第一章静电场201211

第一章静电场

第一章静电场

静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。

静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。

静电场知识结构框图1.1.1库仑定律1.1电场强度

N(牛顿)适用条件

两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;

无限大真空情况(式中可推广到无限大各向同性均匀介质中F/m)N(牛顿)图1.1.1两点电荷间的作用力

库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明:真空中两个静止的点电荷与之间的相互作用力:1.1.2静电场基本物理量——电场强度定义：

V/m(N/C)

电场强度（ElectricFieldIntensity)

E表示单位正电荷在电场中所受到的力(F),它是空间坐标的矢量函数。a)点电荷产生的电场强度V/mV/m图1.1.2点电荷的电场

b)

n个点电荷产生的电场强度(注意:矢量叠加)c)连续分布电荷产生的电场强度V/m体电荷分布图1.1.3体电荷的电场思考:线电荷与面电荷产生的电场强度?d)场强计算公式小结点电荷的电场为：多点电荷电场为：线电荷的电场为：面电荷的电场为：体电荷的电场为：第一组第二组无限长直线的电场无限大平面的电场电耦极子的电场实或空心球外电场1.1.3电位1)电场内积分与路径无关例:点电荷电场内电场力的做功过程(如图):上述过程可以推广到任意源的电场中,因此静电场是保守场。保守场有势场无旋场积分与路径无关沿任意闭回路积分为零点电荷的电位为：多个点电荷的电位为：线电荷的电位：面电荷的电位：体电荷的电位：如果以无穷远点为零电位参考点，则P点电位为：如果以Q点为零电位参考点，则P点电位为：(由此定义PQ两点间的电位差(电压))2)常用的电位计算公式

3)一个电偶极子产生的电位和电场强度

极化强度

P是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：式中图1.2.15电偶极子产生的电位利用关系式，可以求得位于原点的电偶极子在离它r远处产生的电场强度为球坐标系等位线方程：Ｅ线方程：4)

电力线与等位线（面）

电力线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致，若是电力线的长度元，E矢量将与方向一致，电力线微分方程在直角坐标系中：当取不同的C

值时，可得到不同的等位线（面）。等位面:

在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即图1.2.3电偶极子的等位线和电力线图1.2.4点电荷与接地导体的电场在柱、球坐标系如何?电场强度垂直于导体表面；

导体是等位体，导体表面为等位面；

导体内电场强度E恒为零；电荷分布在导体表面，且

§1-2高斯定律1)静电场中导体的性质图1.2.13静电场中的导体2)静电场中的电介质(请看演示)

电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩；电介质内部和表面产生极化电荷；

极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。用极化强度P表示电介质的极化程度，即C/m2式中为体积元内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向正极化电荷。（在各向同性、线性、均匀介质)

0—电介质的极化率,无量纲量。矢量恒等式：图1.2.16体积V内电偶极矩产生的电位散度定理令极化电荷体密度极化电荷面密度(？)3）电介质极化引起的电场计算

根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和为零.

D

的通量只取决于高斯面内的自由电荷，与介质无关，但不能认为D

的分布与介质无关。a)高斯定律的积分形式高斯公式3.电介质中的高斯定律b）高斯定律的微分形式

在各向同性介质中介电常数，单位（F/m）平行板电容器中放入一块介质后，其D线、E线和P线的分布。•

D线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；•P线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。•

E线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；D线E线P线图1.2.17D、E与P三者之间的关系例1.2.2求电荷线密度为的无限长均匀带电体的电场。解：电场分布特点：

D

线皆垂直于导线，呈辐射状态；

等

r

处D值相等；取长为L，半径为r的封闭圆柱面为高斯面。由得图1.2.20电荷线密度为的无限长均匀带电体4.高斯定律的应用

高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解(即:D的数值为常数，且D*dS在积分面上为常数)。

球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。

轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。试问：能否选取正方形的高斯面求解球对称场(a)(b)(c)图1.2.20.球对称场的高斯面图1.2.21.轴对称场的高斯面无限大平面电荷：1.3静电场的基本方程分界面上的衔接条件1.3.1静电场的基本方程

静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：解：根据静电场的旋度恒等于零的性质,例1.3.1已知试判断它能否表示个静电场？对应静电场的基本方程

，矢量

A可以表示一个静电场。

以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（）。

1.3.2分界面上的衔接条件1、电位移矢量D的衔接条件则有

根据

图1.3.1在电介质分界面上应用高斯定律

分界面两侧的

D的法向分量不连续。当时，D的法向分量连续。当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为图1.3.3a导体与电介质分界面2、电场强度E的衔接条件图1.3.2在电介质分界面上应用环路定律∴分界面两侧

E的切向分量连续。

以点P作为观察点，作一小矩形回路(),根据则有图1.3.3分界面上E线的折射在交界面上不存在时，E、D满足折射定律。折射定律练习:看课本P22页例1-10，并考虑三维情况因此表明:在介质分界面上，电位是连续的。3、用电位函数表示分界面上的衔接条件设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d

,则当时表明:一般情况下,电位的导数是不连续的。图1.3.4电位的衔接条件对于导体与理想介质分界面，用电位表示的衔接条件应是如何呢？解：忽略边缘效应图（a）图（b）例1.3.2如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知和,图(a)已知极板间电压U0

,图(b)已知极板上总电荷,试分别求其中的场度。（a）（b）图1.3.5平行板电容器1.4静电场边值问题唯一性定理1.4.1泊松方程与拉普拉斯方程推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：泊松方程例1.4.1列出求解区域的微分方程拉普拉斯方程——拉普拉斯算子图1.4.1三个不同媒质区域的静电场已知场域边界上各点电位值图1.4.2边值问题框图自然边界条件参考点电位有限值边值问题微分方程边界条件场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法数学模拟法物理模拟法图1.4.3边值问题研究方法框图例1.4.2

图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为，并且在两导体之间接有电源U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。

解：根据场分布对称性，确定场域。（阴影区域）场的边值问题图1.4.4缆心为正方形的同轴电缆横截面边界条件为积分之，得通解例1.4.3

设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中,电荷体密度为，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解:采用球坐标系,分区域建立方程参考点电位图1.4.5体电荷分布的球形域电场解得

电场强度（球坐标梯度公式）电位：1.4.3唯一性定理证明：（反证法）

唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。1.5分离变量法1.5.1直角坐标系中求二维泊松方程：取试探解代入式(1)有设图1.5.2双曲函数

例1.5.1

图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。解：选定直角坐标系（D域内）（1）（2）（3）（4）(5）边值问题图11.5.1接地金属槽的截面3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。

d）比较系数法：当时，（D域内）当时，

根据经验也可定性判断通解中能否舍去或项。

注意参看课本中确定系数的另一种方法。1.6有限差分法

相关的知识:1)唯一性定理是解题的根据。2)解析解vs数值解.1.

基本概念：网格,节点,步长,离散化。边值问题：1）选定圆柱坐标,列出边值问题（1）（2）（3）（4）(5）（6）

例1.5.2在均匀电场中，放置一根半径为a，介电常数为的无限长均匀介质圆柱棒，它的轴线与垂直。柱外是自由空间。试求圆柱内外电位函数和电场强度的分布。

根据场分布的对称性图1.5.4均匀电场中的介质圆柱棒3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。当时，当时，2）分离变量,设

代入式（1）得或根据根据，比较系数得当时，4）利用给定边界条件确定积分常数。根据场分布对称性当时，通解中不含的奇函数项，解之，得比较系数法：当时，得当时，，则最终解c）由分界面的衔接条件，得

介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场E0平行。因，，所以。

介质柱外的电场非均匀变化，但远离介质柱的区域，其电场趋近于均匀电场。

图1.5.5均匀外电场中介质圆柱内外的电场

1.6.2差分格式

离散化：把偏导数用有限差分代替，对于方程具体表示如下显然，h越小上述表达式近似效果越好。把上述最后两个式子代到拉普拉斯方程，得

特别地，当四个点中某个是边界点时，上述公式变为1.6.1有限差分的网格分割注:当p=q=1时就还原成内点格式。解差分方程的目的是解出所有节点的值.3.差分方程的求解联立方程求解(当节点数较少时)；高斯－塞德尔迭代法的表达式：这里k表示迭代次数，

注意：1)遇到边界点时必须用边界值代替；2)方程的个数等于未知节点的个数.3)设置一个合适的停止条件:

(2)逐次超松弛法是高斯－塞德尔迭代法的加速收敛的版本。基本格式如下：

是一个使用者确定的因子，。具体的流程图如下。

注意：1)确定好各点的初值，初值越好收敛的越快。2)注意第二个格式的建立理由。启动赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求

所有内点相邻二次迭代值的最大误差是否小于打印停机NY图1.6.2迭代解程序框图4.例题例题1－17应用有限差分法求静电场边值问题.解:

取一致步长h=5，因此得到三个节点，根据公式1-70得到这三个节点的三个差分方程为

迭代形式为:设置迭代误差，设置初次迭代值经过六次迭代收敛.当步长h=2.5时，有21个节点，经过32次叠代收敛.此时需要21个差分方程。1.7镜像法与电轴法边值问题：（导板及无穷远处）（除

q所在点外的区域）（S为包围

q的闭合面）1.平面导体的镜像

镜像法:用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。图1.7.1平面导体的镜像上半场域边值问题：（除

q所在点外的区域）

（导板及无穷远处）（S为包围q的闭合面）讨论:请看课本1-7-1所示的问题.（方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为例1.7.1求空气中一个点电荷在地面引起的感应电荷分布情况。解:设点电荷离地面高度为h，则图1.7.2点电荷在地面引起的感应电荷的分布2.导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。1)边值问题：（除q点外的导体球外空间)图1.7.3点电荷对接地导体球面的镜像由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为图1.7.5点电荷位于接地导体球附近的场图

镜像电荷不能放在当前求解的场域内。镜像电荷等于负的感应电荷图1.7.4接地导体球外的电场计算在接地球基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置解:边值问题：(除q

点外的导体球外空间）

(S为球面面积)例1.7.2试计算不接地金属球附近放置一点电荷时的电场分布。

任一点电位及电场强度为：图1.7.6点电荷对不接地金属球的镜像感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。正负镜像电荷绝对值相等。正镜像电荷只能位于球心。

试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?补充题：图1.7.8点电荷对导体球面的镜像图1.7.7点电荷位于不接地导体球附近的场图

不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷

吗?为什么？3.不同介质分界面的镜像边值问题：(下半空间)(除q点外的上半空间)图1.7.9点电荷对无限大介质分界面的镜像和

•

中的电场是由决定，其有效区在下半空间，是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。

即图1.7.10点电荷位于不同介质平面上方的场图

•

中的电场是由与共同产生，其有效区在上半空间，是等效替代极化电荷的影响。图1.7.11点电荷与分别置于与区域中

为求解图示与区域的电场，试确定镜像电荷的个数、大小与位置。1.7.2电轴法边值问题：

（导线以外的空间）

•根据唯一性定理，寻找等效线电荷——电轴。1.问题提出1.7.12长直平行圆柱导体传输线

•

用置于电轴上的等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法,称为电轴法。2.两根细导线产生的电场以y

轴为参考点,C=0,则

当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。图1.7.13两根细导线的电场计算

R、d、b三者之间的关系满足等位线方程为：圆心坐标圆半径让R=a并计算出d、则b值为

根据及E线的微分方程，得E线方程为

图1.7.14两细导线的场图图1.7.15平行圆柱导体传输线电场的计算例1.7.4已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d的带电长直圆柱导体。试决定电轴位置。注意：1）参考电位的位置；2）适用区域。例1.7.5试确定图示偏心电缆的电轴位置。解：确定图1.7.16不同半径传输线的电轴位置图1.7.17偏心电缆电轴位置

例1.7.6已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线之间电压为，试求圆柱导体间电位的分布。

解得图1.7.18电压为U0的传输线电场的计算

a)确定电轴的位置4.镜像法（电轴法）小结

•镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一性定理；•镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；•镜像法（电轴法)）的关键是确定镜像电荷（电轴）的个数（根数），大小及位置；注意：应用镜像法（电轴法）解题时，镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。5.镜像法工程制图1.8.2多导体系统、部分电容中的其余带电体，与外界无任何联系，即

•

静电独立系统——D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统•

线性、多导体(三个以上导体)组成的系统；•

部分电容概念图1.8.2三导体静电独立系统典型例子:多极管(等效电容);三相输电线;考虑大地影响时的两相输电线等等.1.部分电容的预备知识

1)普通物理学中电容计算：单位:F(法)2)平行板电容器、圆柱形及球形电容器：

在(c)中,得到孤立导体球的电容3)n个电容器串联：

4)n个电容器并联：

注意：电容与电量和电压无关,但可用电压来度量.

例.考虑三个导体组成的静电独立系统:设三个导体电量分别是，则它们在A点产生的电位分别是:

把点A分别取在三个导体上得图电位系数的基本性质基本性质说明一般地电位系数具有下面性质：(1)(2)(3)(4)仅与导体系统的物理特性有关；以此类推(n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方程，即电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；——自有电位系数，表明导体上电荷对导体电位的贡献——互有电位系数，表明导体上的电荷对导体电位的贡献——写成矩阵形式为（非独立方程）注：

的值可以通过给定各导体电荷,计算各导体的电位而得。例如图所示地面附近有两个半径为R1的带电小球,电荷量分别为q1和q2.选择地面为零号导体,求该系统的电位系数.解:这是三导体组成一个静电独立系统.将地面影响用镜像电荷代替。设一般关系为地面:0号导体令令

可得解题示意图2.一般地,已知带电导体的电位，求电荷和感应系数——静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；——自有感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；——互有感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献。

通常，的值可以通过给定各导体的电位，测量各导体的电荷而得。

以三电位系统为例，解电位系数构成的方程组得

称为自有感应系数；为互有感应系数;它们具有性质(说明在后面图示)：

(1);(2)(3)

图4-2感应系数的说明

例如已知导体间的电压，对上述三导体系统改写

:自有部分电容,:互有部分电容；3.已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容（矩阵形式）

式中：C—部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；（互有部分电容）（自有部分电容）部分电容性质:•

所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的值有关；•

互有部分电容

，即为对称阵；•

(n+1)个导体静电独立系统中，共应有个部分电容；•

部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。

工程上，常引入等效电容的概念，它是指在多导体静电独立系统中，把两导体作为电容器的两个极板，设在这两个电极间加上已知电压,极板上所带电荷为,则把比值叫做这两导体的等效电容或工作电容。便于测量,易于计算，综上所述，多导体系统电荷与电位间关系，可以通过三套系数，即来表示。三者相比，C可通过计算，也可直接测定，其主要优点是可以将场的概念和路的概念联系起来，即静电场问题静电电容的网络问题。图1.8.3部分电容与电容网络例1-19

计算考虑大地影响时两线传输系统的各个部分电容，这里设两个输电线距离地面的高度分别为,线间的距离为,导线的半径为，且.如图所示.思考1.两根无限长的长直平行导线之间的电位分布？

答:课本p44,公式(1-85):

思考2.如果不考虑大地的影响，答:

则相应的两导线系统的电容如何求？当考虑大地影响时，设两根电线各自带电为1，2,设一般关系为利用镜像法，并设电轴与导线的几何轴线相重合.分别独立地求解和,得重复电容和电感的公式的推导过程，可得

a求等效电容(两导体的等效电容是指从这两个导体看进去的入端电容，看图)，

按照等效电容的定义，得该式说明，是Ce的一部分,是计算等效电容的基础.思考：1)

1号导体与0号导体之间的等效电容，并画出等效电路图2)求图中0,2号导体的等效电容

图1-7等效电容计算例1-20已知两芯对称的屏蔽电缆如图.测得导体1、2间的等效电容为0.018,导体1、2相连时和外壳间的等效电容为，求各部分电容.

联立上两式可求部分电容

4.静电屏蔽

部分电容还可以说明静电屏蔽问题。令号导体接地，得这说明了只与有关，只与有关，即1号导体与2号导体之间无静电联系，达到了静电屏蔽的要求。静电屏蔽在工程上有广泛应用。图1.8.5静电屏蔽1.9静电能量与力1.带电体系统中的静电能量

静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。1)连续分布电荷系统的静电能量假设：•电荷系统中的介质是线性的；

1.9.1静电能量•电场的建立与充电过程无关,导体上电荷与电位的最终值为、,在充电过程中，与的增长比例为

m，。•建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。

t

时刻，场中P点的电位为若将电荷增量从无穷远处移至该点，外力作功

这个功转化为静电能量储存在电场中。

体电荷系统的静电能量t

时刻电荷增量为即电位为

•

式中是元电荷所在处的电位，积分对源进行。•点电荷的自有能为无穷大。自有能互有能

自有能是将许多元电荷“压紧”构成q所需作的功。互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量。

例如空间中有两个带点导体，单独存在时，两导体的电荷、电位分别为q1，和q2，，将导体2放入导体1电场中，两导体电位会变化自有能与互有能的概念••

是所有导体（含K号导体）表面的电荷在K号导体产生的电位.2.静电能量的分布及能量密度V——扩大到无限空间，S——所有带电体表面。将式(2)代入式(1),得应用散度定理得矢量恒等式（焦耳）静电能量图1.9.1推导能量密度用图能量密度：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。结论例1.9.1试求真空中体电荷密度为，半径为的介质球产生的静电能量。有限，应用高斯定理，得解法一由微分方程法得电位函数为解法二