初中数学华东师大版九年级下册第二十七章圆2圆中的计算问题【市一等奖】

课题：27.3圆中的相关计算第三课时圆锥的侧面积和全面积＆.教学目标：1、使学生了解圆锥的特征，了解圆锥的侧面、底面、高、母线等概念，了解圆锥的侧面展开图是扇形。2、使学生学会计算圆锥的侧面积或全面积。3、通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问题中抽象出数学模型的能力。4、通过圆锥侧面展开图的教学，向学生渗透化曲面为平面，化立体图形为平面图形的“转化”的观点。＆.教学重点、难点：重点：会进行圆锥侧面展开图的计算，圆锥表面积的计算。难点：准确进行圆锥有关数据与展开图有关数据的转化。＆.教学过程：一、情景导入1、回顾：圆弧的弧长公式是怎样的？需注意些什么？扇形的面积公式是怎样的？扇形面积与弧长有什么关系？2、问题：我们学习了很多平面图形面积的计算方法，而往往生活中还存在更多的立体的事物，比如我们常见的圣诞帽、蒙古包等等，你能计算这些物体的面积吗？像这种含曲面的图形的面积问题如何解决呢？二、探究新知§.探究圆锥的相关概念：教学方法：学生阅读课本，了解概念，教师通过图形加以讲解，加深印象。＆.圆锥的相关概念：1、圆锥的组成：一个底面和一个侧面。2、圆锥的母线：圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。3、圆锥的高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。§.探究圆锥和圆柱体的面积：动手操作并思考：（1）圆柱的侧面展开图是什么图形？（2）圆锥的侧面展开图是什么图形？（3）圆柱、圆锥是如何形成的？图1图1hOAlr图2结论：把圆柱体的侧面沿它的一条母线（给出母线的概念）剪开，展在一个平面上，侧面的展开图是矩形，如图.把圆锥的侧面沿它的一条母线（给出母线的概念，并与圆柱体的母线对比）剪开，展在一个平面上，侧面展开图是一个扇形，如图，它们都是旋转体。问题：（1）如果圆柱体的母线长为，底面圆的半径为，如何计算圆柱体的侧面积和全面积；（2）圆锥的母线长为，底面圆的半径为，如何计算圆锥的侧面积和全面积。教学方法：学生利用手中的圆锥、圆柱思考方法，小组讨论.教师巡视过程中，对有困难的学生给予指点，对于好的思路给予表扬。＆.圆柱体、圆锥的侧面积和全面积：圆柱的侧面积就是侧面展开图的矩形的面积（矩形的一边是圆柱底面的周长，另一边长恰好是圆柱的母线），全面积是侧面积加上两个底面的面积，即如果圆柱的母线长为，底面圆的半径为，那么圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积就是侧面展开图的扇形的面积（扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的半径是圆锥的母线），全面积是侧面积加上底面的面积，即如果圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为，因此圆锥的侧面积为，注意：（1）在利用公式时，要分清圆锥侧面积展开图所得到的扇形各元素与圆锥各元素之间的关系。（2）若圆锥的母线长为，高以及底面半径构成一个直角三角形，则有，已知、、中任意两个量都可以求出第三个量。三、讲解例题，巩固新知题型一：圆锥的相关计算问题§.例1、如图，半径是圆纸片，剪去一个圆心角是的扇形（图中的阴影部分），用剩余部分围成一个圆锥，求圆锥的高和底面圆的半径。解析：要求底面圆的半径，则需求出底面圆的周长，即优弧的长，而圆锥的高依据勾股定理，由母线长，底面圆的半径可求得。OAB图3解：设底面圆的半径为，圆锥的高为，母线长为OAB图3则，由弧长公式，可得：∴，解得：∴圆锥的高归纳：（1）注意明确圆锥的侧面展开图的实质，明确各元素之间的对应关系，以及母线、高线、底面半径之间的联系；（2）命题规律：利用圆锥底面圆周长与侧面展开图中弧长的关系及圆锥的基本特征进行计算。同步练习：将一块弧长为的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为（）、、、、题型二：圆锥的侧面积和全面积的计算§.例2、圆锥型的烟囱帽的底面直径为，母线长为，求它的全面积及侧面展开图的圆心角。解：由圆锥的全面积计算公式得：设扇形圆心角为，则解得：同步练习：一个圆锥形零件的母线长为，底面的半径为，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积。（答案：侧面积为，全面积为）§.例3、如图（1），一个直角三角形纸板，两条直角边分别为和，小明以纸板的斜边所在的直线为旋转轴旋转这个三角形纸板成如图（2）所示的旋转体，请你帮助小明推算出这个旋转体的全面积。（取）图4图4（1）DABAC图4（2）解析：这个旋转体是底面大小相同且相对的两个圆锥，根据题意，上、下两个圆锥的底面半径是的斜边上的高，上面圆锥的母线长，下面圆锥的母线长为，这个旋转体的全面积为两个圆锥侧面积的和。解：设，∴作于∵∴∴∴归纳：直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转一周得到的几何体是一圆锥，绕斜边所在的直线旋转一周得到的几何体是上下两个圆锥，它们的底面两圆相同。变式例题：如图（1），一个直角三角形纸板，两条直角边分别为和，小明以纸板的直角边所在的直线为旋转轴旋转得到一个旋转体，请你帮助小明推算出这个旋转体的全面积。（取）图5CA′OAPA图6P图5CA′OAPA图6PA1QABA图7B1题型三：圆锥侧面上两点间的最短距离的求法§.例4、如图，圆锥的底面半径为，母线长为，底面圆周上有一只蚂蚁，从点出发沿着圆锥运动一周后回到原出发点，求这只蚂蚁运动的最短路程。解析：因为圆锥的侧面展开图是扇形，所以由底面上一点沿圆锥面运动一周又回到出发了原出发点的最短路程实际上就是扇形中线段的长度。解：根据圆锥的底面周长即为扇形的弧长可得：解得：∴故过作于，则在中，，则由勾股定理得：∴答：这只蚂蚁运动的最短路程为.归纳：“化曲为直”就是把曲面（圆锥的侧面）展成平面（扇形，即圆锥的侧面展开图，利用“两点之间线段最短”是解决此类题的关键。同步练习：如图，已知圆柱的高为，底面半径为，轴截面上有两点、，，，则圆柱侧面上、两点间的最短曲线长是多少？答案：四、巩固练习教材