椭圆的简单性质

圆锥曲线与方程第三章3．1椭圆第三章第2课时椭圆的简单性质重点难点点拨2知能自主梳理3学习方法指导4思路方法技巧5探索拓研创新6名师辩误作答7课堂巩固训练8课后强化作业9知能目标解读1知能目标解读1．掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系．2．通过根据椭圆的标准方程研究椭圆几何性质的讨论，使学生初步尝试利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质的基本方法，加深曲线与方程关系的理解，同时提高分析问题和解决问题的能力．3．使学生能初步利用椭圆的有关知识来解决有关椭圆的实际问题．4．通过学生用代数方法研究曲线的几何性质的初步尝试，使学生领会解析几何的基本思想．重点难点点拨本节重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．本节难点：椭圆的几何性质的实际应用知能自主梳理椭圆的简单几何性质－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤ax轴、y轴坐标原点x轴、y轴坐标原点标准方程性质顶点顶点坐标A1_________，A2_______B1_________，B2________长轴_______的长为______短轴______的长为______顶点坐标：A1________，A2_______B1_________，B2________长轴_______的长为_____短轴______的长为_____离心率e＝_____∈______其中c＝__________e＝____∈______其中c＝__________(－a,0)(a,0)(0，－b)(0，b)A1A22aB1B22b(0，－a)(0，a)(－b,0)(b,0)A1A22aB1B22b(0,1)(0,1)学习方法指导1．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．2．椭圆上两个重要的三角形(1)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，周长为2(a＋c)．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足a2＝b2＋c2.3．离心率对椭圆扁圆程度的影响4．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中心)、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，只有通过数形结合的方式才能牢固掌握椭圆的几何性质．5．涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达定理的运用，特别是函数与方程思想在解题中的应用．6．利用待定系数法求椭圆标准方程一定要注意先“定型”，“再定量”，在焦点位置不确定时，要注意分类讨论．7．根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的数学思想方法．思路方法技巧[分析]把椭圆方程写成标准形式，求出基本元素a，b，c即可求出所需答案．椭圆的主要几何量[点评]在求椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标时，应先化为标准方程，然后判断焦点所在的位置，看两种情况是否都适合．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和短轴长、焦点坐标，顶点坐标和离心率．[点评]已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标和顶点坐标等．由椭圆性质求椭圆方程[点评]可先求出焦点在x轴上的椭圆的标准方程，然后把x，y交换即可得焦点在y轴上的椭圆方程．[答案]B椭圆的实际应用(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程；(2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105km，问飞船巡天飞行平均速度是多少？(结果精确到1km/s)[点评]解答本题的关键是要明确近地点与远地点的几何意义，把实际问题转化为数学问题求解．[答案]A探索拓研创新[解析]解法一：如下图，点P是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的焦点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，①离心率问题[点评]本题根据椭圆定义及性质从不同角度应用了四种方法求椭圆离心率的范围，法一应用了基本不等式，法二构造一元二次方程，应用了方程思想，可谓奇思妙解；法三通过焦半径公式搭建起应用x范围的桥梁，法四应用了极端思想使问题迅速得解，由此可见，在椭圆中建立不等关系的途径或方法还是比较多的，平时解题时需要根据已知条件灵活选择方法，达到快速而又准确地解答题目的目的．椭圆中最值问题[点评]本题是一道考查椭圆知识和函数最值的综合性问题，需要掌握全面的基础知识和基本方法，在建立二次函数求最值时，要特别注意通过椭圆的范围来确定自变量的取值范围．如图，已知椭圆x2＋2y2＝98及点P(0,5)，求点P到椭圆上点的最大距离及最小距离．直线与椭圆[点评]本题主要考查椭圆的定义、性质、直线方程、点到直线的距离、解三角形、不等式等知识，综合性较强．名师辩误作答[答案]C[点评]由于思考不严密，椭圆