2023年中考数学热身尺规作图与命题（含解析）

尺规作图与命题1．以下命题：①4的平方根是2；②所有的矩形都相似；③“在一个标准大气压下，将水加热到100℃就会沸腾〞是必然事件；④在同一盏路灯的灯光下，假设甲的身高比乙高，那么甲的影子比乙的影子长．其中正确的命题共有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．以下命题中错误的选项是〔〕A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线相等D．对角线相等的四边形是矩形3．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰〞的一声，球击中了李大爷家的窗户．李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了．李大爷问：“是谁闯的祸？〞甲说：“是乙不小心闯的祸．〞乙说：“是丙闯的祸．〞丙说：“乙说的不是实话．〞丁说：“反正不是我闯的祸．〞如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸〔〕A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．以下命题不是真命题的是〔〕A．一组数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是3B．要了解一批新型导弹的性能，采用抽样调查的方式C．购置一张福利彩票，中奖．这是一个随机事件D．分别写有三个数字﹣1，﹣2，4的三张卡片，从中任意抽取两张，那么卡片上的两数之积为正数的概率为5．以下命题是假命题的是〔〕A．假设x＜y，那么x+2023＜y+2023B．单项式的系数是﹣4C．假设|x﹣1|+〔y﹣3〕2=0那么x=1，y=3D．平移不改变图形的形状和大小6．以下命题中正确的选项是〔〕A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形D．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形7．如图的尺规作图是作〔〕A．线段的垂直平分线 B．一个半径为定值的圆C．一条直线的平行线 D．一个角等于角8．以下命题：①假设|x|=3，那么x=3；②当a＞b时，假设c＞0，那么ac＞bc；③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；④矩形的两条对角线相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似〔〕A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假10．以下命题是真命题的是〔〕A．对于给定的一组数据，它的平均数一定只有一个B．对于给定的一组数据，它的中位数可以不只一个C．对于给定的一组数据，它的众数一定只有一个D．对于给定的一组数据，它的极差就等于方差11．命题“圆的直径所对的圆周角是直角〞是命题．〔填“真〞或“假〞〕12．“两直线平行，内错角相等〞的逆命题是．13．实数a、b在数轴上的位置如下图，那么以下三个命题：〔1〕a3﹣ab2＜0，〔2〕，〔3〕，其中真命题的序号为．14．如图，点A是锐角∠MON内的一点，试分别在OM，ON上确定点B，点C，使△ABC的周长最小．写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点〔要求画出草图，保存作图痕迹〕．15．一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40度．〔1〕请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；〔2〕你是否还能画出既满足题设条件，又与〔1〕中所画的三角形不全等的三角形？假设能，请你在图1的右边用“尺规作图〞作出所有这样的三角形；假设不能，请说明理由；〔3〕如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°〞，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个．友情提醒：请在你画的图中标出角的度数和边的长度，“尺规作图〞不要求写作法，但要保存作图痕迹．16．如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，BC于F，垂足为O，连接DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．〔不写作法，保存作图痕迹〕17．如图，一块三角形模具的阴影局部已破损．〔1〕只要从残留的模具片中度量出哪些边，角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC的形状和大小完全相同的模具A′B′C′？请简要说明理由．〔2〕作出模具△A′B′C′的图形〔要求：尺规作图，保存作图痕迹，不写作法和证明〕．18．如图，AB，AC表示两条相交的公路，现要在∠BAC的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A点的距离为1000米．〔1〕假设要以1：50000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A点的图上距离；〔2〕在图中画出物流中心的位置P．尺规作图与命题参考答案与试题解析一、选择题1．以下命题：①4的平方根是2；②所有的矩形都相似；③“在一个标准大气压下，将水加热到100℃就会沸腾〞是必然事件；④在同一盏路灯的灯光下，假设甲的身高比乙高，那么甲的影子比乙的影子长．其中正确的命题共有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】随机事件；平方根；相似多边形的性质；中心投影．【专题】压轴题．【分析】①利用平方根算术平方根的定义可知．②利用相似的知识可知错误．③利用物理知识可知正确．④错误．【解答】解：在①中，由于正数的平方根有两个，所以4的平方根是±2，故①错误；在②中，四边形要相似，那么需对应角相等，对应边的比相等，故②错误；在③中，根据常识，是必然发生的，故正确；在④中，由于离灯的远近不一样，故结论错误．∴有一个正确．应选A．【点评】此题考查的知识面较大，与其它学科的联系也较紧密，所以学生平时学生要注意知识点要掌握全面．2．以下命题中错误的选项是〔〕A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线相等D．对角线相等的四边形是矩形【考点】矩形的判定；平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的性质．【分析】根据平行四边形和矩形的性质和判定进行判定．【解答】解：根据平行四边形和矩形的性质和判定可知：选项A、B、C均正确．D中说法应为：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．应选D．【点评】此题利用了平行四边形和矩形的性质和判定方法求解．3．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰〞的一声，球击中了李大爷家的窗户．李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了．李大爷问：“是谁闯的祸？〞甲说：“是乙不小心闯的祸．〞乙说：“是丙闯的祸．〞丙说：“乙说的不是实话．〞丁说：“反正不是我闯的祸．〞如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸〔〕A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【考点】推理与论证．【分析】假设甲说的是实话，那么丙说的也是实话，所以甲说的是假话，那么一定不是乙闯的祸；假设乙说的是真话，那么丁说的也是真话，所以乙说的一定是假话，那么不是丙闯的祸，所以丙说的话是真话，丁说的是假话．那么一定是丁闯的祸．【解答】解：此题可分三种情况进行讨论：①假设甲真，那么乙假，丙真，丁真；这种情况下，三人说了实话，显然与条件不符；②假设甲假，乙真，那么丙假，丁真；这种情况下，两人说了实话，显然与条件不符；③假设甲假，乙假，那么丙真，丁假；这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件．由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁．应选D．【点评】此类题可以用假设的方法，根据只有一人说的是实话进行逐步推理．4．以下命题不是真命题的是〔〕A．一组数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是3B．要了解一批新型导弹的性能，采用抽样调查的方式C．购置一张福利彩票，中奖．这是一个随机事件D．分别写有三个数字﹣1，﹣2，4的三张卡片，从中任意抽取两张，那么卡片上的两数之积为正数的概率为【考点】命题与定理；方差；统计量的选择；随机事件；概率公式．【专题】压轴题．【分析】根据方差公式即可判断A，根据抽样调查的特点即可判断B，根据随机事件的定义即可判断C，根据概率的求法即可判断D．【解答】解：A、数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差为S=[〔﹣2〕2+〔﹣1〕2+12+22]=2，故A错误，符合题意．B、采用全面调查的破坏性较强，故采用抽样调查的方式，正确，不符合题意；C、可能中奖，也可能不中奖，是随机事件，正确，不符合题意；D、在﹣1，﹣2，4三张卡片中抽取两张有一1与﹣2，﹣1与4，﹣2与4三种配对，只有一1与﹣2积为正，其概率为，正确，不符合题意；应选A．【点评】命题不是真命题，找到错误的命题即可；用到的知识点为：方差公式的求法；破坏性较强的调查要采用抽样调查；可能发生也可能不发生的事件叫随机事件；概率等于所求情况数与总情况数之比．5．以下命题是假命题的是〔〕A．假设x＜y，那么x+2023＜y+2023B．单项式的系数是﹣4C．假设|x﹣1|+〔y﹣3〕2=0那么x=1，y=3D．平移不改变图形的形状和大小【考点】命题与定理．【专题】压轴题．【分析】非负数的性质：几个非负数的和是0，那么这几个非负数都是0；平移的性质：平移前后的两个图形全等．【解答】解：A、根据不等式的性质，故正确；B、单项式的系数是﹣，故错误；C、假设|x﹣1|+〔y﹣3〕2=0，那么x=1，y=3，故正确；D、平移不改变图形的形状和大小，故正确．应选B．【点评】此题涉及面较广，涉及到等式的性质、非负数的性质、平移的性质及单项式的系数，是一道好题．6．以下命题中正确的选项是〔〕A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形D．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．【专题】压轴题．【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，逐个进行验证，即可得出正确选项．【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．B、两条对角线相等的四边形可能是梯形，不一定是矩形，错误．C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，仅垂直不一定是菱形，错误．D、两条对角线互相垂直且平分的四边形只能说是菱形，不一定是正方形，错误．应选A．【点评】此题是考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定．就每一个选项来说都是单一知识点，是比拟根底的知识，而把四个选项置于一个试题之中，它涉及到四个知识点和四种图形的联系和区别，要求学生的思维必须缜密、全面．7．如图的尺规作图是作〔〕A．线段的垂直平分线 B．一个半径为定值的圆C．一条直线的平行线 D．一个角等于角【考点】作图—根本作图．【分析】根据与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可得图中的由两弧相交得到的两个点是这条线段垂直平分线上的点，根据两点确定一条直线可得过这两点的直线是这条线段的垂直平分线．【解答】解：设这条线段为AB，上边两弧的交点为C，下面两弧的交点为D．∵AC=BC，∴点C在AB的垂直平分线上，同理点D在AB的垂直平分线上，∴CD垂直平分AB，∴是线段的垂直平分线，应选A．【点评】用到的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．8．以下命题：①假设|x|=3，那么x=3；②当a＞b时，假设c＞0，那么ac＞bc；③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；④矩形的两条对角线相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】命题与定理．【专题】压轴题．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：①、|x|=3，那么x=±3，故这个命题是假命题；②、当a＞b时，假设c＞0，那么ac＞bc，是真命题；③、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题；其逆命题是：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，是真命题，故这个命题满足条件；④、矩形的两条对角线相等，是真命题；其逆命题是：两条对角线相等的四边形是矩形，是假命题．故满足条件的有②③，应选B．【点评】此题综合考查绝对值，直角三角形和对角线的有关知识．9．给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似〔〕A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假【考点】命题与定理．【分析】此题可逐个分析各项，利用排除法得出答案．【解答】解：两个锐角之和可能是锐角，也可能是直角或钝角，如25°+25°=50°，50°+40°=90°，70°+40°=110°，所以①是真命题；各边对应成比例，各角对应相等的两个多边形是相似多边形，但仅仅各边对应成比例不能得到两个多边形相似，如一个边为1的任意菱形和一个边为2的正方形，所以②是假命题．应选C【点评】此题考查了命题的真假判断．10．以下命题是真命题的是〔〕A．对于给定的一组数据，它的平均数一定只有一个B．对于给定的一组数据，它的中位数可以不只一个C．对于给定的一组数据，它的众数一定只有一个D．对于给定的一组数据，它的极差就等于方差【考点】命题与定理．【专题】压轴题．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、正确；B、错误，根据中位数的概念知，中位数只有一个；C、错误，当一组数据中出现最多且次数一样的数不止一个时，就不止一个众数；D、错误，极差指一组数据中最大值与最小值的差，不等于方差．应选A．【点评】此题综合考查了统计与概率及真假命题．要说明命题不是真命题，主要能举出一个反例即可．11．命题“圆的直径所对的圆周角是直角〞是真命题．〔填“真〞或“假〞〕【考点】圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】根据半圆对的圆心角是180°，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得到圆周角是90°，所以命题是正确的．【解答】解：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此，直径所对的圆周角是直角．∴是真命题．【点评】此题考查了圆周角的相关知识，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此，直径所对的圆周角是直角．12．〔2023•宿迁〕“两直线平行，内错角相等〞的逆命题是两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．【考点】命题与定理．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【解答】解：“两直线平行，内错角相等〞的条件是：两直线平行，结论是：内错角相等．将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．故答案为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．【点评】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．13．实数a、b在数轴上的位置如下图，那么以下三个命题：〔1〕a3﹣ab2＜0，〔2〕，〔3〕，其中真命题的序号为〔1〕，〔3〕．【考点】实数与数轴．【专题】压轴题．【分析】先由数轴上a，b两点的位置，判断出a，b的符号及绝对值的大小，再分别代入各式计算即可解决问题．【解答】解：由实数a、b在数轴上的位置得b＜0＜a，|b|＞|a|，那么a3﹣ab2=a〔a2﹣b2〕，a＞0，a2﹣b2＜0，故a3﹣ab2＜0，〔1〕正确；=﹣a﹣b，故〔2〕错误；中分母均为正数，可变形为a＜a﹣b，因﹣b＞0，故a＜a﹣b成立，〔3〕正确．故答案为：〔1〕，〔3〕．【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系及绝对值的化简，主要利用数轴考查不等式与等式是否成立．考查的知识点为：绝对值大的数的平方也大；负数的绝对值是它的相反数．14．如图，点A是锐角∠MON内的一点，试分别在OM，ON上确定点B，点C，使△ABC的周长最小．写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点〔要求画出草图，保存作图痕迹〕．【考点】作图—复杂作图．【分析】应分别作出点A关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的交点与OM，ON的交点即为所确定的点．【解答】解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，那么点B、点C即为所求．〔2分〕如下图〔2分〕；【点评】解决此题的关键是理解要求周长和最小问题要归结为求线段最短问题，通常要做点关于所求点所在直线的对称点．15．一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40度．〔1〕请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；〔2〕你是否还能画出既满足题设条件，又与〔1〕中所画的三角形不全等的三角形？假设能，请你在图1的右边用“尺规作图〞作出所有这样的三角形；假设不能，请说明理由；〔3〕如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°〞，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个．友情提醒：请在你画的图中标出角的度数和边的长度，“尺规作图〞不要求写作法，但要保存作图痕迹．【考点】作图—复杂作图．【分析】〔1〕作一个角等于角40°，然后在角的两边上分别以顶点截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形；〔2〕能，可在40°角的一边上以顶点截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与40°角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件；〔3〕a=3，b=4，∠C=40°，a=3，∠B=40°b=4，a=3，b=4，∠A=40°有2解，先画一条直线，确定一点A作40°，取4cm，得到C，以C为圆心，3为半径，交直线上有2点，B和B1，符合条件三角形有2个△ABC和△AB1C【解答】解：如下图：〔1〕如图1；作40°的角，在角的两边上截取OA=2cm，OB=1cm；〔3分〕〔2〕如图2；连接AB，即可得到符合题意的△ABC．〔6分〕〔3〕如图3，满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有4个：a=3，b=4，∠C=40°，a=3，∠B=40°b=4，a=3，b=4，∠A=40°有2解，先画一条直线，确定一点A作40°，取4cm，得到C，以C为圆心，3为半径，交直线上有2点，B和B1，符合条件三角形有2个△ABC和△AB1C【点评】此题是一道开放探索题．不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊〞到“一般〞、“分类讨论〞、“方程思想〞、“转化思想〞等数学思想．16．如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，BC于F，垂足为O，连接DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．〔不写作法，保存作图痕迹〕【考点】作图—根本作图；直角三角形全等的判定．【专题】作图题．【分析】先根据题意作图，再利用AAS判定△BOE≌△BOF全等即可．【解答】解：〔1〕画角平分线，线段的垂直平分线；〔〔3分〕，仅画出1条得2分〕〔2〕△BOE≌△BOF〔4分〕，证明全等．〔6分〕证明：∵BD为∠ABC的角平分线∴∠ABO=∠OBF∵EF⊥BD∴∠BOE=∠BOF在△BOE与△B