2018版数学考点24简单的线性规划试题解读与变式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE21学必求其心得，业必贵于专精考点24简单的线性规划【考纲要求】1．掌握确定平面区域的方法（线定界、点定域)．2．理解目标函数的几何意义,掌握解决线性规划问题的方法(图解法），注意线性规划问题与其他知识的综合．【命题规律】简单的线性规划是高考题中一定出现的,一般是在选择题或填空题中考查,有时会出现解答题中于其他知识结合考查。【典型高考试题变式】（一)求目标函数的最值例1。【2017课标1，文7】设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（)A．0 B．1 C．2 D．3【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．【变式1】【改变结论】设x，y满足约束条件则z=x+y的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】如图,作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最小值,故，故选B．【变式2】【改变条件】变量x，y满足约束条件eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－1，，x－y≥2，,3x＋y≤14，)）则z＝x＋y的最大值是()A．B．4C．2 D．6【答案】B（二)非线性目标函数的最值例2。【2016高考山东文数】若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（)A.4B。9C。10【解析】画出可行域如图所示，点到原点距离最大，所以，选C.【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等,考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.【变式1】【改变结论】已知函数,满足，则的最小值为。【答案】【变式2】【改变条件】变量x、y满足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0,，3x＋5y－25≤0，,x≥1。）)则z＝x2＋y2的取值范围为．【答案】【解析】由约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1。）)作出(x,y)的可行域如图所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，，3x＋5y－25＝0,))解得。由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1，,x－4y＋3＝0，))解得C(1，1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，））解得B(5,2)．z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中,dmin＝｜OC|＝eq\r(2），dmax＝｜OB|＝eq\r（29).所以2≤z≤29。（四）线性规划的实际运用例3.【2016高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1。5kg,乙材料1kg，用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0。3kg，用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【解析】设生产产品、产品分别为、件，利润之和为元，那么 ①目标函数。二元一次不等式组①等价于 ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图),即可行域。将变形，得,平行直线,当直线经过点时，取得最大值.解方程组,得的坐标.所以当,时，。故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离，解决此类问题常利用数形结合。本题运算量较大，失分的一个主要原因是运算失误。【变式1】小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具,作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买文具的钱不少于买科普书的钱．那么最多可以买的科普书与文具的总数是.【答案】37【变式2】某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示：甲产品(每吨）乙产品(每吨）资源限额（每天）煤(t)94360电（kw·h)45200劳力（个)310300利润（万元)612问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大?【解析】设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元.依题意可得约束条件eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(9x＋4y≤360，,4x＋5y≤200，,3x＋10y≤300，,x≥0，,y≥0.））利润目标函数z＝6x＋12y.如图，作出可行域，作直线l：6x＋12y＝0，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝6x＋12y取最大值。解方程组eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(3x＋10y＝300，,4x＋5y＝200)）得M(20,24）。所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润。【数学思想】①数形结合思想：借助可行域图象,求目标函数的最值．②分类讨论思想：画函数图象时,要对参数进行讨论．③转化与化归思想。【温馨提示】①画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0（a>0)；②线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个,也可能有无数多个，也可能没有．③求z＝ax＋by(ab≠0)的最值方法将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq\f（a，b)x＋eq\f（z，b），通过求直线的截距eq\f(z，b)的最值间接求出z的最值．（1)当b〉0时，截距eq\f(z，b）取最大值时，z也取最大值；截距eq\f(z,b)取最小值时，z也取最小值；(2)当b〈0时，截距eq\f(z，b）取最大值时，z取最小值；截距eq\f（z,b）取最小值时，z取最大值．【典例试题演练】1。【2017河北省衡水中学高三摸底联考】若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在直角坐标系中作出区域A,当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域为下图中的四边形，所以其面积为，故选D。2。【2018届浙江省名校协作体考试】若变量,满足约束条件，则的最大值是(）A.B。C.D.【答案】A【解析】作出可行域如图阴影部分：由得平移直线，由图象可知当直线经过点时，

直线的截距最大，此时最大，由，解得,即，此时最大值，故选A。3.【2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校联考】设实数满足不等式组,则的最大值为（）A。B.C.12D。0【答案】C4.设动点P（x，y）在区域Ω：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥x，，x＋y≤4)）上，过点P任作直线l,设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为（)A．πB．2πC．3π D．4π【答案】D【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知,以AB为直径的圆的面积的最大值，故选D.5.【2017浙江省杭州市名校协作体月考】变量满足约束条件，若的最大值为2,则实数等于（）A.B.C.1D。2【答案】C【解析】试题分析：作出题设约束条件表示的可行域如图内部（含边界），联立，解得,化目标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小,z有最大值为，解得m=1．故选C．6.【2017浙江省ZDB联盟一模】已知满足条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A.1或—2B。1或C。-1或—2D。—2或【答案】A7.【2017湖北武汉市蔡甸区汉阳一中模拟】已知，给出下列四个命题:其中真命题的是（)A.B.C.D。【答案】D【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中,所以直线过点A时取最小值；过点A时取最大值；斜率最大值为，到原点距离的平方的最小值为，因此选D.8。【湖南永州市2017届高三第一次模拟，15】若，满足约束条件，则的最小值为（）A。B.C。D。【答案】B9.【江西省六校2018届高三上学期第五次联考】如果实数满足条件,那么的最大值为（)A.1B。2C.D。【答案】B【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为。10.【黑龙江省大庆实验中学2017届高三考前】已知是坐标原点，点,若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围是_________。【答案】11。【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考,13】若满足约束条件，那么的最大值是__________。【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示．因为表示平面区域上的点到原点连线的斜率，由图知当点位于点时，斜率最大，所以的最大值为2．12.【山东省实验中学2017届高三第一次诊,14】已知不等式组则的最大值为．【答案】3【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中表示两点PM连线斜率,其中其最大值为13。【江西南昌市2017届摸底考试，15】已知满足，且的最大值是最小值的倍，则的值是。【答案】【解析】由题意得可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过C点时取最大值，过B点时取最小值，因此.14.给定区域D：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y≥4，，x＋y≤4，,x≥0.））令点集T＝｛(x0，y0）∈D|x0，y0∈Z,（x0,y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点｝，则T中的点共确定________条不同的直线．【答案】6【解析】解决本题的关键是要读懂数学语言，x0,y0∈Z,说明x0，y0是整数,作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域D，其中A（0，1）是z在D上取得最小值的点，B,C,D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线．15.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x