高中数学北师大版第二章平面向量 获奖作品

18平面向量数量积习题课时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝()A．－1B．1C．－2D．2答案：A解析：a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，∴λa＋b＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b与a垂直，∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0，∴λ＝－1，故选A.2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为()\f(π,3)\f(π,2)\f(2π,3)\f(3π,4)答案：C解析：∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，∴〈a·b〉＝eq\f(2π,3).3．已知向量a＝(3,4)，b＝(6，t)，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是()A．(8，＋∞)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，8))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，＋∞))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，8))∪(8，＋∞)答案：D解析：由题意，得a·b>0，即18＋4t>0，解得t>－eq\f(9,2).又当t＝8时，两向量同向，应去掉，故选D.4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3，BC＝1，CD＝2，则AD的长所在的区间为()A．(2,3)B．(3,4)C．(4,5)D．(5,6)答案：C解析：由向量的性质，知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，其中eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为60°，eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角为30°，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角为90°，于是|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝9＋1＋4＋2×3×1×eq\f(1,2)＋2×1×2×eq\f(\r(3),2)＋0＝17＋2eq\r(3)∈(16,25)，所以AD∈(4,5)．5．在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值等于()A．0B．4C．8D．－4答案：B解析：因为∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，所以∠BAD＝60°，AD＝2，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝－2×4×cos120°＝4，所以选B.6．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2\r(2)\f(\r(2),2)答案：C解析：由(a－c)·(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)·c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝eq\r(2)，故选C.二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知向量a，b满足b＝(1，eq\r(3))，b·(a－b)＝－3，则向量a在b方向上的投影为__________．答案：eq\f(1,2)解析：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2且由b·(a－b)＝－3，解得a·b＝1，所以a在b方向上的投影为：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))cos<a，b>＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(1,2).8．△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))≤0，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≥0，则eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的最小值为__________.答案：3解析：∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1.∴－x≥－1，∵eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.9．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，设向量c满足(2a－c)·(3b－c)＝0，则|c|的最大值为__________.答案：eq\r(26)解析：设c＝(x，y)，则由题意得(2－x)·(－3－x)＋(2－y)·(3－y)＝0，即(x＋eq\f(1,2))2＋(y－eq\f(5,2))2＝eq\f(13,2)，所以|c|的最大值为直径eq\r(26).三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．已知在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，eq\o(DA,\s\up6(→))＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，判断四边形ABCD的形状．解析：在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))四个向量顺次首尾相接，则其和向量为零向量，故有a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＝|d|又a·b＝c·d，∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.①同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2，②由①②可得|a|＝|c|，|b|＝|d|，即此四边形两组对边分别相等．故四边形ABCD为平行四边形．另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，由平行四边形ABCD得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0，即a·b＝0，故有a⊥b，即AB⊥BC综上，四边形ABCD是矩形．11．已知在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，且△ABC是直角三角形，求实数k的值．解析：(1)若∠BAC＝90°，即AC⊥AB，即eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，从而2＋3k＝0，解得k＝－eq\f(2,3)；(2)若∠BCA＝90°，即AC⊥BC，即eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，而eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，k－3)，故－1＋k(k－3)＝0，解得k＝eq\f(3±\r(13),2)；(3)若∠ABC＝90°，即AB⊥BC，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，而eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，k－3)，故－2＋3(k－3)＝0，解得k＝eq\f(11,3).综合可知，k＝－eq\f(2,3)或k＝eq\f(3±\r(13),2)或k＝eq\f(11,3).12．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b满足|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|，其中k>0.(1)用k表示a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此时a，b的夹角．解析：(1)将|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|两边平方，得|ka＋b|2＝(eq\r(3)|a－kb|)2，k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)∴8ka·b＝(3－k2)a2＋(3k2－1)b2，a·b＝eq\f(3－k2a2＋3k2－1b2,8k).∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝1，b2＝1，∴