终还是要通过实验来验证和修正。控制系统中，需要建模的对象包括了各种类型的元器件、仪表与装置（有电子的、机械的、气动的、液动的），简单的如杠杆系统，复杂的如反应器等等。下面我们着重介绍化工等过程设备装置的数学模型。1、一阶系统

当一个对象可以用一阶微分方程描述其特性时，它就是一个一阶对象或一阶系统。设其微分方程表示为：（2-1）式中，x为对象的输入变量，y为对象的输出变量；T称为时间常数，K称为放大系数。经拉普拉斯变换并整理得传递函数：（2-2）用方块图表示为（图2-1）很多实际的物理对象，其数学模型是一阶系统或者可以近似地用一阶系统来描述。如R－C电路和水槽就是最常见的一阶系统。（1）R－C电路用途：整流滤波、闪光灯等在图2－2所示的电路中，设ei为输入电压，是该系统的输入变量；电容两端的电压为输出电压，是该系统的输出变量；i是流过电阻R的电流。根据电路原理中的科希霍夫定律，有：

ei＝iR＋e0和消去中间变量i，得到ei与e0之间的关系式：（2-3）

上式是一阶微分方程，说明R-C电路是一阶系统。此处T=RC，K=1。经拉普拉斯变换并整理得R-C电路系统的传递函数为（2-4）

R－C电路很直观，也很简单，电阻和电容的概念比较清晰。许多物理系统如液位系统、热力学系统和气动系统有类似的概念。（2）水槽

如图2-3所示，水槽的液面高度为h，我们希望这个液位能比较稳定，这里将它定为该系统的输出变量或被控变量。输入流量Qi由阀门1加以调节，从而保持液位h的稳定，Qi是系统的输入变量。对水槽的流出量Q0，阀门2不加以控制，它是系统的中间变量，随h发生变化，但却有一定的自衡能力。h的变化是由阶跃干扰△Qi引起的。阀门2相当于一个负载，或者是类似于R－C电路中的电阻R，可称为液阻R：当流过阀门2中的流体状态为层流时，有

Q0＝Kh（2-6）由以上两式，可求得此时的液阻R：由于K是一个常数，故R也是一个常数，这与电阻很相似。对于水槽系统，还可以定义类似于电容的液容C：

很显然，对于横截面积保持不变的容器，液容等于横截面积A（即C=A）。当系统中的液体流动为层流时，系统是线性的；当液体流动状态为紊流时，系统是非线性的，但在变量很小的变化范围内，可以线性化。因此，在很小的时间dt之内，水槽的液体体积变化量为

Cdh=（qi－q0）dt（2－7）qi和q0是相对于稳定值Qi和Q0的微小变化量。将中间变量q0消去(q0=h/R)，得此处T=RC，K=R。经拉普拉斯变换并整理得传递函数为：（2-8）

从上面两例，可以看到它们的微分方程和传递函数都很相似，一阶系统的放大系数：

K=1R－C电路

K=R水槽系统

R－C电路和水槽系统中，时间常数T均等于RC。（K和T的物理意义将在后续章节中介绍）。2、非自衡系统

前面分析的水槽系统，当液位升高时，出口流量q0会自动增加，使液位稳定在一定的工作范围内，系统能自动达到一个平衡状态，这样的系统称为自衡系统，在控制系统中是最常见的，也是比较易于控制的系统。

图2－4所示的系统，是没有自衡能力的。其输出流量由一个正位移泵抽出，保持恒定，与液位无关。因此，当Qi发生变化，使液位h偏离平衡值时，系统不会自动到达平衡状态。如果Qi有一个增量且保持不变，则液位将持续上升，直至溢出。这样的系统称为非自衡或无自衡系统。这样的系统相对于自衡系统比较难于控制。由方程（2-7），且此时q0=0，得

（2-9）所以该系统也常称为积分对象。该系统的传递函数为

（2-10）（注：上两式中C为液容，也可以用横截面积A）3．二阶系统

当一个对象可以用二阶微分方程描述其特性时，它就是一个二阶系统或二阶对象。我们设其微分方程为：（2-11）对上式两边进行拉普拉斯变换，并整理得（2-12）很多物理系统的数学模型可用二阶系统来描述，如R－C串联电路和串联水槽等。（1）R－C串联电路

设ei为系统的输入变量，e0为系统的输出变量，由科希霍夫定律，得:(2-13)由该方程组解得R－C串联电路的微分方程表达式为:(2-14)对方程（2－14）两边进行拉普拉斯变换，并整理得该二阶系统的传递函数为:

（2-15）（2）串联水槽

对于串联水槽，设Qi为系统的输入变量，Q是中间变量，h1和Q0也是中间变量，h2是输出变量。另外，还假设两只水槽具有同样的横截面积A，液位与流出量具有线性关系，则液阻:分别写出两个水槽的物料平衡方程为

Adh1=（qi－q）dtAdh2=（q—q0）dt式中，qi、q、q0均为相应的Qi、Q和Q0的微小变化量。由上述四个方程，消去中间变量h1、q和q0，解得输入变量qi与输出变量h2之间的微分方程为（2-16）对上式两边进行拉普拉斯变换，并设初始条件均为零，得到Qi到h2之间的传递函数为（2-17）设AR1=T1，AR2＝T2，R2=K，则有（2-18）

高于二阶的对象，研究起来比较复杂，甚至无法进行研究，通常都是将它们近似为一阶和二阶系统。

二、实验建模

实验建模原则上是把被研究对象看作为一个黑箱，通过施加不同的输入信号，研究对象的输出响应信号与输入激励信号之间的关系，估计出系统的数学模型。这种方法也可称为系统辨识方法或黑箱方法。

很显然，任何一个对象都可能有多个输入变量和输出变量，当我们要研究的是x1与y1之间的关系时，就应该将施加的输入信号加在x1输入端上，并记录相应的y1的变化。这种方法对于复杂对象更为有效。对于已知的一阶或二阶系统，通过实验方法测取其特性参数也很方便、实用。常用的方法有：

阶跃扰动法

当对象处于稳定状态时，施加一个阶跃信号到输入端，记录输出端的变化曲线即可。阶跃扰动法的优点是阶跃信号容易获得。当对象的输入量是流量时，只要将阀门开度突然变化一定幅度并保持不变即可，不需要另外的信号发生器。

对于水槽对象，阶跃扰动和相应的反应曲线如图2－7所示。由反应曲线可推得对象的数学模型及相关的参数。

将由输入输出曲线测得的参数数值，代入已推得的的微分方程或传递函数，就得到了完整的数学模型。在已知系统的数学模型结构的基础上，再通过实验来确定数学模型中参数的方法，又称为系统的参数估计。

除了上面介绍的这种方法之外，还有矩形脉冲法和周期扰动法。另外，还可以直接从正常生产过程的记录数据中分析过程特性，建立数学模型。这种方法称为在线辨识。但它需要大量的数据、较长时间、较多的数据处理技术水平，而且精确度也不够高。为了提高所得模型的可信度和精度，有时采用多种方法相互验证，相互补充。第三节描述对象特性的参数

描述对象特性的参数包括放大系数K、时间常数T和滞后时间τ，K和T已在前面讨论的数学模型中看到过。下面我们讨论这三个参数的物理意义以及在系统中所起的作用。一、放大系数K

仍以水槽系统为例，在输入流量Qi等于输出流量Q。，液位h处于某个稳定状态时，使Qi突然有一个阶跃变化，阶跃幅度为a，并保持不变。由阶跃扰动法知道，此时，水槽的液位也有一个相应的变化，经过一段时间后，逐步趋于一个新的稳态值，如图2－8所示。

图中，a是输入流量的变化量，即阶跃扰动的幅值；b是液面最终稳态值与原稳态值之差。定义K为该系统的放大系数：

K=b/a=Δh/Δqi

=输出增量/输入增量（2-19）可见，放大系数K的物理意义就是把系统的输入变化量放大K倍，称为系统的稳态输出量。注意，由于b是系统经过很长时间进入稳态后的数值，因此，放大系数K是系统的静态特性参数。

放大系数K是非常重要的特性参数。K越大，表明输入信号对输出的控制作用越强。如截面积很小的水槽，较小的输入流量变化可能产生较大的输出量液位的变化。而截面积很大的水槽，输入流量的变化对输出量的影响很小。对于一个被控变量，可能同时有几个输入变量对之产生影响，这时，应该尽量选择放大系数K较大的作为调节变量，其他输入变量作为系统的干扰量。

如图2－9所示，该系统共有3个输入变量，选择x3作为调节变量后，x1和x2就被认为是该系统的干扰变量。从调节变量x3到输出变量y之间的关系叫做调节通道，xl到y之间的关系叫做干扰通道1，x2到y之间的关系叫做干扰通道2。每个通道都有相应的数学模型及相应的放大倍数K。K越大，表明该通道的调节能力越强；对于干扰通道，K越大，表明该扰动对输出变量的影响越大。二、时间常数T

已知R－C电路的数学模型为从电路图中，可以直观地知道，当电容充电结束后，电流i等于0，E0＝Ei，即该电路Ei到E0的调节通道放大系数K等于1。但E0是逐步达到最终值Ei的，它的快慢取决于T=RC的数值。T越大，表明电容C充满电需要的时间越长。这就是时间常数的物理意义。

同样，在水槽系统中，对于相同的输入流量变化量，截面积大的水槽要花更多的时间才能达到稳态液位值。如图2－11所示，一个水槽的截面积为A1，另一个的截面积为A2，A2＞A1，故在相同的输入流量变化量a的作用下，表现了不同的反应曲线。

时间常数T可以用实验的方法测得。一阶系统的微分方程，当输入为单位阶跃信号时，即A=1，且K=1时求得

（2-20）由该方程，当t=T时，

y（T）=1-e-1=0.632（2－21）依次还可以求得t=2T、3T、4T、5T等特殊点处的y值。同时对y（t）求导数得可求得反应曲线起始点的切线的斜率为（2-22）将以上计算结果绘于图2-12中。由公式（2-21）和图2-12可见，当反应曲线上升到最终值的63．2％时，所用的时间正好为时间常数T。即对象的输出增量保持初始变化速度，达到最终稳态值所需要的时间。因此，从实测的反应曲线上，相应于最终值的63．2％处的时间值就是时间常数T的数值。

从图中还看到，当时间t=3T时，曲线已经很接近最终值，此时计算值为最终值的95％；当时间t=5T时，曲线已几乎与最终值重合，此时的计算值为最终值的99．3％。可见，时间常数T也是标志系统动态过程何时基本结束的重要参数。因此，时间常数T是系统的动态参数。

另外，对于调节通道，时间常数T大，表明系统响应较平稳，系统较稳定，通常比较容易控制，但调节时间较长。如果时间常数T较小，系统相对比较难于控制。实际应用中有一个适中的时间常数较好。对于干扰通道，时间常数越大，对调节越有利。三、滞后时间τ

有些物理对象，当输入信号发生变化后，输出信号不会立即出现响应，出现滞后现象。滞后时间τ就是用来描述系统滞后现象的特性参数。滞后现象有两类：纯滞后和容量滞后。l、纯滞后τ0

纯滞后又叫做传递滞后，用τ0表示。产生纯滞后的原因通常是由于物料的传输需要一定的时间，如图2－13所示的溶解槽浓度系统。

当浓度需要增加一定幅值时，操作进料量操纵板，使料体进料量增加。但是，由于粉体进料量的增加量a要经过输送皮带的传送，滞后一定的时间τ0才能进入溶解槽，系统的输出量浓度y才会响应。也就是说，从输入信号料体进料量有了变化，到输出信号浓度开始变化的这段时间里，溶解槽无法感受到进料的变化。这段时间的长短取决于粉体传送距离L和皮带机的输送速度U，故（2-23）

上述分析，是以粉体加料斗下方的进料量操纵板处的进料量作为系统的输入变量的；如果从溶解槽液面处的进料量作为系统的输入变量来分析并画图，则相当于在图中τ0时刻才有增量a，输出变量y几乎是立即产生响应的。这说明可以把原来的带有纯滞后的一阶系统分解为一个独立的纯滞后环节和一个独立的无纯滞后的一阶环节。在反应曲线图形上，带有纯滞后的一阶系统的响应曲线与无纯滞后的一阶系统的响应曲线比较，形状完全一致，只是右移了滞后时间τ0而已。2、容量滞后τc

所谓容量滞后，是系统的输入变量变化后，输出变量的变化相当缓慢，在一段时间内几乎观察不到，然后，才逐渐显著地开始变化。这是由于系统中物料