高考数学三轮冲刺压轴小题14 立体几何的动态问题 (解析版)

48/48立体几何的动态问题立体几何的动态问题一．方法综述立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.二．解题策略类型一立体几何中动态问题中的角度问题例1.已知平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，沿对角线SKIPIF1<0将SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0的位置，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如图，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均是线段SKIPIF1<0的三等分点，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上（包含端点）的动点，则二面角SKIPIF1<0的正弦值的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【来源】2021年浙江省新高考测评卷数学（第五模拟）【答案】B【解析】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由翻折的性质可知，SKIPIF1<0．又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角．设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由二次函数的单调性知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的正弦的取值范围为SKIPIF1<0．故选：B.【举一反三】1．（2020·黑龙江牡丹江一中高三（理））如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图，设正方体棱长为1，SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在正方体SKIPIF1<0中，可证SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量．所以SKIPIF1<0．所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或1时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0.故选A．2．（2020·广东高考模拟）在正方体SKIPIF1<0中，E是侧面SKIPIF1<0内的动点，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线AB所成角的正弦值的最小值是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，SKIPIF1<0为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体SKIPIF1<0中棱长为1，设SKIPIF1<00，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<01，SKIPIF1<0，SKIPIF1<01，SKIPIF1<0，SKIPIF1<00，SKIPIF1<0，SKIPIF1<01，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<01，SKIPIF1<0，SKIPIF1<01，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0y，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与直线AB所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<01，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与直线AB所成角的正弦值的最小值是SKIPIF1<0．3.（2020·浙江台州中学高三）如图，已知正方体SKIPIF1<0的上底面中心为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的三等分点（靠近点SKIPIF1<0），SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，分别记二面角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】分析：建立空间直角坐标系，对动点O选取一个特殊位置，然后求出三个侧面的法向量，根据向量夹角的余弦值求得三个二面角的余弦值，比较后可得二面角的大小．详解：建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0．考虑点SKIPIF1<0与点A重合时的情况．设正方体的棱长为1，则SKIPIF1<0．设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．同理可得平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的法向量分别为SKIPIF1<0．结合图形可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选D．类型二立体几何中动态问题中的距离问题【例2】（2020·山西高三）设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则有，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0垂直，所以，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，即角SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的平面角，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，同上有：SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而四边形SKIPIF1<0一定是平行四边形，故它还是菱形，即点SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的最短距离是点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的最短距离：SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．【指点迷津】求两点间的距离或其最值.一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值.【举一反三】1．（2020·四川高三（理））已知三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两两垂直，SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0外接球面上一动点，则SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离的最大值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】SKIPIF1<0是棱长为1的正方体SKIPIF1<0上具有公共顶点SKIPIF1<0的三条棱,以SKIPIF1<0为原点,SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系,三棱锥SKIPIF1<0外接球就是正方体SKIPIF1<0的外接球，由正方体及球的几何性质可得点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离最大，求出平面SKIPIF1<0的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果.【详解】SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0两两垂直，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0如图SKIPIF1<0是棱长为1的正方体SKIPIF1<0上具有公共顶点SKIPIF1<0的三条棱,以SKIPIF1<0为原点,SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系,则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0外接球就是棱长为1的正方体SKIPIF1<0的外接球，SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0外接球上一动点，SKIPIF1<0由正方体与球的几何性质可得，点SKIPIF1<0点与SKIPIF1<0重合时，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离最大，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离的最大值为SKIPIF1<0.故选C.2．已知四边形SKIPIF1<0是边长为5的菱形，对角线SKIPIF1<0（如图1），现以SKIPIF1<0为折痕将菱形折起，使点B达到点P的位置.棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点分别为E，F，且四面体SKIPIF1<0的外接球球心落在四面体内部（不含边界，如图2），则线段SKIPIF1<0长度的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【来源】江西省鹰潭市2021届高三高考二模数学（文）试题【答案】A【解析】由题意可知△SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0在中线SKIPIF1<0上，设过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0,可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,同理△SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0在中线SKIPIF1<0上,设过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,由对称性知直线SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上.根据外接球的性质,点SKIPIF1<0为四面体SKIPIF1<0的外接球的球心.由题意得SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0,显然SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.综上可知SKIPIF1<0.故选：A.3（2020广西柳州市模考）如图，在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（）A．当时，平面B．当为中点时，四棱锥的外接球表面为C．的最小值为D．当时，平面【答案】C【解析】对于，连结，，，则，，，设到平面的距离为，则，解得，∴.∴当时，为与平面的交点．∵平面∥平面，∵平面，∴∥平面，故A正确．又由以上分析可得，当时，即为三棱锥的高，∴平面，所以D正确．对于B，当为中点时，四棱锥为正四棱锥，设平面的中心为，四棱锥的外接球为，所以，解得，故四棱锥的外接球表面积为，所以B正确．对于C，连结，，则，∴，由等面积法得的最小值为，∴的最小值为．所以C不正确．故选：C.类型三立体几何中动态问题中的面积、体积问题【例3】（2020·河南高三（理））在棱长为3的正方体SKIPIF1<0中，E是SKIPIF1<0的中点，P是底面SKIPIF1<0所在平面内一动点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0所成的角分别为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0均不为0），若SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0体积的最小值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】建系如图，SKIPIF1<0正方体的边长为3，则SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入数据，得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，变形，得：SKIPIF1<0，即动点SKIPIF1<0的轨迹为圆的一部分，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最大值是2．则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：SKIPIF1<0．【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥，其底面的面积为不变的几何量，求点P到平面BCD的距离的最大值，选择公式，可求最值.【举一反三】1.（2020·四川高三期末）长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为该正方体侧面SKIPIF1<0内（含边界）的动点，且满足SKIPIF1<0.则四棱锥SKIPIF1<0体积的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图所示：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点SKIPIF1<0的椭圆.如下图所示：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，椭圆的标准方程为：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当点SKIPIF1<0运动到SKIPIF1<0位置时，此时四棱锥SKIPIF1<0的高最长，所以SKIPIF1<0.当点SKIPIF1<0运动到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0位置时，此时四棱锥SKIPIF1<0的高最短，所以SKIPIF1<0.综上所述：SKIPIF1<0.2．如图，长方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（端点除外）上，现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起为SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设过SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直的线段长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为SKIPIF1<0.故选：A.3．（2020·重庆市松树桥中学校高三）如图，在单位正方体SKIPIF1<0中，点P在线段SKIPIF1<0上运动，给出以下四个命题：SKIPIF1<0异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离为定值；SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值；SKIPIF1<0异面直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成的角为定值；SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的大小为定值．其中真命题有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】对于①，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离即为两平行平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0间的距离，即为正方体的棱长，为定值．故①正确．对于②，由于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0为定值，又P∈AD1，AD1∥平面BDC1，所以点P到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值．故②正确．对于③，由题意得在正方体SKIPIF1<0中，B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故这两条异面直线所成的角为SKIPIF1<0．故③正确；对于④，因为二面角P−BC1−D的大小，即为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角SKIPIF1<0的大小为定值．故④正确．综上①②③④正确．选D．类型四立体几何中动态问题中的轨迹问题【例4】（2020南充高考一模）如图，直二面角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的轨迹是（）A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.一条直线 D.两条直线【答案】A【解析】以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0的中垂线为SKIPIF1<0轴，建立平面直角坐标系，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0的轨迹是圆的一部分，故选SKIPIF1<0.【指点迷津】空间轨迹问题的求解策略：1.利用侧面展开或展到一个平面上寻求轨迹；2.利用圆锥曲线定义求轨迹；3.这辗转过程中动点的轨迹；4.利用函数观点探求轨迹【举一反三】1．已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，M，N为体对角线SKIPIF1<0的三等分点，动点P在三角形SKIPIF1<0内，且三角形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，则点P的轨迹长度为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图所示：连接SKIPIF1<0，因为四边形SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可知：SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，根据题意可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为正三角形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交点，由题意可知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，再如下图所示：在正三角形SKIPIF1<0中，高SKIPIF1<0，所以内切圆的半径SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的两个三等分点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0长度为边长的正三角形，所以SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，半径等于SKIPIF1<0的圆，圆的周长为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0内部的轨迹是三段圆弧，每一段圆弧的圆心角为SKIPIF1<0，所以对应的轨迹长度是圆周长的一半为SKIPIF1<0，故选：B.2、（2020贵阳高考模拟）在正方体SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0中的一个动点，且点SKIPIF1<0满足：直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的大小等于平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的大小，则点SKIPIF1<0的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．圆D．抛物线【答案】D3．几何中常用表示SKIPIF1<0的测度，当SKIPIF1<0为曲线、平面图形和空间几何体时，SKIPIF1<0分别对应其长度、面积和体积．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内部一动点（含边界），在空间中，到点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0的点的轨迹为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【来源】安徽省合肥市2021届高三下学期第三次教学质量检测理科数学试题【答案】D【解析】空间中，到点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面SKIPIF1<0的角度看，如下图所示：其中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0区域内的几何体为底面半径为SKIPIF1<0的半圆柱；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0区域内的几何体是高为SKIPIF1<0的直三棱柱.SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0区域内的几何体合成一个完整的，半径为SKIPIF1<0的球，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0区域内的几何体的体积之和SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0区域内的几何体的体积之和SKIPIF1<0；SKIPIF1<0区域内的直三棱柱体积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D.三．强化训练1．（2020·内蒙古高三期末）如图，棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，则下列结论正确的是（）．①异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值④SKIPIF1<0的最小值为2．A．①②③ B．①②④ C．③④ D．②③④【答案】A【解析】①∵SKIPIF1<0∥BC，∴异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角即为BC与SKIPIF1<0所成的角，可得夹角为SKIPIF1<0，故①正确；②连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面A1BCD1，SKIPIF1<0平面A1BCD1，∴SKIPIF1<0，故②正确；③∵SKIPIF1<0∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1,又△DCC1的面积为定值SKIPIF1<0,因此三棱锥M−DCC1的体积SKIPIF1<0为定值,故③正确；④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形,线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中,∠D1A1A=135°,利用余弦定理解三角形得SKIPIF1<0，故④不正确.因此只有①②③正确.故选：A.2.（2020河南省焦作市高三）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，所以，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣．当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1．故选：B．3．（2020·重庆巴蜀中学高三（理））棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内运动，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．1【答案】A【解析】分析：先证明PD=2PC，再在底面ABCD内建立如图所示的直角坐标系，求出SKIPIF1<0，再利用三角函数的图象和性质求出|AP|的最小值.【详解】设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以PD=2PC.在底面ABCD内建立如图所示的直角坐标系，设点P(x,y),则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,所以|AP|的最小值为2.故选：A4．已知三棱锥SKIPIF1<0的所有棱长均为2，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，空间中的动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹长度为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【来源】浙江省五校2021届高三下学期5月联考数学试题【答案】C【解析】正四面体SKIPIF1<0放入正方体，则正方体的棱长为SKIPIF1<0，建立空间直角坐标系如图所示，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示球心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0的球.SKIPIF1<0表示垂直于SKIPIF1<0平面的一个平面.所以SKIPIF1<0的轨迹是上述平面截球面所得圆.球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以截得的圆的半径SKIPIF1<0，所以截得的圆，也即SKIPIF1<0点的轨迹的长度为SKIPIF1<0.故选：C5.（2020郑州一中高三期末）在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形．所以：，在中，设外接圆的直径为，则：，所以：外接球的半径，则：，故选：C．6．（2020九江高三一模）在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】补全截面EFG为截面EFGHQR如图，其中H、Q、R分别为、的中点，易证平面ACD1∥平面EFGHQR，∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，∴D1P∥面ACD1，∴D1P面ACD1，∴P∈AC，∴过P作AC的垂线，垂足为K，则BK=,此时BP最短，△PBB1的面积最小，∴三角形面积的最小值为，故选：C．7．（2020·浙江高三期末）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内的动点，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为定值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，根据题意，求出SKIPIF1<0轨迹方程，可得其轨迹.由题，三棱锥SKIPIF1<0为正三棱锥，顶点SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0的射影SKIPIF1<0是底面三角形SKIPIF1<0的中心，则以SKIPIF1<0为坐标原点，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0内任一点，则SKIPIF1<0，由题SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为定值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故动点SKIPIF1<0的轨迹是椭圆.选B8．（2020·上海格致中学高三月考）在正方体SKIPIF1<0中,若点SKIPIF1<0(异于点SKIPIF1<0)是棱上一点,则满足SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0的个数为（）A．0 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点SKIPIF1<0的个数．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0．①在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角都为SKIPIF1<0．故当点SKIPIF1<0位于（分别与上述棱平行或重合）棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上时，与SKIPIF1<0所成的角都为SKIPIF1<0，不满足条件；②当点SKIPIF1<0位于棱SKIPIF1<0上时，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0．若满足SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，无正数解，舍去；同理，当点SKIPIF1<0位于棱SKIPIF1<0上时，也不符合条件；③当点SKIPIF1<0位于棱SKIPIF1<0上时，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0．若满足SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，满足条件，此时点SKIPIF1<0．④同理可求得棱SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0，棱SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0．而其它棱上没有满足条件的点SKIPIF1<0．综上可知：满足条件的点SKIPIF1<0有且只有3个．故选：SKIPIF1<09.（2020上海交通大学附属中学高三）如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A． B．C． D．不能确定【答案】C【解析】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴coscoscos<cos,又均为锐角，∴，故选C.10．（2020·湖南长郡中学高三（理））在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的一动点，且直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的最大值为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】分析：根据题意画出图形，结合图形找出SKIPIF1<0的外接圆圆心与三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．详解：三棱锥SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIP