气体动力学讲义吴子牛特征线理论课件

特征线理论基础气体力学、空气动力学及计算流体力学主干与重点基础内容重要性

数学物理方法MethodofMathematicalPhysics运输方程特性考虑运输方程对于给定的初始条件，其任一时刻的解为导数表达式直接求解得信息传播线上的导数以上代数方程组有解的充要条件是而在信息传播线上，因此。从而代数方程组无解，即导数不存在，亦即无法通过泰勒展开由一条独立的信息传播线上的解获得附近的解。无粘伯格斯方程特性考虑无粘伯格斯方程对于给定的初始条件，其任一时刻的解为导数表达式直接求解得信息传播线上的导数以上代数方程组有解的充要条件是而在信息传播线上，因此。从而代数方程组无解，即导数不存在，亦即无法通过泰勒展开由一条独立的信息传播线上的解获得附近的解。结论信息沿信息线传播由一条独立的信息线无法确定解的（尤其是法向的）导数，从而不能通过泰勒展开由信息线上的解确定附近区域的解定义：信息传播线称为特征线，即特征线是流场中任一点上信息沿之传播的曲线。特征线的斜率称为特征值(运输方程和伯格斯方程的特征值分别为a和u）特征线周边区域的解不能由特征线上的解求出知道特征线上一点（如）的解，在特征线上其它点上的解便可以确定（例如，对于运输方程）。特征线上的微分关系式构造方程组特征值类似前面分析，特征线斜率（特征值）满足方程对于含有m个分量的方程组，有m个特征值，即m条特征线。相容关系式沿特征线的导数定义为对每个，左特征向量由下式确定注意，左特征向量各分量对应书中相容关系式的作用沿每条特征线，都有一个相容关系式。每个相容关系式定义了一个组合量沿特征线的变化。往往该组合量沿特征线为常数（称为不变量，对于气体动力学方程，称为黎曼不变量）。思考题对每个特征值，由知讨论与相容关系式有何联系？书上说，二者是等价的，是否真的等价?等价性?对每个,只有一个相容关系式对每个，有m个分子行列式为0（由，独立的只有m-1个）。对两方程(m=2)的等价性讨论相容关系式对于2方程系统，有一般系统方程对于m阶系统方程，总共只有m个相容关系式，但有个分子行列式（因为有m个特征值，而对每个特征值，有m个分量），由m个分母行列式为0使得独立的分子行列式为0的个数为。因此，如果m>2,即，二者就不应该等价。但我们能证明，针对有三个方程的气体动力学方程是等价的。特征线法的作用：工程问题在非特征线曲线L上给定初始条件,求曲线外任一点P上的值。对于有m个分量的系统，必有过P点的m条特征线与曲线L上的m个点相连。由于沿每条特征线都有一个相容关系式将P点和曲线L上的一个不变量相关联，所以可以确定m个这样的不变量，从而唯一确定P点所有的流动参数。高维问题特征线理论在一维情况下，特征线为为曲线；在二维情况下应该为曲面即特征面；三维情况下为特征体。有时考虑一些特征面或特征体上的特殊曲线，作为特征线。有时将问题投影到各方向（如x,y,或z），把被投影方向作为一维问题考虑。二维问题特征面基本方程在特征面上，由相距(dx,dy)的两点的解所定义的微分dw定义偏导数，因此偏导数所满足的方程为补充条件要求两条特征线相互正交要求其中一条（设第一条，称主特征线）特征曲线所对应的信息传播速度最大，即求特征值的数学问题求满足下面关系式的如何求上述特征值问题？对自己数学水平进行估计，如能求解则自己求。如果能转换成机器软件能处理的问题，则使用软件求。如果别无办法，与数学家联手。如果与数学家联手有困难，那么探求用启发方法解决具体问题。空间问题（定常问题）特征值理论如果方程属于如下类型那么可以把变量x看成t、把y看成x、把z看成y,用前面类似理论。一般理论有了前面的基础，可以用更标准的语言来总结特征线理论(TheoryofCharacteristicsorMethodofcharacteristics).波的传播就是扰动的传播，波前沿的轨迹就是超特征面（如特征线）。波可以看成一系列的承前启后的扰动的叠加，各扰动的波沿运动轨迹就定义了一束束超特征面。偏微分方程所对应的波的传播速度是有限值，波前沿有确定的位置，从而波前沿前的解与波前沿上的解无关。数学上表现为法向导数不连续。一般理论续由于超特征面上的法向导数不连续，因此超特征面属于弱间断面。为了确定超特征面的位置，将原坐标系变换为，其中。选择这样的变换，使得超特征面法向与新坐标系中的某坐标轴重合。令原偏微分方程和变换后的方程分别写为这里一般理论续将变换后的方程写成因此超特征面的定义（法向导数不存在）：超特征面的法向满足一般理论续特征值与特征向量定义一般理论续相容关系式的定义（切向导数存在）：等价(?)定义一般理论续超特征面存在条件：方程相对第一个自变量为双曲系统（或方程），也就是说，对于任何满足的系数，由

定义的所有特征值为实数而且线性无关的特征向量的个数等于方程的个数。可以证明，气体动力学方程为双曲系统(课堂证明)。一般理论续变换坐标系中的超特征面：变换坐标系与物理坐标系的关系物理坐标系中的超特征面：对应一般理论续对于1维问题，于是超特征面（特征线）方程为思考题：导出物理空间二维问题特征面所满足的方程。一般理论续对于1维问题，特征值所对应的特征线称为第k束特征线（分别称为第I束、第II束、第III束、…）。特征值的排列在不同书中可能不一样，有的按升序、有的按降序、有的按混合顺序。本讲义基本采用升序。气体动力学方程的特征线矩阵形式特征值与特征向量按得特征值

第I束特征线第II束特征线第III束特征线相应的左特征向量为相容关系式1对于特征线，相容关系式为相容关系式2对于特征线，相容关系式为相容关系式3对于特征线，相容关系式为简单流动的相容关系式对于的简单流动，有黎曼不变量对于量热完全气体()和等熵流动可以将第1和第3个相容关系式沿特征线积分，得沿第II束特征线，熵为常数；在熵为常数的前提下，沿第I和第III束特征线，分别不变。称为黎曼不变量。也就是说，沿给定的（第1和第3条）特征线，黎曼不变量为常数，但对于不同特征线，它们的值可以不同。简单波流场可以按复杂程度分成三个区

均匀流区简单波区非简单波区均匀流区简单波区非简单波区均匀流区在均匀流区，所有流动参数只取一个值物理和状态平面上的均匀流平面(x,t)称为物理平面。均匀流在物理平面上的每束特征线均相互平行（因为斜率即特征值为常数）。平面(V,a)称为状态平面。均匀流对应状态平面上一点。物理平面上的非简单波平面(x,t)称为物理平面。非简单波每束特征线都为曲线简单波的物理定义如果流动所涉及的两个或多个参数互为单值函数，即存在分量，使得所有其它分量都是的单值函数那么流动称为简单波流动。例如，如果速度、密度都是压力的单值函数，那么流动为简单波流动。简单波的数学定义只考虑(x,t)，对于每一束特征线假设存在函数，满足在每条特征线上为常数的条件，即沿特征线有简单波的数学定义续由得从而简单波的数学定义续由于对每条特征线，含有m个微分，因此它的积分含有m-1个积分常数，因此对每条特征线，上式可以积分出如下不变量（称为Lax不变量或广义－黎曼不变量）数学定义：令所有为常数的区域称为k-简单波区域。简单波数学物理定义的等价性以上数学与物理定义是等价的。气体动力学用的是物理定义。计算流体力学用数学定义。简单波性质1定理1：在k-简单波区域，属于的所有特征线均为直线，并且在这些特征线上解为常数。证明：在简单波区域，有m-1个不变量为常数，另外沿每条特征线又得到另外1个相容关系式，因此，总共有m个代数关系式，从而,并且为直线。物理和状态平面上的简单波平面(V,a)称为状态平面。简单波对应一条线段（从一个状态直线地跨越简单波区到达另一个状态）。物理平面(x,t)上,k-简单波对应的第k束特征线均为（不一定相互平行的）直线，其它束特征线均为曲线（是否相互平行?）。简单波性质2与均匀流相连接的区域只可能是简单波区域。简单波区既可与均匀流区相接，也可以与非简单波区相接。均匀流简单波区非简单波区均匀流广义黎曼不变量的确定直接利用先求出右特征向量，然后将上式写成积分后得m-1个关系式（广义黎曼不变量）气体