山西省长治市八泉中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

山西省长治市八泉中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0,＋∞)上为增函数，的充分必要条件是（

）A．a＝1且b＝0B．a＜0且b＞0C．a＞0且b≤0D．a＞0且b<0参考答案：C2.公差不为零的等差数列{an}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7则b6b8=（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：D【考点】等比数列．【分析】由2a3﹣a72+2a11=0结合性质求得a7，再求得b7，由等比数列的性质求得b6b8．【解答】解：由等差数列的性质：2a3﹣a72+2a11=0得∵a72=2（a3+a11）=4a7∴a7=4或a7=0（舍去）∴b7=4∴b6b8=b72=16故选D3.平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，则点取自△内部的概率为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.，是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．

【专题】平面向量及应用．【分析】设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）?=0，解得cosθ=﹣，可得θ的值．【解答】解：设，的夹角为θ，0°≤θ≤180°，则由题意可得（）?=0，即+=1+1×2×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴θ=120°，故选C．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于中档题．5.定义在R上的偶函数，满足，且在上是减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.已知定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），若a=0.76f（0.76），b=log6f（log6），c=60.6f（60.6），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b参考答案：D【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3O：函数的图象．【分析】利用导数判断函数的单调性，判断函数的奇偶性，然后求解a，b，c的大小．【解答】解：定义在R上的函数y=f（x）满足：函数y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称，可知函数是偶函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（f′（x）是函数f（x）的导函数），可知函数y=xf（x）是增函数，x＞0时是减函数；0.76∈（0，1），60.6（2，4），log6≈log1.56∈（4，6）．所以a＞c＞b．故选：D．7.已知函数的图象如图所示，则函数的图像可能是（

）

参考答案：C略8.若函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B考点：利用导数研究函数的单调性．【思路点睛】函数在区间上存在单调增区间，也就是不等式在区间上有解解集，因此先求出的导数，再分离出变量，构造函数，只需，利用导数法求出的最大值即可求出实数的取值范围．本题考查函数的导数的综合应用，函数恒成立，考查转化思想，不等式的解法，考查计算能力，属于中档题．9.有下列命题： ①是函数的极值点； ②三次函数有极值点的充要条件是； ③奇函数在区间上是单调减函数； ④若函数，则． 其中真命题的个数有 （

） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：D略10.已知若=（）

A．32

B．1

C．-243

D．1或-243参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线（t为参数）与曲线相交于A，B两点，则点M到弦AB的中点的距离为

；参考答案：略12.将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是__________。

参考答案：答案：413.已知复数z满足，则（

）A.

B.

C.

D.2参考答案：A略14.如果执行右边的程序框图，那么输出的

。参考答案：720第1次循环：，；第2次循环：，；第3次循环：，；第4次循环：，；第5次循环：，；

此时到

进行判断，不满足，结束循环，输出。15.如果实数x，y满足条件，那么目标函数z＝2x－y的最小值为____________.参考答案：—3略16.设等比数列的前项和为.若，则数列的公比=_______参考答案：17.在平面直角坐标系中，曲线在处的切线方程是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知向量.（1）当时，求的值；（2）求在上的值域．参考答案：（1）∴，∴………………3分 ……………… 6分（2）………………9分∵，∴，…………10分∴………………11分∴

∴函数

…………12分19.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.参考答案：（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为

X0123P随机变量X的数学期望．（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．20.如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.（1）求，的方程；（2）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E．（i）证明：；(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由．参考答案：解：（1）由题意知，从而，又，解得。故，的方程分别为-------------------------4分（2）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由得，设，则是上述方程的两个实根，于是-------------------------5分又点的坐标为，所以-------------------------8分故，得证（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点A的坐标为又直线的斜率为，同理可得点B的坐标为.于是----------------------9分由得，解得或，则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标于是----------------------11分因此---------------------12分由题意知，解得或。----------------------13分又由点的坐标可知，，所以故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。-------------14分

略21.（14分）已知函数．（Ⅰ）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图；（Ⅱ）指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（Ⅲ）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．参考答案：考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：综合题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用五点法，即将2x+看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象；（Ⅱ）用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的顺序进行；（Ⅲ）g（x）=f（x）+m=sin（2x+）++m，x∈[﹣，]，求此函数的最值可先将2x+看成整体，求正弦函数的值域，最后利用函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，解方程可得m的值，进而求出函数最大值．解答： 解：（Ⅰ）先列表，再描点连线，可得简图．x﹣2x+0π2πsin（2x+）010﹣10y﹣（Ⅱ）y=sinx向左平移得到y=sin（x+），再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的变为y=sin（2x+），最后再向上平移个单位得到y=sin（2x+）+．（Ⅲ）g（x）=f（x）+m=sin（2x+）++m，∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴g（x）∈[m，+m]，∴m=2，∴gmax（x）=+m=，当2x+=即x=时g（x）最大，最大值为．点评：本题综合考察了三角变换公式的运用，三角函数的图象画法，三角函数图象变换，及复合三角函数值域的求法．22.IC芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemensprocess）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemensprocess）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：参考数据：0.150.100.050.0250.010.0050.0012.0722.73.8415.0246.6357.87910.828参考答案：（1）由题意列列表为