第一章 渗流理论基础3专

§1—6渗流的连续性方程在渗流区内以P点取一无限小的平行六面体，其边长分别为Δx、Δy、Δz，并且和坐标轴平行，设P点沿坐标轴的渗透速度分量为vx、vy、vz，液体密度为ρ，则P点处，单位时间内通过垂直于坐标轴方向单位面积的水流质量分别为ρvx、ρvy、ρvz。那么，通过abcd面中点的单位时间单位面积的水流质量为：用Taylor级数展开：略去二阶导数以上的高次项，得Δt时间内由abcd面流入单元体的质量为：同理，通过a´b´c´d´面流出单元体的质量为：沿x轴方向流入和流出单元体的质量差为：同理，可得到沿y轴和z轴方向流入和流出这个单元体的液体质量差，分别为：在Δt时间内，流入与流出这个单元体的总质量差为：在均衡单元体中，孔隙体积为nΔxΔyΔz，其内液体质量为ρnΔxΔyΔz，Δt时间内，单元体内液体质量的变化为：根据质量守恒定律，上二式应相等，因此，消去Δt得此式为渗流的连续性方程（研究地下水运动的基本方程）。§1—7承压水运动的基本微分方程假设条件：(1)水流服从Darcy定律；(2)K不随ρ=ρ(p)的变化而变化；(3)μs和K也不受n变化的影响；(4)含水层侧向无压缩，即Δx、Δy为常量，只有垂直方向Δz的压缩。在连续性方程的右端项中，有三个变量，随压力p的变化而变化。三个变量随时间的变化转化成压力随时间的变化。液体压缩后，质量不变。即密度ρ和体积V变化，二者乘积不变。d(ρV)=ρdV+Vdρ=0得：由水的压缩系数：得：所以，dρ=ρβdp前面给出了含水层厚度Δz和孔隙度n随压力p的变化关系：d(Δz)=Δzαdp；dn=(1-n)αdp式中：α为多孔介质压缩系数。将三式代入连续方程右端项得：于是连续性方程变为：将化为：因为，故有：p=γ（H-z）=ρg（H-z）或：将dρ=ρβdp代入，得：即，因为水的压缩性很小，βp忽略不计，代入前式，得第二项ρ非常小，忽略不计，于是上式变为：根据Darcy定律：1.在各向同性介质中，有：代入上式，得因为Ss=ρg（α+nβ）所以上式变为：两边消去单元体体积ΔxΔyΔz，得：此式为非均质各向同性介质承压水流微分方程。2.对于各向异性介质：非均质各向异性介质承压水流微分方程为：3.对于均质各各向同性介质，K为常数，承压水流微分方程为：4.地下水流为二维流时，非均质各向同性介质承压水流微分方程为：两边乘含水层厚度M，得或5.柱坐标：如果能用柱坐标表示，则x=rcosθ、y=rsinθ，代入可化成式6.有源汇项，用W表示。源：在垂向上有水流入含水层称源。W为正。汇：在垂向上有水流出含水层称汇。W为负。有源汇项时，只需在上述方程中左边加W即可。如各向同性介质：7.稳定流：水位H不随时间变化，即，上述微分方程的右端项等于零，即非均质各向同性：非均质各向异性：均质各向同性：二维流，去掉上式中左边第三项。小结：承压水三维非稳定流非均质各向同性：非均质各向异性：均质各向同性：承压水二维非稳定流非均质各向同性：非均质各向异性：均质各向同性：承压水三维稳定流非均质各向同性：非均质各向异性：均质各向同性：承压水二维稳定流非均质各向同性：非均质各向异性：均质各向同性：柱坐标表示的三维流方程：井流方程：

非稳定流：稳定流：思考题§1—8越流含水层中地下水非稳定运动的基本微分方程

越流含水层（半承压含水层）：当承压含水层的上、下岩层（或一层）为弱透水层时，承压含水层可通过弱透水层与上、下含水层发生水力联系，该承压含水层为越流含水层。

越流：当承压含水层与相邻含水层之间存在水头差时，地下水便会从高水头含水层通过弱透水层流向低水头含水层，这种现象称越流。

假设条件：(1)水流服从Darcy定律；(2)K不随ρ=ρ(p)的变化而变化；

(3)Ss和K也不受n变化的影响；(4)含水层侧向无压缩，即Δx、Δy为常量，只有垂直方向Δz的压缩。(5)当弱透水层的渗透系数K1比主含水层的渗透系数K小很多时，近似认为水基本上是垂直地通过弱透水层，折射90º后在主含水层中基本上是水平流动的。(如K1与K相差较小时，用等效渗透系数，非越流)。(6)弱透水层和主含水层释放的水及相邻含水层的越流量相比，弱透水层本身释放的水量小到可以忽略不计。越流含水层的微分方程：如图，主含水层的厚度为M，水头为H；上、下各有一厚度为m1和m2、渗透系数为K1和K2的弱透水层。上覆潜水含水层的水位为H1，下伏承压含水层的水位为H2。在含水层全厚度上取一单元体。水平长，宽为Δx，Δy。单元体的中点为P，在P点沿x方向单位时间，通过P点，面积ΔyM的流量为Qx，沿x轴流量的变化率为。则沿x轴流入单元体的水量为：沿x轴流出单元体的水量为：沿x轴单位时间流入流出单元体的水量差为：同理，可得沿y轴单位时间流入流出单元体的水量差为：在Z轴方向：由下部承压含水层单位时间流入越流含水层单元体的水量为：Qz2=v2Δx·Δy向上部含水层单位时间流出越流含水层单元体的水量为：Qz1=v1Δx·Δy单位时间内沿Z轴方向流入和流出单元体的水量为：(v2-v1)Δx·Δy

由质量守恒定律有：因为：代入上式，得消去ΔxΔy，得：此式为非均质各向同性越流含水层中地下水非稳定运动的基本微分方程。对于非均质各向异性介质，有：

对于均质各向同性介质，有：有源、汇项的情况下：非均质各向同性非均质各向异性均质各向同性

上式中的K/m（用σٰ表示）为越流系数。越流系数：当主含水层和供给越流的含水层间水头差为一个长度单位时，通过主含水层和弱透水层间单位面积界面上的水流量。

称为越流因素，量纲为[L]。

§1—9研究潜水运动的基本微分方程一、Dupuit假设潜水面是弯曲的，等水头面也是弯曲的，潜水流的运动不是水平的。实际上潜水面的坡角很小。

Dupuit假设：假设潜水面比较平缓，等水头面铅直，水流基本上水平，可忽略速度的垂直分量。同一剖面各点的渗透速度相等。

Dupuit假设是忽略了渗流速度的垂直分量vz，但是，有些地段垂向分速度较大，不能采用Dupuit假设。也就是说，垂向分速度不能忽略。

此外，还有降深较大的抽水井附近，二、Boussinesq方程

在Dupuit假设和不考虑水的压缩性的条件下。考虑二维问题（含水层不水平），在渗流场内取一土体。如图。水平宽为Δx，Δy。

单元体的中点为P，在P点沿x方向单位时间，通过面积Δyh的流量为Qx，沿x轴流量的变化率为。则沿x轴流入单元体的水量为：沿x轴流出单元体的水量为：沿x轴单位时间流入流出单元体的水量差为：同理，可得沿y轴单位时间流入流出单元体的水量差为：单位时间内，垂直方向的补给量为：WΔxΔyΔt时间流入流出单元体的水量差为：土体内的水量变化引起潜水面的升降。假设潜水面的变化速率为：，则Δt时间内，土体内水的增量为：

据质量守恒原理，两个增量应相等。即将：代入上式，得消去ΔxΔyΔt，得：此式为非均质各向同性潜水二维运动的微分方程。非均质各向异性：均质各向同性：隔水底板水平时非均质各向同性：非均质各向异性：均质各向同性：隔水底板水平时，潜水一维流：非均质各向同性：均质各向同性：从微分方程中可知，潜水运动的微分方程是非线性的。

对于三维流，这是考虑垂向分速度，其微分方程同承压水流微分方程。非均质各向同性：

非均质各向异性：

对于稳定流：二维流：非均质各向同性：非均质各向异性：三维流：非均质各向同性：非均质各向异性：§1—10双重介质渗流学说一、基本假定（“孔隙—裂隙二重性”假定）（1）具有原生孔隙的岩层中广泛发育有随机分布的裂隙，二者都充满着整个研究区，形成两个重叠的连续系统。即孔隙和裂隙的分布彼此连续。（2）孔隙以贮水为主，裂隙以导水为主，水自孔隙经裂隙流向别处，其总的渗透性决定于裂隙的渗透性，水在裂隙中的流动服从Darcy定律。（3）孔隙和裂隙的初始水头相等。他们之间交换的水量与其水头差成正比，即（4）含水层骨架可以压缩，但其固体颗粒的压缩性忽略不计，看成刚性的。二、微分方程的建立根据上述假定和连续性原理，建立裂隙含水层的微分方程。根据第二个假定，这个单元体中水通过裂隙流入、流出，并服从Darcy定律。在时段内沿x轴方向流入单元体与流出单元体的水量差（净流入单元体的水量）为同理。在y轴方向在z轴方向裂隙中流入水量因此，在时间内单元体中总的水量变化（净流入量）为这个时间内，单元体内贮存量的变化量为在单元体内，对裂隙有

对孔隙有由于孔隙中的水力坡度很小，可以认为故有式中：称为承压水迁移系数。这是关于（H-Hf）的一阶线性微分方程，按已知公式，求其通解为：利用初始条件代人上式，可得C=0。由此求其解为只包括裂隙水头（Hf）的方程：上式是描述承压双重介质裂隙水流的基本微分方程。在二维情况下可简化为物理意义为单位时间内单位体积含水层（二维情况下为单位面积的柱体）中从孔隙流入裂隙的水量。它是一个和时间有关的量。延迟弹性释水项中包含一个新的参数—承压水迁移系数。根据定义，其中比例常数C是反映孔隙和裂隙之间水量交换特征的参数，与孔隙的渗透系数K及多孔岩块的几何特征有关。C=K/L值取决于K,L,Ss等，它是反映孔隙、裂隙发育情况及其连通程度的特征量。对无压含水层，二维流情况下为式中：称为迁移系数；h为含水层厚度，方程右端第二项的物理含义为延迟弹性释水量与延迟重力排水量之和。§1—11定解条件前面我们给出了，不同类型地下水的微分方程。分类有：微分方程是描述地下水运动的方程，不同类型的地下水有相应的微分方程。也就是说，如果只有微分方程，每一类微分方程描述的是这一类地下水运动的所有情况。如：承压水一维稳定流。或者因此，仅用微分方程是不能够确切的描述某一地区的地下水运动的。必须同时考虑其它条件的限制。如，补给、径流、排泄条件，以及边界性质、边界形状等。因此，除微分方程外，我们还应给出下列条件：

(1)方程中有关参数的值。主要有：渗透系数、导水系数、给水度、贮水率、贮水系数、越流系数，还有源、汇项等。(2)渗流区的范围和形状。(3)边界条件：渗流区边界所处的条件。(三维流是一个封闭的曲面；二维流是一条封闭的曲线)(4)初始条件：在某一选定的初始时刻(t=0)渗流区内水头H的分布情况。

定解条件：就是指边界条件和初始条件。非稳定流既有边界条件又有初始条件；稳定流只有边界条件。

数学模型：一个或一组数学方程与其定解条件加在一起，构成一个描述某实际问题的数学模型。一、边界条件边界条件分为三类：1.第一类边界(也叫给定水头边界)条件：在某一部分边界上，各点在每一时刻的水头都是已知的。用下列式子表示：三维流：二维流：式中：H—表示S1或Γ1某点(x,y,z)或(x,y)在t时刻的水头；φ1、φ2为已知函数。可作为第一类边界边界的有：(1)与含水层水力联系好的河流或湖泊；(2)泉和抽水井；（3）含水层无限延伸时，影响范围以外的边界。注意：区别给定水头边界和定水头边界。2.第二类边界(也叫给定流量边界)条件：某一部分边界单位面积上流入（或流出）的流量是已知的。用下列式子表示：三维流：二维流：式中：n—边界外法线方向；q1、q2为已知函数。常见的二类边界有：①零流量边界：，有隔水边界、分水岭和流线。②抽水井和注水井：③泉水。3.第三类边界(混合边界)条件：某边界上水位和法向水力坡度的线性组合是已知的。即如图，当含水层的边界上有一弱透水层与其它水体或含水层相隔时，常为三类边界。越过边界单位面积的流量为单位面积越流量为：

二者相等，并化简得4.潜水面边界在三维流中，潜水面作为边界处理。①稳定流浸润曲线上压强等于大气压，任意一点的水头等于该点的纵坐标。为一类边界。②非稳定流二类边界：非稳定流中，地下水位是随时间变化的，如图。当浸润曲线下降时，从浸润曲线边界流入渗流区的单位面积流量q为：二、初始条件初始条件：指某一选定时刻渗流区内各点的水头值。用下列式子表示：三维流：

二维流：§1—11描述地下水运动的数学模型及其解法一、地下水流问题的数学模型1.数学模型数学模型分随机模型和确定性模型。

随机模型：数学关系式中含有一个或多个随机变量的模型。确定性模型：数学模型中各变量之间有严格确定的关系。本书讨论的模型为确定性模型。描述实际地下水流的确定性模型的必备条件：①有一个或一组描述地下水运动规律的偏微分方程；②相应的定解条件；③识别模型（或校正模型）。2.建立数学模型的步骤①查明地质、水文地质条件；②确定研究区的范围和形状；③对研究区的水文地质条件进行概化；④给出微分方程和定解条件，以及模型中需要的参数；⑤模型识别。3.数学模型必须满足的三个条件：①解的存在性；②解的唯一性；③解的稳定性，指当参数和定解条件发生微小变化时，所引起的解的变化也是微小的。4.例题例1，研究区地质情况如图，W(x,y,t)代表单位时间、单位面积上的垂向补给量，P(x,y,t)为计划开采区单位面积上的抽水流量，试写出它的数学模型。①查明地质、水文地质条件；②确定研究区的范围和形状；③对研究区的水文地质条件进行概化；④给出微分方程和定解条件；数学模型为：例2，其它条件同例1，在河底有一弱透水层，河水与地下水无直接的水力联系，只是通过弱透水层越流补给地下水。其数学模型为：另外，此时的河流可作为二类边界处理（略）。

5.正问题和逆问题正问题：在数学模拟中，给定含水层的水文地质参数和定解条件，求解水头H，这类问题叫正问题或水头预报问题。逆问题：根据动态观测资料或抽水试验资料反过来确定水文地质参数，为逆问题或反求参数问题。二、地下水流问题的解法三种解法：解析法、数值法、模拟法。本章总结一、渗流的基本概念1多孔介质，实际应用中能够区分：孔隙介质、裂隙介质、岩溶（Karst）介质。地下水的流动类型可归纳为两类：渗流和流动。2地下水和多孔介质的性质（1）地下水的状态方程（2）多孔介质的某些性质①多孔介质的孔隙性：孔隙度、有效孔隙、有效孔隙度。

②多孔介质的压缩性。3贮水率和贮水系数

贮水率、贮水系数、二者关系、说明(4点)4渗流（1）渗流

假想水流应有以下特点(4点)，渗流区或渗流场（2）典型单元体5渗流速度过水断面、渗流速度、渗流速度与实际流速的关系。6地下水的水头和水头坡度

地下水的水头和水位、等水头面、等水头线、水力坡度。7地下水运动特征的分类稳定流、非稳定流、一维运动、二维运动和三维运动。8地下水流态的判断层流和紊流。二、渗流基本定律1