广东省河源市阳明第一中学2022年高三数学文模拟试卷含解析

广东省河源市阳明第一中学2022年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象是(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=logax，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选C．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．2.高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为

(A)36

(B)24

(C)18

(D)12参考答案：【知识点】排列与组合；计数原理.

J2

J1A

解析：第一节从除甲、乙、丙以外的三人中任选一人上课，由3种方法；第二、三节从除上第一节课的教师和丙教师外的四名教师中，任选两名分别上第二、三节课，由种方法.根据分步计数原理得不同的安排方案种数为种.故选A.

【思路点拨】完成把六名教师中安排4人各上一节课这个事件，需分两步：第一步，安排上第一节课的教师；第二步，安排上第二、三节课的教师，(第四节丙教师上).求得完成每步方法数后，由分步计数原理得结论.

3.一个三棱锥的侧棱长都相等，底面是正三角形，其正（主）视图如右图所示.该三棱锥侧面积和体积分别是（

）A.

B.C.

D.参考答案：A.试题分析：如图，由题意得三棱锥中，，高，是边长为2的等边三角形，所以，所以该三棱锥的体积.又因为⊥平面，所以点是的重心，所以，⊥，，所以，所以该三棱锥侧面积.故应选A.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积.4.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的表面积的数值之比为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D由三视图可知该几何体如图中的三棱锥，，三棱锥外接球的直径，从而，于是，外接球的表面积为，所以该几何体的体积与外接球的表面积之比为,故选D.5.已知是等比数列，，，则（

）A．1

B．2

C．4

D．8参考答案：C6.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.函数的定义域是（）A． B． C． D．[0，+∞）参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞﹣且x≠0，故选：B．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．8.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C解析：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得，所以选C。9.已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A． B．16π C． D．32π参考答案：B【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设球O的半径为R，则OA=OB=OC=R，所以三棱锥O﹣ABC的体积为，利用三棱锥O﹣ABC的体积为，求出R，即可求出球O的表面积．【解答】解：设球O的半径为R，则OA=OB=OC=R，所以三棱锥O﹣ABC的体积为．由，解得R=2．故球O的表面积为16π．故选：B．【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．10.（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．4，8B．C．D．8，8参考答案：B【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：立体几何．【分析】：由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求．解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE=．所以该四棱锥侧面积S=，体积V=．故选B．【点评】：本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是双曲线的右焦点的右焦点,点分别在其两条渐进线上，且满足，（为坐标原点），则该双曲线的离心率为____________.参考答案：12.直线被圆截得的弦长为

.参考答案：将题目所给的直线与圆的图形画出，半弦长为，圆心到直线的距离，以及圆半径构成了一个直角三角形，因此。13.设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y=±x，则离心率e为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，设双曲线的方程为=1，从而得到=，从而求离心率．【解答】解：由题意，设双曲线的方程为=1，则两条渐近线方程为y=±x，则=，则e====．故答案为：．14.已知角的终边经过点，则__________；_________．参考答案：，.试题分析：由任意角的三角函数的定义可知，，.考点：1.任意角的三角函数定义；2.三角恒等变形.15.一个幼儿园的母亲节联谊会上，有5个小孩分别给妈妈画了一幅画作为礼物，放在了5个相同的信封里，可是忘了做标记，现在妈妈们随机任取一个信封，则恰好有两个妈妈拿到了自己孩子的画的概率为

．参考答案：16.设函数,则

,方程的解集

．参考答案：试题分析:因,故.由可得或,即或.故,应填答案.考点：分段函数的求值和指数对数方程的求解．17.某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为

．参考答案：14【考点】茎叶图．【分析】求出剩下的4个分数平均数，代入方差公式，求出方差即可．【解答】解：剩下的4个分数是：42，44，46，52，平均数是：46，故方差是：（16+4+0+36）=14，故答案为：14．【点评】本题考查了读茎叶图问题，考查求平均数以及方差问题，是一道基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna，∴f′（x）=axlna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1?a﹣lna≥e﹣1?a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1?+lna≥e﹣1?0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．【点评】本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．19.已知函数为偶函数，且α∈[0，π]（1）求α的值；（2）若x为三角形ABC的一个内角，求满足f（x）=1的x的值．参考答案：考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数是偶函数，求出α的值；（2）若x为三角形ABC的一个内角，通过f（x）=1得到三角函数的方程，然后求出x的值．解答：解：（1）=由f（x）为偶函数得∴又（2）由f（x）=1得又x为三角形内角，x∈（0，π）∴点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式、两角和的正弦函数的应用，考查计算能力，常考题型．20.已知函数的导函数的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若的极小值为-1，求的极大值.参考答案：解：（Ⅰ）．…2分令，∵，∴的零点就是的零点，且与符号相同．又∵，∴当时，>0,即，当时，<0,即，

………6分∴的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=0是的极小值点，所以有解得．

………