2023年经济数学基础讲义

微分学部分综合练习一、单项选择题1．函数的定义域是（D）．A.B.Ｃ．D.且２．下列各函数对中,(D)中的两个函数相等.Ａ．, B.,+１C．,ﻩD.，３.设，则(C)．Ａ．B.C.D.4.下列函数中为奇函数的是(C）．A．B．C．D.5．已知，当（A）时，为无穷小量.A.Ｂ.C.Ｄ．6．当时，下列变量为无穷小量的是(D)A.B．C.Ｄ．7.函数在x=0处连续,则k＝（ Cﻩ)．A.－2B．－1C．1D８．曲线在点(0，1）处的切线斜率为(A）.Ａ.B.Ｃ．D.9.曲线在点(0,0)处的切线方程为（A）．A.y=xB.y＝2xC．y=xＤ．ｙ=-ｘ10．设，则(Ｂ).A．Ｂ．C.D．11.下列函数在指定区间上单调增长的是(B)．A．sinxB.eｘC．x2 D.3－x12.设需求量q对价格ｐ的函数为,则需求弹性为Ep＝（B).A．B.C.D．二、填空题１．函数的定义域是 ﻩ ﻩ .2.函数的定义域是 ﻩ ﻩﻩ．(-５，2)3.若函数,则 ﻩ ﻩﻩﻩ.４.设,则函数的图形关于对称．Y轴5..16．已知,当时，为无穷小量．7.曲线在点处的切线斜率是ﻩ ﻩﻩﻩ ．注意：一定要会求曲线的切线斜率和切线方程,记住点斜式直线方程8.函数的驻点是.ｘ=19.需求量q对价格的函数为,则需求弹性为ﻩ .三、计算题（通过以下各题的计算要纯熟掌握导数基本公式及复合函数求导法则!这是考试的10分类型题)1．已知，求.解:2．已知，求.解3.已知，求.解４．已知，求．解:5.已知,求;解：由于所以6．设，求解:由于所以7．设，求．解:由于所以8.设，求.解：由于所以四、应用题(以下的应用题必须纯熟掌握！这是考试的2０分类型题)1．设生产某种产品个单位时的成本函数为：(万元)，求:(1）当时的总成本、平均成本和边际成本；（2)当产量为多少时，平均成本最小？解(1)由于总成本、平均成本和边际成本分别为:，所以,，（2）令,得（舍去)由于是其在定义域内唯一驻点,且该问题的确存在最小值，所以当20时，平均成本最小.２.某厂生产一批产品,其固定成本为2023元,每生产一吨产品的成本为６0元,对这种产品的市场需求规律为(为需求量，为价格）.试求:(１）成本函数,收入函数；(２）产量为多少吨时利润最大?解(1）成本函数=6０+20２3．由于，即,所以收入函数==()=.(２)利润函数=-＝-(６0＋2023)=４0--202３且=(40-－2023=40-0.2令=0,即40-0.2=0,得=20０,它是在其定义域内的唯一驻点．所以，＝２00是利润函数的最大值点,即当产量为２00吨时利润最大.3.某厂生产某种产品ｑ件时的总成本函数为C(ｑ)=２0+４q+０．01ｑ2（元),单位销售价格为ｐ=1４-0．０1q（元/件）,试求:(１)产量为多少时可使利润达成最大?(2）最大利润是多少？解(1）由已知利润函数则，令,解出唯一驻点.由于利润函数存在着最大值，所以当产量为25０件时可使利润达成最大,（2）最大利润为(元)4．某厂天天生产某种产品件的成本函数为（元).为使平均成本最低,天天产量应为多少？此时,每件产品平均成本为多少？解由于令，即＝0,得=140,=-1４0(舍去）.=１４０是在其定义域内的唯一驻点，且该问题的确存在最小值．所以＝１４0是平均成本函数的最小值点,即为使平均成本最低,天天产量应为１4０件.此时的平均成本为(元)５．已知某厂生产件产品的成本为（万元)．问:要使平均成本最少,应生产多少件产品？解由于==，==令=0，即,得,=-5０(舍去)，＝50是在其定义域内的唯一驻点.所以,＝50是的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．《经济数学基础12》期末复习二考核方式:本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合，成绩由形成性考核作业成绩和期末考试成绩两部分组成，其中形成性考核作业成绩占考核成绩的30%,期末考试成绩占考核成绩的70%.课程考核成绩满分１00分,6０分以上为合格，可以获得课程学分．试题类型：试题类型分为单项选择题、填空题和解答题．三种题型分数的比例为：单选择题１５%,填空题15％,解答题7０％．内容比例：微积分占５8%，线性代数占42%考核形式:期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为10０分．考试时间：90分钟．复习建议：（1)重点是本复习文本中的综合练习题(与期末复习小蓝本中的综合练习题基本同样，只是删去了部分非考试重点内容，把这部分内容掌握了,考试就没有问题）（2）模拟试题（在考试指南栏目中)(３)虽然试卷中给出了积分公式，但要在复习时通过文本中的练习题故意识的记记，要把公式中的x念成u,并注意幂函数有两个特例（）当公式记,考试时才干尽快找到公式并纯熟应用。积分的计算重点是凑微分和分部积分法(要记住常见凑微分类型、分部积分公式）。积分学部分考核规定第1章不定积分1.理解原函数与不定积分概念。（1)若函数的导数等于,即，则称函数是的原函数。(２)原函数的全体(其中是任意常数）称为的不定积分，记为=。（3)知道不定积分与导数(微分）之间的关系不定积分与导数(微分)之间互为逆运算,即先积分,再求导,等于它自身;先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即=,＝,,２.纯熟掌握不定积分的计算方法。（1)第一换元积分法（凑微分法)(2)分部积分法第2章定积分１．了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果．要区别不定积分与定积分之间的关系。定积分的结果是一个数，而不定积分的结果是一个表达式。若是奇函数,则有2．纯熟掌握定积分的计算方法。3.会求简朴的无穷限积分。第3章积分应用纯熟掌握用不定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。积分学部分综合练习一、单选题1.下列等式不成立的是()．对的答案:DA.Ｂ.ﻩC．D.２.若,则=（）.对的答案:ＤＡ．B.C.D.注意：重要考察原函数和二阶导数３.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（).对的答案：CA.B.C.D.4.若，则ｆ(x)=（）.对的答案：CA．B．-C.D．-5．若是的一个原函数，则下列等式成立的是（)．对的答案:BA．B.C．D.6.下列定积分中积分值为0的是（)．对的答案：AA．B.Ｃ．Ｄ．７.下列定积分计算对的的是（）.对的答案：ＤA.Ｂ.C．Ｄ．８．下列无穷积分中收敛的是().对的答案：CA.Ｂ．C.D．9.无穷限积分=（)．对的答案:CA．0B．C.D.二、填空题1.．应当填写:注意：重要考察不定积分与求导数(求微分）互为逆运算，一定要注意是先积分后求导(微分)还是先求导（微分）后积分。2.函数的原函数是．应当填写:－cｏｓ2x+ｃ３．若存在且连续,则.应当填写：注意:本题是先微分再积分最后在求导。4．若,则.应当填写:５.若,则=.应当填写：注意：6..应当填写:0注意：定积分的结果是“数值”,而常数的导数为07.积分 ﻩ ﻩﻩ.应当填写：0注意:奇函数在对称区间的定积分为08.无穷积分是ﻩ ﻩ.应当填写：收敛的三、计算题(以下的计算题要纯熟掌握！这是考试的10分类型题）1.解：=＝2.计算解：3．计算解:4.计算解：5.计算解:==６．计算解：=７．解:=＝＝８.解：=-==９．解:＝=＝=1注意：纯熟解答以上各题要注意以下两点（1)常见凑微分类型一定要记住（2）分部积分:，常考的有三种类型要清楚。四、应用题(以下的应用题必须纯熟掌握！这是考试的２0分类型题）投产某产品的固定成本为３6(万元),且边际成本为=2x+40（万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达成最低.解：当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为=＝1０0（万元）又==令，解得.x=6是惟一的驻点,而该问题的确存在使平均成本达成最小的值。所以产量为6百台时可使平均成本达成最小．2.已知某产品的边际成本(x)=2（元/件),固定成本为0,边际收益(x)＝1２-0．0２x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化?解：由于边际利润=12-０.０2ｘ–2＝10-0.02x令=０,得x=5０0;x＝５00是惟一驻点，而该问题的确存在最大值.所以,当产量为500件时，利润最大.当产量由5０0件增长至550件时,利润改变量为=5０0-525=-25(元)即利润将减少25元.３.生产某产品的边际成本为(ｘ）=8x(万元／百台)，边际收入为(ｘ)=10０-2x（万元/百台)，其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产２百台,利润有什么变化？解:(ｘ）=(x)-（x)=(100–２x）–8x＝１００–10x令(x)=0,得ｘ＝10(百台）;又x=1０是Ｌ(ｘ）的唯一驻点，该问题的确存在最大值，故ｘ＝10是L(x）的最大值点,即当产量为1０(百台)时，利润最大．又△即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.ﻩﻩ4．已知某产品的边际成本为（万元/百台),为产量(百台），固定成本为1８(万元），求最低平均成本．解：由于总成本函数为＝当=0时,Ｃ(０)=1８，得c=1８；即C()=又平均成本函数为令，解得＝3(百台),该题的确存在使平均成本最低的产量.所以当ｑ=3时,平均成本最低．最底平均成本为(万元/百台）５．设生产某产品的总成本函数为(万元）,其中x为产量，单位:百吨．销售x吨时的边际收入为（万元/百吨）,求：（１)利润最大时的产量;(2)在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化?解:（1)由于边际成本为,边际利润=14–2ｘ令，得x=7；由该题实际意义可知，x＝７为利润函数L(x)的极大值点,也是最大值点.因此，当产量为7百吨时利润最大.（２）当产量由7百吨增长至8百吨时,利润改变量为＝－1（万元)即利润将减少1万元.一、单项选择题１．设A为矩阵,B为矩阵,则下列运算中（）可以进行.对的答案:AA．ABB．ABTＣ．A+BD．BAＴ２.设为同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(）对的答案:ＢA.B.C.D.注意：转置矩阵、逆矩阵的性质要记住3.以下结论或等式对的的是()．对的答案：CＡ.若均为零矩阵,则有B．若,且，则C．对角矩阵是对称矩阵D.若,则４.设是可逆矩阵,且，则(）.对的答案:CA．B.C．D.注意：由于A(I+B)=I，所以I+Ｂ5.设，,是单位矩阵，则＝（).对的答案：ＤA.B．C.Ｄ.6．设,则r(A）＝(）．对的答案:ＣＡ.4B.3C.27.设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（)对的答案:AA．1B．2Ｃ.３8．线性方程组解的情况是(）.对的答案：AA.无解Ｂ.只有０解Ｃ.有唯一解Ｄ.有无穷多解9．设线性方程组有无穷多解的充足必要条件是（)．对的答案:DＡ．B.C．D.１0.设线性方程组有唯一解,则相应的齐次方程组(）.Ａ．无解B．有非零解C.只有零解D.解不能拟定对的答案:C二、填空题１.若矩阵A=，B=，则ATB= .应当填写:2.设均为阶矩阵，则等式成立的充足必要条件是.应当填写:是可互换矩阵3．设，当时,是对称矩阵.应当填写：04.设均为阶矩阵,且可逆，则矩阵的解X=．应当填写:5．若线性方程组有非零解，则 ﻩﻩ.应当填写:－1６．设齐次线性方程组，且秩(A)=r<n,则其一般解中的自由未知量的个数等于.应当填写:n–r7．齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为.应当填写:（其中是自由未知量)三、计算题(以下的各题要纯熟掌握！这是考试的15分类型题)1．设矩阵Ａ=,求逆矩阵．解：由于(AI)=所以A－１=注意:本题也可改成如下的形式考：例如:解矩阵方程AX＝Ｂ,其中，，答案:又如：已知，,求２．设矩阵A=,求逆矩阵.解：由于,且所以3.设矩阵Ａ＝,B=,计算(ＢA）-1．解:由于BA==(BAＩ)=所以(BA)-1=4．设矩阵,求解矩阵方程．解:由于，即所以X==＝５.求线性方程组的一般解.解：由于所以一般解为（其中，是自由未知量）6．求线性方程组的一般解.所以一般解为（其中是自由未知量）7.设齐次线性方程组,问取何值时方程组有非零解，并求一般解.解：由于系数矩阵Ａ=所以当=5时,方程组有非零解．且一般解为(其中是自由未知量）8．当取何值时，线性方程组有解?并求一般解．解：由于增广矩阵所以当=0时，线性方程组有无