高中数学人教B版第一章集合 习题课(四)

习题课(四)时间：45分钟总分：90分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数f(x)＝x－eq\f(4,x)的零点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个答案：C解析：令f(x)＝0，即x－eq\f(4,x)＝0.所以x＝±2.故f(x)的零点有2个，选C.2．一次函数y＝f(x)，经过点(0,1)，(1,2)，则y＝f(x)的解析式为()A．y＝xB．y＝x＋1C．y＝－x＋1D．y＝－x答案：B3．已知函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(3)＝()\f(1,2)B．1\f(3,2)D．2答案：C解析：因为f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，所以f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2).令x＝－1，则f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2),即f(1)＝－f(1)＋f(2)，所以2f(1)＝f(2)＝1，即f(1)＝eq\f(1,2).故f(3)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).故选C.4．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)，x，f(x)的部分对应值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6由此可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间分别是()A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)答案：A解析：∵f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，∴f(－3)·f(－1)＜0.∵f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，∴f(2)·f(4)＜0.∴方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)．5．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利率eq\f(销售价－进价,进价)×100%由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于()A．12B．15C．25D．50答案：B解析：设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－x,x)×100%＝\f(r,100),\f(a－x1－8%,x1－8%)×100%＝\f(10＋r,100)))解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.6．函数y＝2x2＋bx＋5在(3，＋∞)上单调递增，则实数b的取值范围()A．b≥－6B．b≥－12C．b≤6D．b≤12答案：B解析：由题意，－eq\f(b,4)≤3，∴b≥－12.二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．答案：(－2,0)解析：函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上单调递增．由已知条件，可得f(0)f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0.8．已知S(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0,－1，x＜0))，则函数g(x)＝S(|x|)＋|S(x)|的值域为________．答案：{2}解析：由|x|≥0，得S(|x|)＝1，又|S(x)|＝1，所以g(x)＝2.故g(x)的值域为{2}．9．设函数f(x)＝|x2－2ax＋b|，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象必关于直线x＝1对称；③若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数；④f(x)有最大值|a2－b|.其中正确命题的序号是________．答案：③解析：若a＝1，b＝1，则f(x)＝|x2－2x＋1|＝x2－2x＋1，显然f(x)不是偶函数，所以①错误；若a＝－1，b＝－4，则f(x)＝|x2＋2x－4|，满足f(0)＝f(2)，但显然f(x)的图象不关于直线x＝1对称，所以②错误；若a2－b≤0，则f(x)＝|x2－2ax＋b|＝x2－2ax＋b，图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线x＝a，此时f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数，所以③正确；显然函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)没有最大值，所以④错误．故填③.三、解答题(本大题共3小题，共45分)10．(12分)某股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在下图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：第t天4101622Q(万股)36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P与时间t所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q与时间t的一次函数关系式；(3)在(1)(2)的结论下，若该股票的日交易额为y(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天的日交易额最大，最大值是多少？解：(1)P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)t＋2，0＜t≤20,－\f(1,10)t＋8，20＜t≤30))(t∈N*)．(2)设Q＝at＋b(a，b为常数)，把(4,36)，(10,30)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＋b＝36,10a＋b＝30))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝40)).所以日交易量Q与时间t的一次函数关系式为Q＝－t＋40,0＜t≤30，t∈N*.(3)由(1)(2)，可得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)t＋240－t，0＜t≤20,－\f(1,10)t＋840－t，20＜t≤30))(t∈N*)，即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)t－152＋125，0＜t≤20,\f(1,10)t－602－40，20＜t≤30))(t∈N*)，当0＜t≤20时，y有最大值，即ymax＝125，此时t＝15；当20＜t≤30时，y随t的增大而减小，ymax＜eq\f(1,10)×(20－60)2－40＝120.所以这30天中的第15天的日交易额最大，最大值是125万元．11．(13分)当且仅当实数a满足什么条件时，函数y＝f(x)＝ax2＋2x＋1至少有一个零点在原点左侧？解：当a＝0时，函数为y＝2x＋1，令2x＋1＝0，得x＝－eq\f(1,2)，∴函数y＝2x＋1的零点在原点左侧，符合题意．当a≠0时，∵f(0)＝1，∴抛物线y＝ax2＋2x＋1过(0,1)点．若a<0，则抛物线开口向下，如图(1)所示，函数必然有一个零点在原点左侧；若a>0，要使此函数至少有一个零点在原点左侧，如图(2)所示，则必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a≥0，,－\f(2,2a)<0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,\f(1,a)>0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a>0.))∴0<a≤1.综上所述，a的取值范围是(－∞，1]能力提升12．(20分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若a>b>c，且f(1)＝0，试证明：f(x)必有两个零点；(2)设x1，x2∈R，x1<x2，且f(x1)≠f(x2)，若方程f(x)＝eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x1，x2)．证明：(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.∴Δ＝b2－4ac≥－4∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根，∴f(x)必有两个零点．(2)令g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]，则g(x1)＝f(x1)－eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]＝eq\f(1,2)[f(x1)－f(x2)]，g(x2)＝f(x2)－eq\f(