初中数学浙教版九年级下册第2章直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系(二)1.下列说法中，不正确的是(D)A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线D.垂直于半径的直线是圆的切线2.如图，AB是⊙O的直径，下列条件中，不能判定直线AT是⊙O的切线的是(D)A.AB＝4，AT＝3，BT＝5B.∠B＝45°，AB＝ATC.∠B＝55°，∠TAC＝55°D.∠ATC＝∠B(第2题)(第3题)3.如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，CE∥AB，点F在⊙O上，连结OA，CF，BF，则下列结论中，不正确的是(B)A.∠F＝eq\f(1,2)∠AOCB.AB⊥BFC.CE是⊙O的切线D.eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))4.如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(C)A.点(0，3)B.点(2，3)C.点(5，1)D.点(6，1)(第4题)(第5题)5.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为∠ABC＝90°(答案不唯一).(第6题)6.如图，已知∠ABC＝90°，O为射线BC上一点.以点O为圆心，eq\f(1,2)BO长为半径作⊙O.当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°或120°(不超过360°)时与⊙O相切.(第7题)7.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于点E，CE＝DE，过点B作BF∥CD，交AC的延长线于点F，求证：BF是⊙O的切线.【解】∵AB是⊙O的直径，CE＝DE，∴AB⊥CD.∵BF∥CD，∴BF⊥AB.又∵OB为⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线.(第8题)8.如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD交于点E，F.(1)求证：四边形BEDF为矩形.(2)若BD2＝BE·BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.【解】(1)∵BD为⊙O的直径，∴∠BED＝∠DFB＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FBC＝∠DFB＝90°＝∠BED＝∠EDA.∴四边形BEDF为矩形.(2)直线CD与⊙O相切.理由如下：∵BD2＝BE·BC，∴eq\f(BD,BE)＝eq\f(BC,BD).又∵∠DBE＝∠CBD，∴△BED∽△BDC.∴∠BDC＝∠BED＝90°.∴CD与⊙O相切.9.如图，P为⊙O外一点，OP交⊙O于点A，且OA＝2AP，甲、乙两人想作一条过点P且与⊙O相切的直线，其作法如下：(第9题)甲：以点P为圆心，OP长为半径画弧，交⊙O于点B，连结PB，则直线PB即为所求；乙：作OP的中垂线，交⊙O于点B，连结PB，则直线PB即为所求.对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(B)A.两人皆正确B.两人皆错误C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确【解】甲：如解图①，以点P为圆心，OP长为半径画弧，交⊙O于点B，连结OB，BP，则OP＝BP，∴∠OBP＝∠BOP<90°，∴PB不是⊙O的切线，∴甲错误.(第9题解①)(第9题解②)乙：如解图②，作OP的中垂线，交⊙O于点B，交OP于点M，连结OB，BP，则OB＝PB，OM＝PM.∵OA＝2AP，∴OM＝eq\f(3,4)OA＝eq\f(3,4)OB，∴∠BOP＝∠BPO≠45°，∴∠OBP≠90°，∴PB不是⊙O的切线，∴乙错误.(第10题)10.如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OD⊥AB于点D.以点O为圆心，OD长为半径的圆交OA于点E，在BA上截取BC＝OB，连结CE.求证：CE是⊙O的切线.【解】连结OC.∵BC＝OB，∴∠BCO＝∠BOC.∵∠AOB＝90°，∴∠EOC＋∠BOC＝90°.∵OD⊥AB，∴∠BCO＋∠DOC＝90°，∴∠EOC＝∠DOC.又∵OE＝OD，OC＝OC，∴△EOC≌△DOC.∴∠CEO＝∠CDO＝90°.∴CE是⊙O的切线.11.如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(不与点A，B重合)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的长.(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.(第11题)【解】(1)∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°.又∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝4.(2)如解图，连结OC.(第11题解)∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠CAB.又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴DC是⊙O的切线.12.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，F是DA延长线上的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为E.(1)求证：CE是⊙O的切线.(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径.(第12题)【解】(1)如解图，连结CO.(第12题解)∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC.∵AC平分∠FAB，∴∠OAC＝∠CAE，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥FD.∵CE⊥DF，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线.(2)如解图，连结BC.在Rt△ACE中，AC＝eq\r(AE2＋CE2)＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠CEA＝∠BCA.又∵∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC，∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(AE,AC)，∴eq\f(\r(5),AB)＝eq\f(1,\r(5))，∴AB＝5，∴AO＝，即⊙O的半径为.13.如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(－1，0)，以AB的中点P为圆心，AB长为直径作⊙P交y轴正半轴于点C.(第13题)(1)求经过A，B，C三点的抛物线所对应的函数表达式.(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式.(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论.(第13题解)【解】(1)如解图，连结CP.∵点A(4，0)，B(－1，0)，∴AB＝5，∴PC＝PB＝PA＝eq\f(5,2)，∴OP＝eq\f(5,2)－1＝eq\f(3,2).在Rt△CPO中，由勾股定理，得OC＝eq\r(PC2－OP2)＝2，∴点C(0，2).设经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式是y＝a(x－4)(x＋1).把点C(0，2)的坐标代入y＝a(x－4)(x＋1)，得2＝a(0－4)(0＋1)，∴a＝－eq\f(1,2)，∴y＝－eq\f(1,2)(x－4)(x＋1)＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2.(2)∵y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,8)，∴点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(25,8))).设直线MC的函数表达式是y＝kx＋b.把点C(0，2)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(25,8)))的坐标代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,\f(25,8)＝\f(3,2)k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(3,4)，,b＝2.))∴y＝eq\f(3,4)x＋2.(3)直线MC与⊙P相切.证明如下：如解图，设直线MC交x轴于点D.当y＝0时，0＝eq\f(3,4)x＋2，∴x＝－eq\f(8,3)，∴点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，0))，∴OD＝eq\f(8,3).在Rt△COD中，由勾股定理，得CD2＝OC2＋OD2＝22＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(100,9)＝eq\f(400,36).∵PC2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a