广西壮族自治区柳州市三江侗族自治县洋溪乡中学2021-2022学年高二数学文期末试卷含解析

广西壮族自治区柳州市三江侗族自治县洋溪乡中学2021-2022学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2-②），则图2-①中的水面高度为

.参考答案：2.若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)是虚数，则实数m满足（

）A.m≠－1；B.m≠6；C.m≠－1或m≠6；

D.m≠－1且m≠6参考答案：C3.在正四棱柱中，，E为AB上一个动点，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.设直线l过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，且与双曲线相交于A、B两点，若以AB为直径的圆与y轴相切，则|AB|的值为（）A．1+ B．1+2 C．2+2 D．2+参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的焦半径公式求出A（x1，y1），B（x2，y2）到F2的距离，根据以AB为直径的圆与y轴相切，得到x1+x2=|AB|=（x1+x2）﹣2，代入坐标后整理即可得到线段AB的长．【解答】解：双曲线方程为x2﹣y2=1，F2（，0），e=．设A（x1，y1），B（x2，y2），由双曲线的焦半径公式得：|AF2|=ex1﹣a=x1﹣1，|BF2|=ex2﹣a=x2﹣1，∵以AB为直径的圆与y轴相切，∴x1+x2=|AB|=（x1+x2）﹣2∴|AB|=x1+x2==2+2故选：C．5.在数列（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B6.在平行四边形中，等于

参考答案：A，故选.7.

执行右边的程序框图，若，则输出的

A.

B.

C.

D.

参考答案：D8.已知抛物线，圆（其中为常数，）过点的直线交圆于两点，交抛物线于两点，且满足的直线只有三条的必要条件是、

、

、

、参考答案：D9.在等比数列中，已知，则其前三项的和的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.若且，则下列四个数中最大的是

A.

B.C.

2abD.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知ABCD－A1B1C1D1是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，橙子奥数工作室欢迎您，每走完一条棱称为“走完一段”。白蚂蚁的爬行路线是AA1→A1D1→……，黑蚂蚁的爬行路线是AB→BB1→……，它们都依照如下规则；所爬行的第n+2段与第n段所在直线必须是异面直线，设黑白两个蚂蚁都走完2008段后各停止在正方体的某个顶点处，这是黑白两个蚂蚁的距离是

；参考答案：12.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.参考答案：【分析】观察给出的3个例图,可知火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根,图③的火柴棒比图②的多6根,即增加一个金鱼就增加6根火柴棒,最后结合图①的火柴棒的根数即可得出答案.【详解】由上图可知,图①火柴棒的根数为2+6=8,图②的火柴棒根数为,图③的火柴棒根数为,因此第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为,故答案为:.【点睛】本题考查了从图形中找规律问题,体现了从特殊到一般的数学方法(归纳法),难度不大.13.已知，，,则的取值范围是

.参考答案：略14.在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．参考答案：3

原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“若m2>n2，则m>－n”，也是假命题，从而否命题也是假命题．15.下面给出了关于复数的四种类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量的性质

类比得到复数z的性质|z|2=z2；③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比错误的是

；参考答案：②③略16.已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则最小值为__________；此时点的坐标为__________．参考答案：；.解：由抛物线定义，到到焦点的距离等于它到准线的距离，设点到准线的距离为，则所求的最小值，即为的最小值，当、、三点共线时，最小，∴最小值为到准线的距离此时最小值为，的纵坐标为，代入抛物线中，解出的横坐标为，得．17.已知直线的倾斜角大小是,则_____________；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知⊙C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（1）求证：对任意m∈R，直线l与⊙C恒有两个交点；（2）求直线l被⊙C截得的线段的最短长度，及此时直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）判断直线l是否过定点，可将（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R转化为（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，利用即可确定所过的定点A（3，1）；再计算|AC|，与圆的半径R=比较，判断l与圆的位置关系；（2）弦长最小时，l⊥AC，由kAC=﹣直线l的斜率，从而由点斜式可求得l的方程．【解答】解：（1）证明：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R得：（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，∵m∈R，∴得x=3，y=1，故l恒过定点A（3，1）；又圆心C（1，2），∴|AC|=＜5（半径）∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交．（2）∵弦长的一半、该弦弦心距、圆的半径构成一个直角三角形，∴当l⊥AC（此时该弦弦心距最大），直线l被圆C截得的弦长最小，∵kAC=﹣，∴直线l的斜率kl=2，∴由点斜式可得l的方程为2x﹣y﹣5=0．【点评】本题考查直线与圆的位置关系及恒过定点的直线，难点在于（2）中“弦长最小时，l⊥AC”的理解与应用，属于中档题．19.设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2﹣Sn；数列{an}为等差数列，且a5=9，a7=13．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=bnan（n=1，2，3，…），Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn．参考答案：【分析】（I）先计算b1，再判断{bn}为等比数列，从而得出通项公式；（II）求出an，cn，利用错位相减法求和．【解答】解：（Ⅰ）令n=1得b1=2﹣b1，∴b1=1，当n≥2时，bn﹣bn﹣1=Sn﹣1﹣Sn=﹣bn，∴bn=bn﹣1，∴{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴bn=．（Ⅱ）数列{an}的公差为d，则d=（a7﹣a5）=2，∴an=a5+（n﹣5）d=2n﹣1，∴cn=，∴Tn=1++++…+，①∴=+++…+，②①﹣②得：=1+1+++…+﹣=1+﹣=3﹣，∴Tn=6﹣．【点评】本题考查了等比数列的判断，等差数列的性质，错位相减法求和，属于中档题．20.(本题满分12分)已知函数（，实数，为常数）.（1）若，求函数的极值；（2）若，讨论函数的单调性．参考答案：解：（1）函数，则，令，得（舍去），.

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

∴在处取得极小值.

……………5分（2）由于，则，从而，则

令，得，.

当，即时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

………………8分①

当，即时，列表如下：100极大极小所以，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当，即时，函数的单调递增区间为；②

当，即时，列表如下：100极大极小所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；综上：当，即时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当，即时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当，即时，函数的单调递增区间为；当，即时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.

……………1421.某公司共有职工1500人,其中男职工1050人,女职工450人.为调查该公司职工每周平均上网的时间,采用分层抽样的方法,收集了300名职工每周平均上网时间的样本数据(单位:小时)(Ⅰ)应收集多少名女职工样本数据?(Ⅱ)根据这300个样本数据,得到职工每周平均上网时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12].试估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率是多少?(Ⅲ)在样本数据中,有70名女职工的每周平均上网时间超过4个小时.请将每周平均上网时间与性别的2×2列联表补充完整,并判断是否有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”

男职工女职工总计每周平均上网时间不超过4个小时

每周平均上网时间超过4个小时

70

总计

300附：

0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879参考答案：（Ⅰ），应收集90位女职工的样本数据.（Ⅱ）由频率分布直方图得估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率为0.75(Ⅲ)由（Ⅱ）知，300名职工中有人的每周平均上网时间超过4小时。有70名女职工每周平均上网时间超过4小时，有名男职工每周平均上网时间超过4小时，又样本数据中有90个是关于女职工的，有个关于男职工的，有名女职工，有名男职工的每周上网时间不超过4小时，每周平均上网时间与性别的列联表如下：

男职工女职工总计每周平均上网时间不超过4个小时552075每周平均上网时间超过4个小时15570225总计21090300结合列联表可算得：所以没有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”22.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明:（其中e为自然对数的底数）.参考答案：（1）单调递增区间是，；单调递减区间是；（2）详见解析.【分析】（1）当时，求得函数的导数，根据导数的符号，即可求解函数的单调区间，得到答案.（2）由,转化为只需证明，令，求得函数的单调性与最值，即可作出判定.【详解】（1）由题意，函数的定义域为,当时，，则.由解得或；由解得.所