杨辉三角与二次项系数的性质一

一般地，对于nN*有二项定理:新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？

下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？第1页/共24页第一页，共25页。1615201561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)61112113311464115101051(a+b)nCn0Cn1Cn2CnrCnn……第2页/共24页第二页，共25页。(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议1）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？

3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?第3页/共24页第三页，共25页。①每行两端都是1Cn0=Cnn=1②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和Cn+1m=Cnm+Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++这个表叫做二项式系数表,也称“杨辉三角”第4页/共24页第四页，共25页。二项式系数的函数观点

展开式的二项式系数依次是：

从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：

当n=6时，其图象是7个孤立点定义域{0,1,2,…,n}

第5页/共24页第五页，共25页。二项式系数的性质

（1）对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6第6页/共24页第六页，共25页。2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是()A第２项B第３项C第４项D第５项则n=__________B6请问:一般地,当r满足什么范围时，后一项Cnk比前一项Cnk-1要大?

[分析]:以上问题即Cnk>Cnk-1时，求k的范围?知识对接测查1第7页/共24页第七页，共25页。（2）增减性与最大值

由于：所以相对于的增减情况由决定二项式系数的性质由：

即二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。

可知，当时，二项式系数的性质

第8页/共24页第八页，共25页。

因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数

取得最大值；

当n为奇数时,中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。先增后减，中间项取得最大值二项式系数的性质

（2）增减性与最大值

第9页/共24页第九页，共25页。1.在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的项是

；二项式系数最大的项是第

项.在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为，.在二项式(x-1)11的展开式中,

求系数最小的项的系数。最大的系数呢？知识对接测查23第10页/共24页第十页，共25页。二项式系数的性质

（3）各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于，上式还可以写成：这是组合总数公式．

赋值法第11页/共24页第十一页，共25页。例1、证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：＝２n-1证明令a=1,b=-1得特例法赋值法第12页/共24页第十二页，共25页。知识对接测查3第13页/共24页第十三页，共25页。分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为由此分析求解两式相加倒序相加法第14页/共24页第十四页，共25页。

一般地，展开式的二项式系数有如下性质：

（1）

（2）

（3）当n为偶数时，

（4）

当n为奇数时，第15页/共24页第十五页，共25页。4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项．例2

已知的展开式中，第第16页/共24页第十六页，共25页。例3、若展开式中前三项系数成等差

数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；（3）展开式中系数最大的项。解决系数最大问题，通常设第项是系数最大的项，则有由此确定r的取值第17页/共24页第十七页，共25页。变式引申：

1.求在的展开式中系数绝对值最大的项解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则所以当时，系数绝对值最大的项为第18页/共24页第十八页，共25页。变式引申：2、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项3、若展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A.210B.120C.461D.416第19页/共24页第十九页，共25页。解第20页/共24页第二十页，共25页。(1)二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想

a

单调性；b

图象；c

最值。小结第21页/共24页第二十一页，共25页。第22页/共24页第二十二页，共25页。求展开式中系数最大(小)的项解:设项是系数最大的项,则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是解决系数最大问题，通常设第项是系数最大的项，则有由此确定r的取值第23页/共24页第二十三页，共25页。谢谢您的观看！第24页/共24页第二十四页，共25页。内容总结一般地，对于nN*有。二项展开式中的二项式系数指的是那些。第1页/共24页。