广东省汕尾市英豪学校2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

广东省汕尾市英豪学校2022-2023学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“对任意的x∈R，sinx≤1”的否定是(

) A．不存在x∈R，sinx≤1 B．存在x∈R，sinx≤1 C．存在x∈R，sinx＞1 D．对任意的x∈R，sinx＞1参考答案：C考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答： 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，sinx≤1”的否定是：存在x∈R，sinx＞1．故选：C．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．2.已知是方程的两根，，则p是q的（

）

A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略3.已知随机变量服从正态分布，若，则（

）A．0.6827 B．0.8522 C．0.9544 D．0.9772参考答案：C4.（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（

）

A．B．C．D．参考答案：C【考点】：双曲线的简单性质．圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y=±3x∴=3，得b2=9a2，c2﹣a2=9a2，此时，离心率e==．故选：C．【点评】：本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5.不等式组表示的平面区域的面积等于A． B．2 C． D．参考答案：C6.已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA=AC=2，且该三棱锥所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．4π B．8π C．16π D．20π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，将三棱锥扩充为长方体，长方体的对角线PC为外接球的直径，PC=2，由此可求球O的表面积．【解答】解：由题意，将三棱锥扩充为长方体，长方体的对角线PC为外接球的直径，PC=2，半径为，∴球O的表面积为4π?2=8π，故选B．7.一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题p是“甲同学解出试题”，命题q是“乙同学解出试题”，则命题“至少有一位同学没有解出试题”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q参考答案：A【考点】复合命题的真假．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据复合命题的定义判断即可．【解答】解：由于命题“至少有一位同学没有解出试题”指的是：“甲同学没有解出试题”或“乙同学没有解出试题”，故此命题可以表示为￢p∨￢q故选：A．【点评】本题考查复合命题的真假，掌握其真假判断规则是解答的关键．8.已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左，右支于另一点M，N，若，且，则双曲线的离心率为（

）A． B．3 C．2 D．参考答案：D结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，设，结合，故，对三角形运用余弦定理，得到，而结合，可得，，，代入上式子中，得到，结合离心率满足，即可得出，故选D．9.给出如下四个命题:①若“”为假命题，则均为假命题②命题“若,则”的否命题为“若,则”;③“”的否定是“”④设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件其中不正确的命题个数是 A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C略10.若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图所示，其中a，b(a>0且a≠1)为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象为()参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.计算

。参考答案：试题分析：因为，所以.考点：任意角的三角函数.12.在平面直角坐标系xOy中，，求过点A与圆C：相切的直线方程

．参考答案：或13.设满足约束条件.若目标函数的最大值为1，则的最小值为

.参考答案：14.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：⑴AC⊥BD；

⑵△ACD是等边三角形⑶二面角A－BC－D的大小为90°；

⑷AB与CD所成的角为60°。则正确结论的序号为

。参考答案：（1）（2）（4）略15.已知圆C的圆心为（0,1），直线与圆C相交于A，B两点，且，则圆C的半径为 .参考答案：圆心到直线的距离。∴。∴所求圆的半径为.16.定义在R上的函数是增函数，则满足的取值范围是

.参考答案：由函数是增函数，得，解得.17.设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为__________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列、满足，，，．（1）证明：，（）；（2）设，求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，数列的前项和为，数列的前项和为，求证：．参考答案：（1），两式相乘得，为常数列，；（2分）；（若，则，从而可得为常数列与矛盾）；（4分）（2），又因为，为等比数列，（8分）（3）由可以知道，，令，数列的前项和为，很显然只要证明，．因为，所以所以．（14分）又，故，所以．（16分）19.已知双曲线的右焦点是,右顶点是,虚轴的上端点是,,.

⑴求双曲线的方程；

⑵设是双曲线上的点,过点、的直线与轴交于点,若,求直线的斜率.参考答案：解析:（1）由条件知A（a，0），B（0，b），F（c，0）故双曲线的方程为（2）∵点F的坐标为∴可设直线l的方程为，令x=0，得即设Q（m，n），则由

故直线l的斜率为20.已知集合函数的定义域为集合B.(1)若a=1,求集合；(2)已知a>-1,且是的必要不充分条件，求实数a的取值范围。参考答案：（1）若a=1，则A={x|（x-1）（x-5）＜0}={x|1＜x＜5}，

函数y=lg=lg，由＞0，解得2＜x＜3，即B=（2，3），

则?RB={x|x≤2或x≥3}，则A∩?RB={x|1＜x≤2或3≤x＜5}，

（2）方程（x-1）（x-2a-3）=0的根为x=1或x=2a+3，

若a＞-1，则2a+3＞1，即A={x|（x-1）（x-2a-3）＜0}={x|1＜x＜2a+3}

由＞0得（x-2a）[x-（a2+2）]＜0，

∵a2+2-2a=（a-1）2+1＞0，∴a2+2＞2a

∴（x-2a）[x-（a2+2）]＜0的解为2a＜x＜a2+2，即B={x|2a＜x＜a2+2}

若x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件则B?A，即且等号不能同时取，

即，则，即≤a≤1+．略21.在锐角△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠所对的边，若向量=（3，﹣sinA），=（a，5c），且?=0．（1）求的值；（2）若c=4，且a+b=5，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由题意及平面向量数量积的运算可得3a=5csinA，由正弦定理化简可得sinC，由同角三角函数关系式可求cosC，利用二倍角公式即可求值得解．（2）由（1）及余弦定理可求ab的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵=（3，﹣sinA），=（a，5c），且?=0．∴3a=5csinA，∴3sinA=5sinCsinA，∵sinA≠0，∴sinC=．∵△ABC为锐角三角形，∴cosC=．∴====…（2）由（1）可知sinC=，cosC=，∵c=4，a+b=5∴c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC，∴16=25﹣2ab﹣2ab×，∴ab=，∴S△ABC==absinC==…【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，同角三角函数关系式，二倍角公式，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力，属于中档题．22.（本题满分15分）对于任意的n∈N*，数列{an}满足.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求证：对于n≥2，参考答案：（I）解：由．①当时得．②