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文档简介

1第五章随机变量的数字特征2定义若E((X-E(X))2)存在，则称其为随机变量X的方差,

记为D(X)

D(X)=E((X-E(X))2)称为X的均方差.

方差的概念(X-E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值的情况,是X的函数,也是随机变量

E(X-E(X))2——随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度——数

3若

X为离散型变量.，概率分布为若

X为连续型，概率密度为f(x)常用的计算方差的公式：5若相互独立，为常数则若X,Y相互独立

对任意常数C,D(X)

E(X–C)2,

当且仅当C=E(X)时等号成立D(X)=0P(X=E(X))=1称为X依概率1等于常数E(X)

6例8

将编号分别为1~n的n

个球随机地放入编号分别为1~n的n

只盒子中，每盒一球.

若球的号码与盒子的号码一致，则称为一个配对.

求配对个数X的期望与方差.解则不相互独立，但7P10910仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布,例如：P-1010.10.80.1P-2020.0250.950.025与它们有相同的期望、方差但是分布却不同11但若已知分布的类型，及期望和方差，常能确定分布.例9

已知

X服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,

Y=1–2X,求

Y

的密度函数.解

13§5.3协方差和相关系数问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布

这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系.

数反映了随机变量X,Y之间的某种关系14定义称为X,Y的协方差.记为称为（X,Y）的协方差矩阵可以证明协方差矩阵为半正定矩阵协方差和相关系数的定义15若D(X)>0,D(Y)>0,称为X,Y的相关系数，记为事实上，若称X,Y不相关.17求cov(X,Y),XY10pqXP10pqYP例1

已知

X,Y的联合分布为XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解10pqXYP1819例2

设(X,Y)~N(1,12,2,22,),求XY解:21例3

设~(0,2),X=cos,Y=cos(+),是给定的常数，求XY解2223若若有线性关系但若不相关，不独立，没有线性关系，但此时，有函数关系由X，Y表达式：由X，Y表达式：25而故继续讨论：a,b取何值时，

U,V不相关？此时，U,V是否独立？若a=b，UV=0,则U,V不相关.

此时，U，V也是独立的。协方差的性质

协方差和相关系数的性质当D(X)>0,D(Y)>0时，等号成立当且仅当29即即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为30完全类似地可以证明当E(X2)>0,E(Y

2

)>0时，当且仅当时，等式成立.31相关系数的性质

Cauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为323

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