直线倾斜角和斜率北师大必修二

直线是最简单的平面图形之一，我们知道两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，点可用坐标表示，直线可以用二元一次方程表示．问题1：已知直线上一个点，能确定一条直线吗？提示：不能确定．第1页/共33页第一页，共34页。问题2：当直线的方向确定后，直线的位置确定吗？提示：不确定．问题3：直线l1，l2分别是平面直角坐标系中一、三象限角平分线和二、四象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？提示：不一样．第2页/共33页第二页，共34页。1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的

．方向第3页/共33页第三页，共34页。2．直线的倾斜角

(1)倾斜角的概念：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按

方向绕着交点旋转到和直线l

所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为

.(2)倾斜角的取值范围：直线的倾斜角α的取值范围是

.逆时针重合0°≤α<180°0°第4页/共33页第四页，共34页。1．斜率的定义(1)把一条直线的倾斜角α的

叫做这条直线的斜率，通常用k表示，即k＝

.(2)所有的直线都有

，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为

的直线没有斜率．正切值tanα倾斜角90°第5页/共33页第五页，共34页。(3)当倾斜角0°≤α<90°时，斜率是

，倾斜角越大，直线的斜率就

；当倾斜角90°<α<180°时，斜率是

，倾斜角越大，直线的斜率就

．非负的越大负的越大第6页/共33页第六页，共34页。第7页/共33页第七页，共34页。第8页/共33页第八页，共34页。第9页/共33页第九页，共34页。[例1]

一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(

)A．α

B．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α[思路点拨]由题意知直线l的上半部分可能在y轴左侧或右侧，因此可借助图形解之．第10页/共33页第十页，共34页。[精解详析]如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.答案：D第11页/共33页第十一页，共34页。[一点通]

求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况讨论，讨论常见情形有：①0°角；②锐角；③90°角；④钝角．第12页/共33页第十二页，共34页。1．给出下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；

②一条直线的倾斜角可以是－30°；③倾斜角是0°

的直线只有一条；④平行于x轴的直线的倾斜角为180°.正确命题的个数是(

)A．0

B．1C．2D．3解析：直线的倾斜角范围0°≤α<180°，故②④错，垂

直于y轴的直线的倾斜角都是0°，故③错；①是正确的答案：B第13页/共33页第十三页，共34页。2．已知直线l1的倾斜角为α1，其关于x轴对称的直线l2的

倾斜角为α2，求α2.解：如图，结合图形可知α1＝30°，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角为α2＝180°－α＝180°－30°＝150°.第14页/共33页第十四页，共34页。3．设直线l1与x轴的交点为P，且倾斜角为α，若将其绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线l2的倾斜角为α＋45°，试求α的取值范围．第15页/共33页第十五页，共34页。[例2]

(1)直线过两点A(1,3)、B(2,7)，求直线的斜率；(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的斜率．[思路点拨]

(1)利用过两点的直线的斜率公式求得．(2)利用斜率的定义求．

第16页/共33页第十六页，共34页。第17页/共33页第十七页，共34页。[一点通]求直线的斜率有两种思路一是公式；二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．第18页/共33页第十八页，共34页。4．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其

斜率．①(1,1)，(－1，－2)；②(1，－1)，(－2,4)；③(2,2)，(10,2)；④(－2；－3)，(－2,3)．第19页/共33页第十九页，共34页。第20页/共33页第二十页，共34页。答案：B第21页/共33页第二十一页，共34页。6．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有

(

)

A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2第22页/共33页第二十二页，共34页。解析：由图可知k1<0，k2>0，k3>0，∵l2的倾斜角大于l3的倾斜角，∴k2>k3，∴k2>k3>k1.答案：D第23页/共33页第二十三页，共34页。第24页/共33页第二十四页，共34页。第25页/共33页第二十五页，共34页。第26页/共33页第二十六页，共34页。[一点通]1．已知斜率可以求直线的倾斜角或参数的取值范围，也可利用斜率解决三点共线问题．2．利用数形结合思想可知，当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与x轴垂直时，倾斜角由0°增大到90°，斜率由0逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐减小至－∞(即斜率不存在)．第27页/共33页第二十七页，共34页。7．若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线

上，则实数k＝________.答案：6第28页/共33页第二十八页，共34页。第29页/共33页第二十九页，共34页。1.直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置状态的两种基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度.

2.倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时斜率公式才成立.第30页/共33页第三十页，共34页。3.斜率公式与两点的顺序无关，它是以后研究直线方程的各种形式的基础，须熟记并会灵活运用.

4.利用斜率相等，是解决三点共线问题的有效途径，但要确保直线的斜率存在.第31页/共33页第三十一页，共34页。点击图片进入创新演练第32页/共33页第三十二页，共34页。感谢您的观看！第33页/共