广东省佛山市南海第一高级中学高三数学理测试题含解析

广东省佛山市南海第一高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若满足约束条件，则的最大值（

）A.9

B.1

C.7

D.－1参考答案：A2.已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），满足（﹣）?（+﹣2）=0，则△ABC必定是(

)A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由向量的运算和已知条件可得=0，即||=||，可得结论．【解答】解：∵﹣==﹣，+﹣2=﹣+﹣=+，∵（﹣）?（+﹣2）=0，∴（﹣）?（+）=0，∴=0，即||=||，∴△ABC一定为等腰三角形．故选D．【点评】本题考查向量的三角形法则，向量垂直于数量积的关系以及等腰三角形的定义，属中档题．3.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去，则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到A处的所有不同走法(

)A22种

B24种

C25种

D36种参考答案：C略4.设连接双曲线与的四个顶点组成的四边形的面积为S1，连接其四个焦点组成的四边形的面积为S2，则S1:S2的最大值是 (

)(A) (B) (C)1 (D)2参考答案：B5.复数i（1+i）的虚部为（）A. B.1 C.0 D.－1参考答案：B【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【详解】∵i（1+i）=-1+i，∴i（1+i）的虚部为1．故选：B．

6.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(

) A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6参考答案：D考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果．解答： 解：设这组数据分别为x1，x2，xn，则=（x1+x2+…+xn），方差为s2=，每一组数据都加60后，′=（x1+x2+…+xn+60n）=+60=2.8+60=62.8，方差s′2=+…+（xn+60﹣62.8）2]=s2=3.6．故选D点评：本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．7.在空间，下列命题错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交B．一个平面与两个平行平面相交，交线平行C．平行于同一平面的两个平面平行D．平行于同一直线的两个平面平行参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据面面平行的性质可判断A；根据面面平行的性质定理可判断B；根据面面平行的性质可判断C；根据空间线面平行的几何特征及面面位置关系的定义和分类，可判断D．【解答】解：根据面面平行的性质可得：一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，故A正确；根据面面平行的性质定理可得：一个平面与两个平行平面相交，交线平行，故B正确；根据面面平行的性质可得：平行于同一平面的两个平面平行，故C正确；平行于同一直线的两个平面，可能平行也可能相交，故D错误；故选：D【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．8.已知P是直线上的动点，PA、PB是圆的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是A. B.C. D.参考答案：C略9.已知是正项等比数列，且…，则的值是A、2

B、4

C、6

D、8参考答案：B由对数的运算性质可得：，即，根据等比中项性质可得：，所以，即可得，故选择B.10.集合A={1，2，4}，B={x|1≤x＜4，x∈Z}，则A∩B=(

)A．{2}

B．{1，2}

C．{2，4}

D．{1，2，4}参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题：①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是_______________．

参考答案：②③①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由于成立，故围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；（3）3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为，故、中的中的每个元素都是极大向量时，中的每一个元素也都是极大向量，故正确，故答案为②③.

12.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣2）=﹣f（x），且在区间[0，1]上是增函数，则f（﹣25），f（17），f（32）的大小关系为（从小到大排列）参考答案：f（﹣25）＜f（32）＜f（17）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先由“f（x）是奇函数且f（x﹣2）=﹣f（x）”转化得到f（x﹣4）=f（x），即函数f（x）为周期4的周期函数，然后按照条件，将问题转化到区间[0，1]上应用函数的单调性进行比较．【解答】解：∵f（x）是奇函数且f（x﹣2）=﹣f（x），∴f（x﹣4）=﹣f（x﹣2）=f（x），f（0）=0∴函数f（x）为周期4的周期函数，∴f（﹣25）=f（﹣25+7×4）=f（3）=﹣f（1），f（17）=f（16+1）=f（1），f（32）=f（0）=0，又∵函数在区间[0，1]上是增函数，0=f（0）＜f（1）∴﹣f（1）＜f（0）＜f（1）∴f（﹣25）＜f（32）＜f（17），故答案为：f（﹣25）＜f（32）＜f（17）．13.展开式中的系数是.（用数字作答）参考答案：10展开式的通项为，由，得，所以，即的系数是10.14.若函数f（x）=（x﹣a）（x+3）为偶函数，则f（2）=．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数f（x）的定义域为R，则?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之求出a，即可求出f（2）．【解答】解：因为函数f（x）=（x﹣a）（x+3）是偶函数，所以?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），所以?x∈R，都有（﹣x﹣a）?（﹣x+3）=（x﹣a）（x+3），即x2+（a﹣3）x﹣3a=x2﹣（a﹣3）x﹣3a，所以a=3，所以f（2）=（2﹣3）（2+3）=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．15.如图,已知:△内接于圆，点在的延长线上，是圆的切线，若,,则的长为

.参考答案：4∵AD是圆O的切线，∠B=30°∴∠DAC=30°，∴∠OAC=60°，∴△AOC是一个等边三角形，∴OA=OC=2，在直角三角形AOD中，OD=2AO=4，故答案为：4．16.平面区域，若向区域内随机投一点，则点落入区域的概率为

.参考答案：17.已知抛物线恒经过、两定点，且以圆的任一条切线除外）为准线，则该抛物线的焦点F的轨迹方程为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（II）根据）若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，得到函数f（x）在区间（0，e]上不单调，并且有，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴（1）当2﹣a≤0即a≥2时f'（x）＜0恒成立．（2）当2﹣a＞0即a＜2时，由f'（x）＜0，得；由f'（x）＞0，得．因此：当a≥2时函数f（x）的单调减区间是（0，+∞）；当a＜2时，函数f（x）的单调减区间是，单调增区间是（II）∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．由（Ⅰ）知当a≥2时函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，不合题意，∴a＜2，并且，即①∵x→0时f（x）→+∞，故对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足，注意到f（1）=0，故只要f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2≥1，即②由①②知，所求的a得取值范围是19.（满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．（Ⅰ）如果,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树的分布列和数学期望．参考答案：解:（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为……3分方差为………6分（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=。同理可得所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021PEY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19。

………………12分20.如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，,平面,,

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小.参考答案：(1)如图，建立坐标系，则：，

，

…………2分

，又

，

.

………………6分（2）设平面的法向量为，设平面的法向量为，则，…………8分

解得，

令，则

…10分

二面角