广东省清远市光明实验中学2023年高一数学理期末试题含解析

广东省清远市光明实验中学2023年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.关于空间两条直线、和平面，下列命题正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则参考答案：C2.若函数的定义域为R，则k的取值范围是（

）A. B. C.

D.参考答案：B3.（5分）幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，4），则f（9）=（） A． 1 B． 3 C． 9 D． 81参考答案：D考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据幂函数f（x）的图象经过点（2，4），求出函数解析式，再计算f（9）的值．解答： ∵幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，4），∴2α=4，∴α=2；∴f（x）=x2，∴f（9）=92=81．故选：D．点评： 本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数解析式求函数值的应用问题，是基础题目．4.下列各函数为偶函数，且在[0，+∞）上是减函数的是（）A．y=x+3 B．y=x2+x C．y=x|x| D．y=﹣|x|参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据偶函数的定义，偶函数图象的特点便可判断每个选项函数是否为偶函数，这样便可判断选项A，B，C错误，即正确选项为D．【解答】解：A．y=x+3的图象不关于y轴对称，不是偶函数，∴该选项错误；B．x=﹣1时，y=0；x=1时，y=2；∴f（﹣1）≠f（1），该函数不是偶函数，∴该选项错误；C．x=﹣1时，y=﹣1；x=1时，y=1；∴f（﹣1）≠f（1），不是偶函数，∴该选项错误；D．y=﹣|x|定义域为R，且f（﹣x）=﹣|﹣x|=﹣|x|=f（x）；∴该函数为偶函数；x≥0时，y=﹣|x|=﹣x为减函数，∴该选项正确．故选：D．【点评】考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及一次函数的图象，一次函数的单调性，特殊值法说明一个函数不是偶函数的方法．5.如右图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A﹣B﹣C﹣M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是（） A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象． 【专题】作图题． 【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可． 【解答】解：根据题意得f（x）=， 分段函数图象分段画即可， 故选A． 【点评】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略． 6.集合的子集个数是

（

）

A．32 B．31

C．16 D．15参考答案：A7.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（f（3））的值为（）A． B．3 C． D．参考答案：A【考点】函数的值．【分析】由解析式分别求出f（3），f（f（3））即可．【解答】解：f（3）=，f（）==，所以f（f（3））=f（）=，故选A．8.已知A={x︱-1,B={x︱},全集U=R,则=(

)A.{x︱<x}

B.{x︱}

C.{x︱}

D.{x︱0<x}参考答案：A略9.圆x2+y2=4在点P（1，）处的切线方程为(

)Ax+y－2=0

Bx+y－4=0

Cx－y+4=0

Dx－y+2=0参考答案：B10.已知MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线，则一定有（）A.B.

C.

D.参考答案：【知识点】三角函数线.B

解：由MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线，如图

由于，所以OM＜MP又由图可以看出MP＜AT,故可得OM＜MP＜AT

故选B．【思路点拨】作出角θ的三角函数线图象，由图象进行判断即可得到OM＜MP＜AT.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，且，则

.参考答案：12.若集合，，则

.参考答案：13.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点，满足，则m的取值范围是______．参考答案：【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点满足，则平面区域内必存在一个C点在直线的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．【详解】作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为，直线的斜率为，斜截式方程为，要使平面区域内存在点满足，则点必在直线的下方，即，解得，并且A在直线的上方；，可得，解得，故m的取值范围是：故答案为【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．14.设函数是公差为的等差数列，，则______．参考答案：由已知，是公差为的等差数列，则，由和差化积公式得，则，比较两边等式得，且，解得，所以.15.在空间直角坐标系中，已知两点，，则________.参考答案：16.如图所示的程序框图输出的结果是

．参考答案：；（如写不扣分）略17.中的满足约束条件则的最小值是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边中点，且CC1=2AB．（1）求证：平面C1CD⊥平面ABC；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求三棱锥D﹣CAB1的体积．参考答案：考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题： 空间位置关系与距离．分析： （1）由已知结合面面垂直的判断得答案；（2）连结BC1，交B1C于点O，连结DO．由三角形中位线的性质得到DO∥AC1，再由线面平行的判定定理得答案；（3）由CC1⊥平面ABC，BB1∥CC1，得BB1⊥平面ABC，从而求得BB1为三棱锥D﹣CBB1的高，把三棱锥D﹣CAB1的体积转化为三棱锥B1﹣BCD的体积得答案．解答： （1）证明：∵CC1⊥平面ABC，又CC1?平面C1CD，∴平面C1CD⊥平面ABC；（2）证明：连结BC1，交B1C于点O，连结DO．则O是BC1的中点，DO是△BAC1的中位线．∴DO∥AC1．∵DO?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；（3）解：∵CC1⊥平面ABC，BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC．∴BB1为三棱锥D﹣CBB1的高．=．∴三棱锥D﹣CAB1的体积为．点评： 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19.如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个三角形，使得,. (Ⅰ)设，求三角形铁皮的面积；

(Ⅱ)求剪下的铁皮三角形的面积的最大值..参考答案：解：（1）由题意知，，即三角形铁皮的面积为；（Ⅱ）设则令，由于，则有所以且，所以

故，而函数在区间上单调递增，故当时，取得最大值

略20.已知动圆()被轴所截的弦长为2，被轴分成两段弧，且弧长之比等于，(其中点为圆心，为坐标原点)(1)求所满足的关系；(2)点在直线上的投影为A,求事件“在圆内随机地投入一点，使这一点恰好落在内”的概率的最大值。参考答案：答案：（1）由题意知：

所以得到

（2）点到直线的距离

得出所以点坐标是所以

则，圆的面积是所以令，因为，所以所以当时，取到最大值，即当时，事件“在圆内随机地投入一点，使这一点恰好落在内”的概率的最大为略21.已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=﹣2x+1且f（2）=15．（1）求函数f（x）的解析式；（2）令g（x）=（2﹣2m）x﹣f（x）；①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；②求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．参考答案：【考点】二次函数的性质．【分析】（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．（2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；②分当m≤0时，当0＜m＜2时，当m≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，∵f（2）=15，f（x+1）﹣f（x）=﹣2x+1，∴4a+2b+c=15；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=﹣2x+1；∴2a=﹣2，a+b=1，4a+2b+c=15，解得a=﹣1，b=2，c=15，∴函数f（x）的表达式为f（x）=﹣x2+2x+15；（2）∵g（x）=（2﹣2m）x﹣f（x）=x2﹣2mx﹣15的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；②当m≤0时，g