集合的基本运算全集与补集(北师大版)

设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，C＝{1,3,5}．问题1：集合B∪C等于什么？提示：B∪C＝A.问题2：集合B与集合C的交集是什么？提示：B∩C＝∅.引入新课

1．全集在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的

，这个给定的集合叫作全集．常用符号U表示．

2．补集

(1)设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有

A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集(或余集)，记作

.(2)符号表示：∁UA＝

．

子集不属于∁UA{x|x∈U，且x∉A}(3)Venn图表示3．补集的性质(1)A∪(∁UA)＝

；(2)A∩(∁UA)＝

.U∅典题精讲[例3]

试用集合A,B的交集,并集,补集分别表示图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分所表示的集合.ⅠⅡⅢⅣU[例4]

设全集为Ｒ,Ａ＝{x|x<5},B={x|x>3},求：(1)A∩B;(2)A∪B;(3)CRA,CRB;(4)(CRA)∩(CRB);(5)(CRA)∪(CRB);(6)CR(A∩

B);(7)CR(A∪

B).课堂练习练习P14：T1,2,3,4,5.1．全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集．

2．补集的定义可以解释为：如果从全集U中取出A的全部元素，则所剩下的元素组成的集合就是∁UA.[例1]

(1)已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，求∁UA，(∁UB)∩A；

(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁UA、∁UB.[思路点拨]

(1)先求出∁UA和∁UB，利用数轴解决．

(2)先写出集合U和集合B，再利用交集、补集的定义或Venn图求解．典题精讲[精解详析]

(1)∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，结合数轴(如图),可知∁UA＝{x|1<x≤4}，∁UB＝{x|3<x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁UB)∩A＝{x|－1≤x≤0}；(2)法一：在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，B＝{－3,3,4}，∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．法二：可用Venn图表示则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．

[一点通]

1．在解答有关集合补集运算时，如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，但是解答过程中注意边界问题．

2．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，针对此类问题，在解答过程中常常借助于Venn图求解．1．(2011·四川高考)若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，

则∁MN＝ (

)A．∅B．{1,3,5}C．{2,4} D．{1,2,3,4,5}解析：由题意知∁MN＝{1,3,5}．答案：B2．设全集U＝{x∈N＋|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，

则∁U(A∪B)等于 (

)A．{1,4} B．{1,5}C．{2,4} D．{2,5}解析：U＝{x∈N＋|x<6}＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，

∴∁U(A∪B)＝{2,4}．答案：C解：如图所示[例2]设全集U＝{x|x≤20的质数}，A∩(∁UB)＝{3,5}，(∁UA)∩B＝{7,19}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B.[思路点拨]利用列举法可求得集合U，然后利用Venn图处理．

[精解详析]

因为U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，由题意画出Venn图，如图所示，故集合A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．

[一点通]

Venn图直观形象，特别是在有限集的运算中，效果比较明显，对集合A，B而言，有下图：用好此图，在解题中能起到事半功倍的效果．4．如果U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3,4}，

B＝{3,4,5,6}，那么(∁UA)∩(∁UB)等于(

)A．{1,2} B．{3,4}C．{5,6} D．{7,8}解析：如图所示，阴影部分为(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{7,8}．答案：D5．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓

球运动，8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动

但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30⇒x＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12人．答案：12[例3]

已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}且A

∁RB，求a的取值范围．

[思路点拨]先求出∁RB，再分类讨论，由A

∁RB求出a.[精解详析]

∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，∵A

∁RB,∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．

(1)若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2.∴a≤1.综上所述，a的取值范围是：a≤1或a≥2.

[一点通]解答有关交、并、补集综合运算及含参数的问题，常借助Venn图和数轴，采用数形结合的思想给予解答，在解答过程中注意集合运算性质的等价转化及端点值的取舍．6．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，集合B＝

{x|k＜x＜k＋1，k∈R}，且(∁UA)∩B≠∅，则实数k的

取值范围为 (

)A．k＜0或k＞3 B．2＜k＜3C．0＜k＜3 D．－1＜k＜3解析：∵∁UA＝{x|1＜x＜3}，(∁UA)∩B≠∅，∴1＜k＜3或1＜k＋1＜3，∴0＜k＜3.答案：C7．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋

b＝0}，满足(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，U＝R，

求实数a、b的值．1．补集的性质①∁UU＝∅；②