初中数学浙教版八年级上册第2章特殊三角形2．4等腰三角形的判定定理

等腰三角形的判定定理同步练习一．选择题（共11小题）1．（2023春•宝丰县期中）如图，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=72°，∠ACB=∠DBC=36°，则图中等腰三角形的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2023春•福安市期中）如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BCC．△ABD是等腰三角形 D．点D为线段AC的中点3．（2023春•白银校级期中）对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（）A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等D．以上说法都是正确的4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④5．下列命题错误的是（）A．两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B．两边和第三边上的中线对应相等的两三角形全等C．两边和第三边上的高对应相等的两三角形全等D．两角和其中一角所对的边对应相等的两三角形全等6．如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．（2023春•井陉县期末）下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个8．如图所示，在正五边形的对称轴直线l上找点P，使得△PCD、△PDE均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个9．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，在△ABC的内部取一点O，连接OA，OB，OC，恰有OA=OC，∠OBA=20°，∠OCA=40°．①∠BOA=140°；②△OAB是等腰三角形；③∠OBC=30°；④△OBC是等腰三角形；⑤△ABC是等边三角形，则以上说法中正确的是（）A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②④10．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④11．如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（）A．30° B．32° C．36° D．40°二．填空题（共4小题）12．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、NBC上，则∠EAM=______．13．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有______个．14．（2023春•滕州市校级月考）如图，D、E分别是等边三角形ABC的两边AB、AC上的点，且AD=CE，BE，DC相交于点P，则∠BPD的度数为______．15.如图，正方形ABCD中，AB=30，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G．连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=15；③△CFG是正三角形；④△FGC的面积为90．其中正确的是______（填所有正确答案的序号）．三．解答题（共13小题）16．已知：如图，BD平分∠ABC，AD∥BC．求证：AB=AD．17．已知，如图△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC．18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．19．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：CD=BF；（2）求证：AD⊥CF；（3）连接AF，试判断△ACF的形状．20．（2023春•上海校级期中）如图，在△ABC中，已知△BAC=90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由．21．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．22．在直角△ABC中，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，∠AEF=∠AFE．（1）求证：AD⊥BC（请用一对互逆命题进行证明）（2）写出你所用到的这对互逆命题．23．已知：如图所示BF⊥AC，AD⊥BC，且相交于点E，BD=AD，连接CE．说明△DCE是等腰三角形的理由．24．如图，已知△ABC为等边三角形，点D．E分别在BC．AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠AFE的度数．25．如图，P为AB上一点，△APC和△BPD是等边三角形，AD与BC相交于O（1）求证：AD=BC；（2）求∠DOB的度数．26．（2023秋•安徽月考）如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接点D、E、F，得到△DEF为等边三角形．（1）试说明△AEF≌△CDE；（2）△ABC是等边三角形吗？请说明你的理由．27．如图，等边三角形△ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE=AD，DF⊥BC于F．（1）如图1，若D是AC的中点，求证：①DB=DE；②BF=EF；（2）如图2，若点D是边AC上的任意一点，BF=EF是否仍然成立？请证明你的结论；（3）如图3，若点D是边AC的延长线上任意一点，其它条件不变，（2）中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论．28．如图，已知等边△ABC中，DE∥BC，FG∥BC，现将等边△ABC分别沿DE和FG对折，点A分别落在点A1和点A2，连接A2B，A2C（1）求证：△AFG是正三角形；（2）求证：A2B=A2C（3）设A1D、A1E交GF于M、N两点，若DE=cm，FG=3cm，求△A1MN的周长．

等腰三角形的判定参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2023春•宝丰县期中）如图，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=72°，∠ACB=∠DBC=36°，则图中等腰三角形的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据等腰三角形的判断解答即可．【解答】解：△ABC和△DCB中，∠A=∠D=72°，∠ACB=∠DBC=36°，则图中等腰三角形的个数是△ABC，△ABE，△CDE，△BEC，△BDC，故选D【点评】本题考查了等腰三角新的判定与性质、三角形内角和定理以及三角外角的性质．此题难度不大，解题的关键是求得各角的度数，掌握等角对等边与等边对等角定理的应用．2．（2023春•福安市期中）如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BCC．△ABD是等腰三角形 D．点D为线段AC的中点【分析】根据∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，可得△ABD与△BCD都是等腰三角形，据此判断各选项是否正确即可．【解答】解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠C=2∠A，故（A）正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠BDC=36°+36°=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，故（B）正确；∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形，故（C）正确；∵BD＜CD，∴AD＞CD，∴D不是AC的中点，故（D）错误．故选：D【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等；反之，有两个角相等的三角形是等腰三角形．3．（2023春•白银校级期中）对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（）A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等D．以上说法都是正确的【分析】根据等腰三角形的判定定理进行判断即可．【解答】解：“等角对等边”是等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等的简写形式，意思是：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．故C正确；A、B可以举反例说明，如图：DE∥BC，∠ADE=∠B，但AE≠AC．故A、B都错误；故D也错误．故选C．【点评】本题考查了对等腰三角形的判定定理：等角对等边的理解．分清定理的题设与结论是解题的关键．4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC=90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn，故④错误．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故②正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OM+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．故选A．【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．5．下列命题错误的是（）A．两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B．两边和第三边上的中线对应相等的两三角形全等C．两边和第三边上的高对应相等的两三角形全等D．两角和其中一角所对的边对应相等的两三角形全等【分析】根据三角形全等的判定方法，对选项一一分析，确定正确答案．【解答】解：如图，△ABC与△ABC′中，AB=AB，AC=AC′，高AD相同，但是，△ABC与△ABC′不全等，故C选项错误．故选C；【点评】本题考查了判断命题的正误的知识，熟知课本上学过的有关定理是解决本题的关键．6．如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】由AD是角平分线，DE⊥AC于E，∠ABC=90°，根据角平分线的性质，可得△BDE是等腰三角形；继而证得△ABE是等腰三角形，又由∠C=30°，易求得∠CBE=∠C=∠CAD=30°，即可证得△BEC和△DAC是等腰三角形．【解答】解：∵AD是角平分线，DE⊥AC，∠ABC=90°，∴DB=DE，即△BDE是等腰三角形；∴∠DEB=∠DBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，即△ABE是等腰三角形，∵∠C=30°，∴∠BAC=60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠CAD=∠C，∴AD=CD，即△ACD是等腰三角形；∵∠ABE=60°，∴∠EBC=∠C=30°，∴△BEC是等腰三角形．故选C．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、角平分线的性质以及直角三角形的性质．注意分别求得各角的度数是解此题的关键．7．（2023春•井陉县期末）下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】根据全等三角形的概念：能够完全重合的图形是全等图形，及全等图形性质：全等图形的对应边、对应角分别相等，分别对每一项进行分析即可得出正确的命题个数．【解答】解：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）错误；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．综上可得只有（3）正确．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键．8．如图所示，在正五边形的对称轴直线l上找点P，使得△PCD、△PDE均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【分析】根据轴对称的性质得到△PCD是等腰三角形，欲使△PDE为等腰三角形，则点P是线段DE的角平分线与l的交点．【解答】解：∵P点在直线L上，∴此时PC=PD，即△PCD是等腰三角形，分为三种情况：①作DE的垂直平分线，交直线l于一点P，此时PE=PD；②以D为圆心，以DE为半径，交直线l于两点，此时DP=DE；③以E为圆心，以DE为半径，交直线l于两点，此时EP=DE；共1+2+2=5点．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，轴对称性质的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．9．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，在△ABC的内部取一点O，连接OA，OB，OC，恰有OA=OC，∠OBA=20°，∠OCA=40°．①∠BOA=140°；②△OAB是等腰三角形；③∠OBC=30°；④△OBC是等腰三角形；⑤△ABC是等边三角形，则以上说法中正确的是（）A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②④【分析】根据等腰三角形性质求出∠OAC=40°，求出∠BAO=20°，推出OA=OB=OC，根据等腰三角形性质求出∠OBC=∠OCB=30°，判断各个选项即可．【解答】解：∵∠OCA=40°，OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=40°，∵∠BAC=60°，∴∠OAB=60°﹣40°=20°，∵∠OBA=20°，∴OB=OA，∠AOB=180°﹣20°﹣20°=140°，∴①②正确；∵∠BAC=60°，∠OBA=20°，∠OCA=40°，∴∠OBC+∠OCB=60°，∵OA=OB，OA=OC，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴③④正确；∵∠ABC=20°+30°=50°，∠ACB=30°+40°=70°，∠BAC=60°，∴△ABC不是等边三角形，∴⑤错误；故选B．【点评】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是求出各个角的度数和得出OA=OB=OC．10．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④【分析】根据等边三角形的判定判断．【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；②这是等边三角形的判定2，故正确；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；④根据等边三角形三线合一性质，故正确．所以都正确．故选D．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况．11．如图，若AB=AC，BG=BH，AK=KG，则∠BAC的度数为（）A．30° B．32° C．36° D．40°【分析】根据已知利用等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠ABC=2∠A，∠HKC=2∠A，从而利用三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵AB=AC，BG=BH，AK=KG∴∠ABC=∠ACB，∠G=∠H，∠A=∠G∴∠ABC=2∠A，∠HKC=2∠A∵∠H+∠HKC+∠HCK=180°，∠HCK=∠ACB∴5∠A=180°∴∠A=36°故选C．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用．二．填空题（共4小题）12．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、NBC上，则∠EAM=32°．【分析】先由∠BAC=106°及三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN，由∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）解答即可．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=106°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．故答案为32°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°是解答此题的关键．13．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有3个．【分析】等腰三角形的判定，及直角三角形的性质得出．【解答】解：∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，∴△MEN，△MDG是等边三角形．∵∠A=∠B=30°，∴MA=MB，∴△ABM是等腰三角形．∴图中等腰三角形有3个．【点评】此题考查了等腰三角形的判定，等角对等边；还考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．14．（2023春•滕州市校级月考）如图，D、E分别是等边三角形ABC的两边AB、AC上的点，且AD=CE，BE，DC相交于点P，则∠BPD的度数为60°．【分析】根据SAS证出△CAD≌△BCE，得出∠DCA=∠EBC，再根据∠BCD+∠DCA=60°，得出∠BPC=120°，再根据平角的定义即可得出∠BPD的度数．【解答】解：∵ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB，AC=BC，在△CAD和△BCE中，，∴△CAD≌△BCE（SAS），∴∠DCA=∠EBC，∵∠BCD+∠DCA=60°，∴∠BPC=120°，∴∠BPD=60°；故答案为：60°．【点评】此题考查了三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，根据全等证出∠DCA=∠EBC，得出∠BPC=120°是解决本题的关键．15.如图，正方形ABCD中，AB=30，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G．连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=15；③△CFG是正三角形；④△FGC的面积为90．其中正确的是①②④（填所有正确答案的序号）．【分析】①根据折叠的性质可以得到∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，根据HL定理即可证明两三角形全等；②不妨设BG=FG=x，（x＞0），则CG=30﹣x，EG=10+x，在Rt△CEG中，利用勾股定理即可列方程求得；③利用②得出的结果，结合折叠的性质求得答案即可；④根据三角形的面积公式可得：S△FGC=S△EGC，即可求解．【解答】解：①在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠B=∠C=90°，又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G∴∠AFG=∠AFE=∠D=90°，AF=AD，即有∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，在直角△ABG和直角△AFG中，，∴△ABG≌△AFG；正确．②∵AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，∴DE=FE=10，CE=20，不妨设BG=FG=x，（x＞0），则CG=30﹣x，EG=10+x，在Rt△CEG中，（10+x）2=202+（30﹣x）2解得x=15，于是BG=GC=15；正确．③∵BG=GF=CG，∴△CFG是等腰三角形，∵BG=AB，∴∠AGB≠60°，则∠FGC≠60°，∴△CFG不是正三角形．错误．④∵=，∴=，∴S△FGC=S△EGC=××20×15=90．正确．正确的结论有①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查了正方形的性质，以及图形的折叠的性质，三角形全等的证明，理解折叠的性质是关键．三．解答题（共13小题）16．已知：如图，BD平分∠ABC，AD∥BC．求证：AB=AD．【分析】根据AD∥BC，可求证∠ADB=∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代换可求证∠ABD=∠ADB，然后即可得出结论．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，此题很简单，属于基础题．17．已知，如图△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC．【分析】由BD=DC，易知∠3=∠4，再结合∠1=∠2，利用等量相加和相等可得∠ABC=∠ACB，从而可知△ABC是等腰三角形，于是AB=AC，再结合BD=DC，∠1=∠2，利用SAS可证△ABD≌△ACD，从而有∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC．【解答】证明：如右图所示，∵BD=DC，∴∠3=∠4，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ABC是等腰三角形．18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．【分析】（1）欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易证．（2）要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，易证CF=AF，从而判断其形状．【解答】（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．即BF=CD．在△CBF和△ACD中，，∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．即AD⊥CF．（2）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD，∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．【点评】此题难度中等，考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定．19．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：CD=BF；（2）求证：AD⊥CF；（3）连接AF，试判断△ACF的形状．【分析】（1）由平行可求得∠CBF=90°，再结合等腰三角形的判定和性质可求得BF=BD，可得BF=CD；（2）结合（1）的结论，可证明△ACD≌△CBF，可得∠DCG=∠CAD，可证明∠CGD=90°，可得结论；（3）由（2）可得CF=AD，又AB垂直平分DF，可得AD=AF，可证明CF=AF，可知△ACF为等腰三角形．【解答】（1）证明：∵AC∥BF，且∠ACB=90°，∴∠CBF=90°，又AC=BC，∴∠DBA=45°，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠BEF=∠DBF=90°，∴∠BDE=∠BFE=45°，∴BD=BF，又D为BC中点，∴CD=BD，∴CD=BF；（2）证明：由（1）可知CD=BF，且CA=CB，∠ACB=∠CBF=90°，在△ACD和△CBF中∴△ACD≌△CFB（SAS），∴∠CAD=∠BCF，∵∠ACB=90°，∴∠CAD+∠CDA=90°，∴∠BCF+∠CDA=90°，∴∠CGD=90°，∴AD⊥CF；（3）解：由（2）可知△ACD≌△CBF，∴AD=CF，由（1）可知AB垂直平分DF，∴AD=AF，∴AF=CF，∴△ACF为等腰三角形．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（全等三角形的对应边、对应角相等）是解题的关键．20．（2023春•上海校级期中）如图，在△ABC中，已知△BAC=90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由．【分析】由角平分线的定义得到∠ABF=∠DBF，再利用互为余角的关系和三角形内外角的关系，可以得到∠AEF=∠AFE，由此可判定△AEF是等腰三角形．【解答】解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠DBF，又∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠AFE=90°﹣∠ABF，∠DEB=90°﹣∠DBF，∴∠AFE=∠DEB，又∵∠DEB=∠AEF，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形．【点评】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的性质及三角形的内外角的关系，充分利用这些性质得到一组角相等，然后利用等腰三角形的判定即可证明结论．21．如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．【分析】先根据AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，再由垂直，可得90°的角，在△BCE和△BCD中，利用内角和为180°，可分别求∠BCE和∠DBC，利用等量减等量差相等，可得FB=FC，再易证△ABF≌△ACF，从而证出AF平分∠BAC．【解答】证明：∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．∵BD、CE分别是高，∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）．∴∠CEB=∠BDC=90°．∴∠ECB=90°﹣∠ABC，∠DBC=90°﹣∠ACB．∴∠ECB=∠DBC（等量代换）．∴FB=FC（等角对等边），在△ABF和△ACF中，，∴△ABF≌△ACF（SSS），∴∠BAF=∠CAF（全等三角形对应角相等），∴AF平分∠BAC．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；等量减等量差相等的利用是解答本题的关键．22．在直角△ABC中，∠BAC=90°，BF平分∠ABC，∠AEF=∠AFE．（1）求证：AD⊥BC（请用一对互逆命题进行证明）（2）写出你所用到的这对互逆命题．【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余和角平分线的定义解答即可；（2）根据直角三角形的性质写出互逆命题即可．【解答】（1）证明：在直角△ABC中，∵∠BAC=90°∴∠1+∠AFE=90°∵BF平分∠ABC∴∠1=∠2∵∠AEF=∠AFE又∵∠3=∠AEF∴∠3=∠AFE∴∠2+∠3=90°∴∠BDE=90°∴AD⊥BC；（2）互逆命题：直角三角形的两锐角互余；有两个锐角互余的三角形是直角三角形．【点评】本题考查的是直角三角形的性质和判定以及命题与定理，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键，注意互逆命题题设和结论的关系．23．已知：如图所示BF⊥AC，AD⊥BC，且相交于点E，BD=AD，连接CE．说明△DCE是等腰三角形的理由．【分析】推出∠DAC=∠EBD，根据ASA证△EBD≌△CAD，推出DE=DC即可．【解答】解：理由是：∵BF⊥AC，AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=∠BFA=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∵∠2=∠4，∴∠1=∠3，在△EBD和△CAD中∠3=∠1，BD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，∴△EBD≌△CAD，∴DE=DC，即△DCE是等腰三角形．【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识点的理解和掌握，能证出△EBD≌△CAD是解此题的关键．24．如图，已知△ABC为等边三角形，点D．E分别在BC．AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠AFE的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，∠BAC=∠C=60°，AB=CA，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠CAD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理得到∠AFE=∠BAC．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，∴∠AFE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质等边三角形的性质得到三角形全等是条件是解题的关键．25．如图，P为AB上一点，△APC和△BPD是等边三角形，AD与BC相交于O（1）求证：AD=BC；（2）求∠DOB的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质证明△PCB≌△PAD就可以得出结论；（2）由（1）可以得出∠1=∠2，而∠BOD=∠2+∠3，就可以得出∠BOD=∠1+∠3，而∠1+∠3=∠4，从而可以得出结论．【解答】解：（1）∵△APC和△BPD是等边三角形，∴AP=CP，DP=BP，∠APC=∠4=60°，∴∠APC+∠CPD=∠4+∠CPD，即∠APD=∠CPB在△PCB≌△PAD中∴△PCB≌△PAD；（2）∵△PCB≌△PAD，∴∠1=∠2．∵∠BOD=∠2+∠3，∴∠BOD=∠1+∠3．∵∠1+∠3=∠4，∴∠1+∠3=60°，∴∠BOD=60°．【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用及对角线外角与内角的关系的运用，在解答中证明△PCB≌△PAD是关键．26．如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接点D、E、F，得到△DEF为等边三角形．（1）试说明△AEF≌△CDE；（2）△ABC是等边三角形吗？请说明你的理由．【分析】（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．（2）由（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等边三角形．【解答】证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）．∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）．又∵AE=CD（已知），在△AEF与△CDE中，∴△AEF≌△CDE（SSS）．（2）是等边三角形，理由如下：由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），△DEF是等边三角形（已知），∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），∴∠BCA=60°（等量代换），由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．【点评】本题利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性质，还有三角形的外角等不相邻的两个内角之和，等边三角形的判定（三个角都是60°，那么就是等边三角形）．27．如图，等边三角形△ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE=AD，DF⊥BC于F．（1）如图1，若D是AC的中点，求证：①DB=DE；②BF=EF；（2）如图2，若点D是边AC上的任意一点，BF=EF是否仍然成立？请证明你的结论；（3）如图3，若点D是边AC的延长线上任意一点，其它条件不变，（2）中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论．【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，由CD=CE得∠E=∠CDE，再利用∠DCB=∠E+∠CDE=60°得到∠E=30゜，由DA=DC，根据等腰三角形性质得∠DBC=∠ABC=30°，根据等腰三角形的判定得DB=DE；然后根据等腰三角形的性质由DF⊥BC得到BF=EF；（2）作DM∥BC交AB于M，根据等边三角形