圆的进一步认识

圆的进一步认识于丽娟知识网络图圆圆的对称性与圆有关的位置关系正多边形和圆弧长与扇形面积轴对称同弧上的圆周角与圆心角的关系点和圆的位置关系直线和圆的位置关系切线切线的判定定理弧长扇形面积中心对称垂径定理弧、弦、圆心角的关系正多边形的有关概念正多边形的性质确定圆的条件三角形的外接圆圆周角圆周角定理及其推论切线的性质定理切线长定理三角形的内切圆需要注意的问题：1、垂径定理的推论：平分弦的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的优弧和劣弧。2、圆心角、弧、弦的关系定理中注意条件：在同圆或等圆中。3、圆周角定理的推论：相等的圆周角所对的弧相等的前提：非直径由等弧推其他三条时此条件可以不加在同圆或等圆中1、灵活运用垂径定理及其推论，圆心角、弧、弦及弦心距之间的关系以及圆周角及推论解决问题。2、了解与圆有关的位置关系，并能根据给出的条件进行判断和计算。3、能运用切线的判定和性质定理进行有关的论证和计算。4、了解三角形与圆的位置关系、相关概念及三角形外心、内心的性质。5、能用量角器和尺规画正n边形。6、能熟练的运用弧长、扇形面积、圆锥侧面积和表面积公式进行有关的计算，并会求阴影部分的面积。7、在学习中形成分类、转化、归纳、演绎的数学思想方法。重点：1、圆的基本性质（垂径定理和圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理及推论）2、直线与圆的位置关系。难点：1、圆周角定理的证明；2、切线性质定理的证明（涉及反证法）；3、三角形内外心性质的应用。突破难点的关键：1、注意本章知识与学生已有知识的衔接；2、注意基本数学思想（分类、转化、归纳、演绎）的体现和应用；3、注意揭示概念和结论的数学本质4、注意本章各部分知识之间的联系定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

如：∠EAC=∠F∠FAD=∠ECD●OAEF定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。圆中常见题目：计算（求线段与角；扇形面积与弧长；求阴影部分面积等）；证明因为有垂径定理及切线的性质等知识，因此圆的问题一般综合性较强，除圆的相关知识外，一般还会涉及到等腰三角形、全等三角形，相似三角形、解直角三角形、平行四边形（矩形、菱形、正方形）等知识。1、连半径1.如图，CD为⊙o的直径，弦AB⊥CD，垂足为P，AP=4cm，PD=2cm，则OP=____cm2.如图，A、B、C为⊙o上三点，如果∠OAB=56°，则∠ACB=_____2、作弦心距如图,⊙M与x轴相交于点A(2,0)，B(8,0),与y轴相切于点C,则圆心M的坐标是

.3、见弧的中点：可以考虑“中点与圆心相连”；还可以考虑用“等弧的相关定理”（如圆周角定理；圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理等）

已知，如图，AB是⊙O的直径，C为AE的中点，CD⊥AB于D，交AE于F。求证：AF=CF典型例题AFCEBD证明一：连接OC，ACO∵C为AE的中点∴OC⊥AE又∵CD⊥AO，∠AOC为公共角∴∠OCD=∠OAE∵OA=OC⌒⌒∴∠OCA=∠OAC∴∠FCA=∠FAC∴AF=CF分析:要证线段相等,通常是证明两角相等或三角形全等。该题是证两角相等。证明三：延长CD交⊙O于G,连接AC证明二：连接AC、BC∵AC=CE∴∠CAE=∠CBA，又CD⊥AB∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠ACD=∠CBA=∠CAF，AF=CF︵

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已知，如图，AB是⊙O的直径，C为AE的中点，CD⊥AB于D，交AE于F。求证：AF=CF典型例题AFCEBDGAB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AG=AC=CE，∴∠CAE=∠

GCA，∴CF=AF︵

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⌒4、见直径想90°圆周角；见90°圆周角想直径如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是

.50°5、见切线连切点与圆心如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点。若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为______cm．8切线长定理的应用如图，⊿ABC中，∠C=900，点O在BC上，以OC为半径的半圆切AB于点E，交BC于点D，若BE=4，BD=2，求⊙O的半径和边AC的长分析：此题是对切线的性质定理和切线长定理的应用，当题目中出现圆的切线和切点时，通常要把圆心和切点相连，则半径和切线垂直，同时从圆外一点A引圆的两条切线AE和AC相等，从而利用直角三角形求解。x42xX2+16=(x+2)2

得x=3，y2+64=(y+4)2yy△OBE∽△ABC得：3/y=4/8此题也可利用三角形相似求解。证明圆的切线通常（所作的辅助线）有两种思路：（1）连半径，证垂直（最常见）（2）作垂直，证半径当题目中明确说明或能判断有一点既在圆上又在直线上时当题目中不能判定出有一点在圆上又在直线上时例1：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．求证：DE是⊙O的切线．解题关键：证明OD∥AC.方法一：利用等边对等角证∠C=∠BDO；方法二：利用三线合一证明OD为△ABC的中位线．例2：如图AB是⊙O的直径，P点在AB的延长线上，弦CD⊥AB于E,∠PCE=2∠BDC求证：PC是⊙O的切线解题关键：证明∠OCP=90°.即证明∠OCP=∠OCD+∠DCP=90°.有些题目需要证明三角形全等来证90°（⊥）。例3.如图，直角坐标系中，半径为1的⊙O的圆心在坐标原点，求证：直线y=－x+与⊙O相切解题关键：作OD⊥AB.证明OD为半径D1、已知，如图，点I是⊿ABC的内心，AI交边BC于点D，交⊿ABC外接圆于点E.求证：（1）IE=BE(2)IE2=AEDE分析：本题（1）问主要考查三角形内心的含义，它是三角形内角平分线的交点，从而∠DBI=∠ABI，∠BAI=∠CAI，结合同弧所对的圆周角∠EBD=∠CAD，证得∠EBI=∠EIB，结论得证。出现（2）问的形式，往往是把（1）的结论用上，即证BE2=AE.DE,从而找到应该证明△BDE∽△ABE,通过三角形的相似得以证明。2.已知，ΔABC内接于⊙O,AD⊥BC于D,AC=4,AB=6,AD=3,求⊙O的直径。

证明:作⊙O的直径AE,连接BE,则∠C=∠E,∠ADC=∠ABE,∴△ABE∽△ADC,∴AD/AB=AC/AE,即AE=AB×AC/AD=8,∴⊙O的直径为8分析:解决此类问题时,我们通常作出直径以及它所对的圆周角,证明ΔABE∽ΔADC.ＥＤBCA

.O┓.┓构造相似△6431.已知正三角形ABC的边长为6，内切圆⊙O分别切三边于点D、E、，F，求阴影部分的面积。2.如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y=1/x的图象上，则图中阴影部分的面积是______.3.如图，在⊿ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AF于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF=400，则阴影部分的面积为_______.归纳总结本题组的每一个题目代表一类题型1题直接套用面积公式计算2题采用移、拼的方法得到的图形可以直接求值3题利用规则图形的求和或求差解决●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的异侧例⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是___

.2或14cm两条平行弦的间距问题圆中知一条弦长，半径，弦心距，弓高知二求二1.在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.分析：此题为垂径定理在实际问题中的应用，我们要把实际问题转化为几何问题来解决，因为题目中没给出图形，所以有两种情况，如下图，即求CM的长解：Rt⊿OMB中，OB=2OO，BM=160∴OM==120∴CM=200-120=80(mm)或CM=200+120=320(mm)∴油的深度为80mm或320mm没给出图形时，容易出现两种情况一条弦对两类圆周角，其关系要么相等要么互补1、如图，P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，Q是优弧AB上一点，试探索∠P与∠Q的数量关系。·圆周角问题2、如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.60度30或150度CD如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）

A．1B．1或5C．3D．5·相切与平移结合问题B

平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_______.2或4cm·点与圆的位置关系问题ABCO三角形的外接圆和内切圆：ABCI三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。三角形外接圆的圆心叫三角形的外心实质性质三角形的外心三角形的内心三角形三边垂直平分线的交点三角形三内角角平分线的交点到三角形各边的距离相等到三角形各顶点的距离相等ABC●┗┏┓ODEF┗●ABC●O●┗┓ODEF┗直角三角形的内切圆半径与三边关系.三角形的内切圆半径与圆面积.锐角三角形的外心位于三角形内部,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外部.三角形的外心一定在三角形的内部。1.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n

条对称轴。正多边形有关的性质2.正多边形各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等3.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心