哈工大人工智能课件chpt5

人工智能原理

第5章不精确推理

1

本章内容

5.1不精确推理的必要性

5.2不确定性的表示

5.3贝叶斯网络

5.4可信度方法

5.5模糊推理*

参考书目

附录似然比与贝叶斯概率推理第7章不精确推理25.1不精确推理的必要性

不精确推理的缘由/方法第7章不精确推理3为什么要不精确推理做不精确推理的缘由有多种：推理所需的信息不完备：竞争双方不知道对方信息背景学问不足：疑难病症的机理多种缘由导致同一结果：疾病的诊断信息描述模糊：目击者对嫌疑犯的描述信息中含有噪声：做假帐，虚假统计报表，采集数据当中的噪声（雷达、声纳/化验）等第7章不精确推理4不精确推理的缘由规则是模糊的：定性描述，如“假如刑事犯罪猖獗，就应加大打击力度”等推理实力不足：天气预报的计算解决方案不唯一：多个方案如何选优的问题两种不确定性(uncertainty)环境的不确定性—智能体几乎从来无法了解关于其环境的全部事实反映环境的学问的不确定性—过于困难而无组织—学问粥(knowledgesoup)第7章不精确推理5不确定性与不精确推理从智能体角度看，他不得不在不确定的环境下行动现实的不确定性须要不精确推理：将数值计算引入推理过程接着运用逻辑联结词真假值概率化，以表示某种牢靠程度在推理的前提和结论之间建立概率公式应用：专家系统中的推理网络PROSPECTOR系统MYCIN系统第7章不精确推理65.2不确定性的表示

5.2.1概率及其公理

5.2.2概率推理第7章不精确推理7主观Bayes主义(概率从何而来)主观Bayes主义：现实世界的一些因果关系可以形成一种信念，它并非在全部场合下都正确，可称为部分信念表示这种信念的最好方法是概率方法对概率的说明有若干种，其中一种称为主观Bayes主义/要点：概率是个人的一种合理置信度，每个人的估计(概率)虽然各不相同，但应当满足概率的基本规律和其他某些客观规律，因而是合理的第7章不精确推理85.2.1概率及其公理随机变量布尔随机变量—定义域=<T,F>离散随机变量—定义域=可数域连续随机变量—定义域=实数集合原子事务—组成世界的全部随机变量的特定赋值/构成无法确定的世界状态的完整具体描述如X的世界由weather=<sunny,rainy,cloudy,snow>和今日是否喝酒drink_today=<T,F>组成，则有4*2种不同原子事务第7章不精确推理9原子事务的性质(1)原子事务是互斥的：sunny∧drink_today和sunny∧¬dringk_today不能同时成立(2)由全部原子事务组成的集合是穷尽的—至少有一个原子事务确定成立/全部原子事务的逻辑析取=T(3)任何特定的原子事务与每个命题(简洁或者复合命题)的真或假一一对应—任何一个表示所在世界状态的命题都可以用原子事务的逻辑联结表示(4)任何一个命题逻辑上都等价于全部蕴涵该命题真值的原子事务的析取sunny等价于sunny∧drink_today∨sunny∧¬drink_today第7章不精确推理10先验概率的表示先验概率：没有任何其它信息存在状况下关于某个命题的信度用向量表示随机变量的先验概率分布P(weather)=<0.7,0.2,0.08,0.02>对于组成世界的离散随机变量全集，运用诸如：P(weather,drink_today)来表示涵盖全集的随机变量集的值的全部组合的概率：全联合概率分布全联合概率分布用概率表表示P<weather,drink_today>用4*2表格表示第7章不精确推理11条件概率的表示条件概率定义由此有乘法定理P(a∧b)=P(a|b)P(b)=P(b|a)P(a)假如a和b相互独立，则 P(a|b)=P(a) P(b|a)=P(b) P(a∧b)=P(a)P(b)第7章不精确推理12概率公理Bayes概率听从如下公理(Kolmogorov公理)：(1)0≤P(a)≤1(2)P(T)=1/P(F)=0(3)P(a∨b)=P(a)+P(b)-P(a∧b)当a/b互斥有P(a∨b)=P(a)+P(b)此为加法定理互斥性也就是独立性这样的概率公理是不能违反的第7章不精确推理13全概率公式任何命题a等价于全部a在其中成立的原子事务的析取—事务集合记为e(a)由全部原子事务是互斥的，得到如下全联合概率分布一个命题的概率等于全部它在其中成立的原子事务的概率和/满足独立性和完全性第7章不精确推理145.2.2运用全联合概率分布进行推理全联合概率分布是学问库，从中可得到全部概率的计算—命题在其中成立的全部原子事务的概率和P(cavity∨toothache)=0.108+0.012+0.072+0.008+0.016+0.064=0.28P(catch)=0.108+0.016+0.072+0.144=0.34第7章不精确推理toothache¬toothachecatch¬catchcatch¬catchcavity0.1080.0120.0720.008¬cavity0.0160.0640.1440.57615边缘化上述全概率公式从另一个角度可以视为通用化边缘规则：

P(A)=∑zP(A,z)=∑zP(z)P(A|z) 将某个随机变量的分布抽取出来，求和从而得到该变量的无条件概率(或称为边缘概率)/其过程称为边缘化或求和消元(summingout)用于从多个变量的全概率分布中求取某个变量的概率，进行推理第7章不精确推理16归一化大多数状况下我们对计算某个变量的条件概率感爱好：1/P(toothache)保持不变，可把它看成是保证其所包含的概率相加为1的常数。引入归一化常数—=1/[p(a)+p(﹁a)]一般公式：P(X|e)=P(X,e)=yP(X,e,y)（依据全概率公式）说明为：e固定条件下X/Y遍历全部值，构成此时的全部原子事务第7章不精确推理17Bayes公式Bayes公式(也称逆概率公式)从条件概率公式可得

在某些场合下引入一个证据e以后，得更通用的Bayes公式

第7章不精确推理18逆概率公式的例子逆概率公式不仅是条件概率公式的一个简洁变形，事实上很有用处—假如某个条件概率不便计算，则可以先计算其逆概率，而后算出所要的条件概率例子：求P(肺炎|咳嗽)可能比较困难，但统计P(咳嗽|肺炎)可能比较简洁(因为要上医院)/假设P(肺炎)=1/10000，而P(咳嗽)=1/10，90%的肺炎患者都咳嗽，则

P(肺炎|咳嗽)=第7章不精确推理19修正因子(1)可以将前面的逆概率公式写成

这说明先验概率P(H)可以通过方括号部分(作为修正因子)修正为后验概率P(H|E)(证据E为真时H的后验概率)在上面的例子中，医生认为一个人得肺炎的可能性为万分之一，一旦发觉患者咳嗽，就将调整为万分之九第7章不精确推理20修正因子(2)将E看作证据，先验概率P(E)越小，且H为真时E的条件概率P(E|H)越大，则修正因子所起作用越大在上例中，假如P(咳嗽)=0.0001/P(咳嗽|肺炎)=0.9999/P(肺炎)不变则P(肺炎|咳嗽)=0.9999，远远超过原来的万分之九第7章不精确推理21后验概率递推公式当有n个相互独立的证据，则有公式

上式可以写成递推公式形式：

上式说明：随着新证据的不断获得，从证据少时的后验概率推出证据多时的后验概率，且每一步都是把上一步的后验概率视为新证据到来时的先验概率第7章不精确推理22独立性条件下的推理运用全联合分布表，可以进行查询(推理)/但只适用于变量少的状况N个可能证据变量，则相关条件概率的组合数达到2N条件独立性—一旦某个变量的取值确定下来，则其余变量就相互独立对于toothache/cavity/catch三者，cavity确定了其余两者，而它们彼此之间无关系P(toothache∧catch|Cavity)=P(toothache|Cavity)*P(catch|Cavity)第7章不精确推理23条件独立性给定第3个随机变量Z后，X/Y的条件独立定义为：P(X,Y|Z)=P(X|Z)P(Y|Z)或P(X|Y,Z)=P(X|Z) P(Y|X,Z)=P(Y|Z)则牙科领域3个随机变量有：P(Toothache,Catch|Cavity)=P(Toothache|Cavity)P(Catch|Cavity)和P(Toothache,Cavity,Catch)=P(To,Cat|Cav)P(Cav)=P(To|Cav)P(Cat|Cav)P(Cav)第7章不精确推理24条件独立性的结果条件概率表(CPT)的分解原概率表有7个彼此独立的数值(23-1)新概率表有5个独立数值(2+2+1)n个变量彼此独立后，表示的规模从O(2n)变为O(n)条件独立性允许概率系统进行规模的扩展；条件独立性比确定独立性更简洁获得此结论导致了朴实贝叶斯模型P(Cause,Effect1,…,Effectn)=(∏P(Ei|C))P(C)第7章不精确推理255.3贝叶斯网络

5.3.1贝叶斯网络的表示

5.3.2贝叶斯网络中的精确推理

5.3.3贝叶斯网络的近似推理第7章不精确推理26贝叶斯网络定义贝叶斯网络(Bayesiannetwork)是一个有向图，其中每个节点都标注了定量概率信息(1)一个随机变量集合组成网络节点，变量可以是离散的或者连续的(2)一个连接节点对的有向边或者箭头的集合，假如存在从节点X指向节点Y的有向边，则称X是Y的一个父节点(3)每个节点都存在一个条件概率分布P(Xi|Parent(Xi))，量化父节点对该节点的影响(4)图中不存在有向环(是有向无环图DAG)第7章不精确推理275.3.1贝叶斯网络的表示从一个例子(防盗网)起先第7章不精确推理BurglaryEarthquakeAlarmJohnCallMaryCallP(B).001P(E).002BE P(A)TT .95TF .94FT .29FF .001

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AP(M)T.70F.0128条件概率表每个节点旁的条件概率表(简称CPT)中的值对应一个条件事务的概率如P(A)=0.94=P(A|Burglary∧Earthquake)条件事务是父节点取值的一个可能组合每行的概率之和应当为1(表中只给出了为真的状况，为假的概率应为1-p)一个具有k个布尔父节点的布尔变量的条件概率表中有2k个独立的可指定的概率(留意概率值是独立的)没有父节点的节点的概率只有1行/为先验概率第7章不精确推理29贝叶斯网络语义：全联合概率分布全联合概率分布的每个条目都可以通过贝叶斯网络的信息计算出来：联合分布中的某项是对每个变量赐予一个特定值状况下的合取概率就是条件概率表中适当元素的乘积例子P(j∧m∧a∧b∧e) =P(j|a)P(m|a)P(a|b∧e)P(b)P(e) =0.90*0.70*0.001*0.999*0.998=0.00062第7章不精确推理30链式法则初始的合取概率化为更小的条件概率和更小的合取式P(Xi|Xi-1,…,X1)=P(Xi|Parent(Xi))—假如父节点包含于条件Xi-1,…,X1之中父子节点的关系使得贝叶斯网络具有局部结构化的特性，即每个节点只和数量有限的其它部分产生干脆的相互作用P(MaryCall|JohnCall,Alarm,Earthquake,Burglary)=P(MaryCall|Alarm)第7章不精确推理31局部结构化与节点依次由于贝叶斯网络的局部结构化，每个随机变量可以至多受到k个其它随机变量的影响(k=常数)设网络中有n个节点(随机变量)，指定每个条件概率表所需信息量至多为2k个数据，则整个网络可以用n2k个数据完全描述/而全联合概率分布须要2n个数据构造贝叶斯网络的次序：添加节点首先从“根本缘由”起先，然后加入受其干脆影响的变量，直到叶节点(不影响任何其它节点)第7章不精确推理32条件独立关系贝叶斯网络中节点相互独立(下面两个定义等价)：(1)给定父节点，一个节点与它的非后代节点是条件独立的(2)给定一个节点的父节点、子节点以及子节点的父节点(Markovblanket)，这个节点对于其它节点都是条件独立的图示第7章不精确推理33条件独立关系图示第7章不精确推理U1UmXZ1jZnjY1YnU1UmXZ1jZnjY1Yn345.3.2贝叶斯网络中的精确推理概率推理系统中的基本任务是计算被查询变量的后验概率设X为待查询变量/e为视察到的证据/E={E1…Em}证据变量集合/Y={Y1…Yn}非证据变量集合(也称隐变量)全部变量集合={X}∪E∪Y推理的任务是：求后验概率P(X|e)事实上，依据边缘化规则可得P(X|e)=P(X,e)=∑yP(X,e,y)第7章不精确推理35查询实例(1)上式表明：在贝叶斯网络中计算条件概率的乘积并求和，以便回答查询以防盗警报为例，求P(B|JohnCalls=T,M=F)证据JohnCalls=True/MaryCalls=False查询变量Burglary=True隐含变量Earthquake/Alarm用首字母简化式有：P(b|j,m)=P(b,j,m) =∑E∑AP(b,E,A,j,m)第7章不精确推理36查询实例(2)进一步代入条件概率：P(b|j,m)=∑E∑AP(b)P(E)P(A|b,E)P(j|A)P(m|A)上式最坏困难度照旧是O(n2n)：对全部变量求和改进—将相对常数移到求和符号以外P(b|j,m)=P(b)∑EP(E)∑AP(A|b,E)P(j|A)P(m|A)计算过程(遍历A=a/a和E=e/e)P(j|a)=0.90 P(m|a)=0.30P(j|a)=0.05 P(m|a)=0.99P(a|b,e)=0.95 P(a|b,e)=0.05P(a|b,e)=0.94 P(a|b,e)=0.06第7章不精确推理BurglaryEarthquakeAlarmJohnCallMaryCallP(B).001P(E).002BE P(A)TT .95TF .94FT .29FF .001

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AP(M)T.70F.0137查询实例(3)乘积求和过程∑EP(E)∑AP(A|b,E)P(j|A)P(m|A) =P(e)*∑AP(A|b,e)P(j|A)P(m|A)+ P(e)*∑AP(A|b,e)P(j|A)P(m|A) =P(e)*[P(a|b,e)*P(j|a)*P(m|a)+P(a|b,e)*P(j|a)*P(m|a)]+P(e)*[P(a|b,e)*P(j|a)*P(m|a)+P(a|b,e)*P(j|a)*P(m|a)] =0.002*[0.95*0.90*0.30+0.05*0.05*0.99] +0.998*[0.94*0.90*0.30+0.06*0.05*0.99] =0.002*[0.2565+0.0025]+0.998*[0.2538+0.0030]=0.002*0.2590+0.998*0.2568=0.2568第7章不精确推理BurglaryEarthquakeAlarmJohnCallMaryCallP(B).001P(E).002BE P(A)TT .95TF .94FT .29FF .001

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AP(M)T.70F.0138查询实例(4)相应地有 P(b|j,m)=P(b)*0.2568=0.001*0.2568 =*0.0002568类似地有P(b|j,m)=*P(b)∑EP(E)∑AP(A|b,E)P(j|A)P(m|A)=*P(b)*[0.002*(0.0783+0.0351)+0.998*(0.0003+0.0495)]=*0.999*0.0499 =*0.0499归一化以后有P(B|j,m)=<0.0003,0.0499>=<0.006,0.994>只有John打电话而出现盗贼的概率小于1/100★第7章不精确推理39精确推理的困难度单连通结构—贝叶斯网络中任何两个节点都至多只有一条无向路径相连此时，单连通上的精确推理的时间和空间困难度都和网络规模呈线性关系而对于多连通结构(见下图)，最坏状况下变量消元法可能具有指数级的时空困难度—此时贝叶斯网络的推理是一个NP问题所以要找寻多连通网络中的近似算法第7章不精确推理40多连通网络第7章不精确推理SRP(W)TT.99TF.90FT.90FF.00CP(R)T.80F.20sprinklerRainWetgrassCP(S)T.10F.50P(C)=.5cloudy415.3.3贝叶斯网络的近似推理大规模多连通网络的精确推理是不行操作的，所以要考虑近似的推理方法接受随机采样方法，也称蒙特卡罗算法(MonteCarloalgorithm)：给出问题的近似解答，近似的精度依靠于所生成采样点的多少此处近似的含义—不是通过计算求出网络中某个点的条件概率(因为困难度高)，而是对该事务进行采样而获得概率第7章不精确推理42后验概率计算的采样方法有两类采样方法：干脆采样方法—计算样本的频率马尔科夫链采样方法—依据马尔科夫覆盖中的变量当前值来采样干脆采样方法—依据已知概率来生成样本拒绝采样算法/似然加权算法马尔科夫链采样方法—证据变量概率固定条件下随机生成样本第7章不精确推理43干脆采样方法干脆采样方法是依据拓扑结构次序依次对每个变量进行采样，被采样变量值的概率分布依靠于父节点已取得的赋值具体实现：拒绝采样算法—首先依据先验概率分布采样，然后解除全部与证据不匹配的样本，最终计算样本频率似然加权—证据变量的值用权值(条件概率)来表示，只对非证据变量进行采样第7章不精确推理44采样样本与概率分布样本的向量表示{cloudy,sprinkler,rain,wetGrass}F/T或者0/1表示为假或为真/如{T,F,T,T}采样依据已知概率分布进行，但不是等于这个概率分布值，而是说分布与之相符cloudy={0.5,0.5}/第1次采样49/51，第2次采样52/48……如此等等每次采样应当在确定的条件下(这就是条件概率)进行，不满足条件的样本不再考虑第7章不精确推理45采样过程举例(1)通过例子说明采样过程/算法均省略(1)因为P(cloudy)=<0.5,0.5>,故cloudy的采样样本T/F各占50%，假设(不妨)返回T(2)P(sprinkler|cloudy=T)=<0.1,0.9>，故sprinkler的采样样本T/F各占10%和90%，应当返回F留意：此时采样样本均为<TXXX>形式，其中<TTXX>占10%，<TFXX>占90%(3)P(rain|cloudy=T)=<0.8,0.2>，故rain的采样样本T/F各占80%和20%,应当返回T/样本形式类似于(2)第7章不精确推理46采样过程举例(2)(4)P(wetGrass|sprinkler=F,rain=T)=<0.9,0.1>，则返回T/采样样本形式<TFTT>占90%， <TFTF>占10%事实上如此生成的样本完全符合先验概率，即对于上例，事务{cloudysprinklerrainwetGrass}的采样概率为={TFTT}=0.5*0.9*0.8*0.9=0.324第7章不精确推理47干脆采样——拒绝采样方法从已知分布的采样动身(其计算如上)，通过去掉不满足证据条件的样原来计算(估计)那些未知分布的事务的概率例子：P(Rain|Sprinkler=T)未知其概率/采样100个样本其中73个为<XFXX>，不满足前提条件—余下的27个中8个为rain=T/19个为rain=FP(Rain|Sprinkler=T)=<8,19>=<0.296,0.704>拒绝采样方法的最大问题就是效率比较低(相当一部分样本被拒绝了)第7章不精确推理48一样的估计拒绝采样方法能产生真实概率的一样估计估计的概率在无限多(大量样本的极限)条件下成为精确值，这样的估计称为一样的(consistent)，即P(x1,…,xm)=NPS(x1,…,xm)/N第7章不精确推理49干脆采样——似然加权方法(1)对证据节点的概率进行似然加权，即依据先验概率的乘积进行计算对非证据节点进行采样，采样样本听从先验概率分布例子：求P(rain|sprinkler=T,wetGrass=T)的概率采样过程如下：(1)权值w=1.0(2)P(cloudy)=<0.50.5>，据此采样，返回T(3)Sprinkler是证据变量，取值T，则 w←w*P(sprinkler=T|cloudy=T)=1.0*0.1=0.1第7章不精确推理50似然加权方法(2)(4)P(rain|cloudy=T)=<0.80.2>，据此进行采样，假设=T(5)wetGrass是证据变量，取值T，则有 w←w*P(wetGrass=T|sprinkler=T,rain=T) =0.1*0.99=0.099此即{cloudysprinklerrainwetGrass}={TTTT}=0.099/说明：sprinkler=T&wetGrass=T条件下rain=T的概率很低似然加权方法也得到对于真实概率的一样估计/从采样与加权的乘积去理解联合分布概率的计算，照旧是全部条件概率的乘积第7章不精确推理515.4似然比与Bayes概率推理

第7章不精确推理525.4似然比与Bayes概率推理引入概率的相对量度[定义]几率： 称为H的几率或先验几率，取值范围[0,)由此反过来有

[定义]条件几率： 第7章不精确推理53后验几率和先验几率的关系例子：O(晴天|冬天早晨有雾)=4.2，假如冬天早晨有雾，则该天为晴天的可能性是非晴天可能性的4.2倍由几率定义、条件几率定义和条件概率公式可以推得后验几率和先验几率的关系：

第7章不精确推理54推理规则和规则强度在Bayes概率推理中，推理规则表示为 ifE(前提/证据)thenH(结论/假设)规则强度用LS/LN表示(也称为似然比)/其不精确推理过程是：依据证据E的概率P(E)，利用规则的LS和LN，把结论的先验概率P(H)更新为后验概率P(H|E)，因而也称为概率传播第7章不精确推理55似然比[定义]似然比：

LS=P(E|H)/P(E|﹁H) LN=P(﹁E|H)/P(﹁E|﹁H) 则可得下述关系：

O(H|E)=LS*O(H) O(H|﹁E)=LN*O(H) 有多个证据独立时，其公式是

第7章不精确推理56似然比约束对LS和LN的约束对于LS和LN有如下约束要求：二者都是非负的，并且满足第7章不精确推理57似然比应用似然比(规则强度)LS和LN的应用当P(E)=1时，利用LS将先验几率O(H)更新为后验几率O(H|E)/当P(﹁E)=1时，利用LN来更新几率在专家系统PROSPECTOR(一个用于探矿的ES)中同时应用了LS和LN，分别表示正面证据和反面证据的支持，称为充分因子和必要因子，并将LS、LN附着在每条规则之上第7章不精确推理58LS和LN的作用当LS很大，说明证据成立时假设成立的可能性很大，否则LS<1说明E排斥H；LN很小，说明证据不成立时假设不成立的可能性很大LS和LN之值接近1时说明证据成立或不成立对于结论是否成立影响不大一般状况下，LS和LN不是依据定义计算出来的，而是给定的第7章不精确推理59应用举例(1)例子：评职称的概率设某副教授X要评正教授，现有4个指标，却有8人参与竞争/投票前夕，X作了如下预料：假如不考虑评委因素，则成功概率=1/2，此相当于先验几率O(H)=1；假如考虑评委因素，则状况如下：校评委共15人，其中5人来自其他竞争者所在系，4人与X素有微隙，尤其是其中2人兼具来自其他竞争者所在系，对X的成功构成了极大威逼，但聊以自慰的是评委中有5位老挚友，估计会投X的票第7章不精确推理60应用举例(2)为此，X定义了如下的似然比：LS(评委Y1出席|X评上)=1/2 Y1来自其他竞争者所在系，同时令LN=2 (LS*LN=1)LS(评委Y2出席|X评上)=1/4 Y2与X素有微隙，同时令LN=4LS(评委Y3出席|X评上)=1/8 Y3来自其他竞争者所在系兼与X素有微隙，同时令LN=8LS(评委Y4出席|X评上)=4 Y4是X的老挚友，同时令LN=1/4LS(评委Y5出席|X评上)=1 Y5不属于以上状况，LN=1第7章不精确推理61应用举例(3)若15人全体出席，且假定各条件相互独立，则按公式：X评上的后验概率是：O(X评上|15人出席)= 依据几率和概率之间的关系，换为概率P=O/(1+O)=1/9，X评上的希望不大第7章不精确推理62应用举例(4)但是，当又有消息说，一位来自其他竞争者所在系兼与X素有微隙的评委A不能出席，而代之以一位看法中立的评委/此时，X又作了一番推想： LS(﹁A出席|X评上)=LN(A出席|X评上)=8 LS(中立评委|X评上)=1则在原结果的基础上乘上上述因子，使得后验几率=1，即后验概率=1/2，X评上的前景大大改观 ★第7章不精确推理635.6模糊推理*

5.6.1模糊数据的确定

5.6.2模糊关系及其投影

5.6.3模糊推理的例子第7章不精确推理645.6.1模糊子集第5章非经典逻辑传统集合论：一个元素是否属于某个集合，回答只有是和否，界限分明。此时，可用特征函数CA(x)表示x是否属于A：此时总假定存在一个定义明确的集合U，A是U的子集。U可称为个体域或基底集。其元素称为基元。非精确刻划:但现实世界有很多意义不能精确刻划(内涵)、外延不能用传统集合表示的概念。典型例子：“老年人”包括多大年龄的人？再如：“高个”、“派头大”、“很大的数”、“令人缺憾的结果”等等65模糊子集定义第5章非经典逻辑对非精确划分的须要引出了模糊逻辑模糊子集(fuzzysubset)的定义：若A={<x,A(x)>|x∈U∧A(x)∈[0,1]}，则A称为集合U的一个模糊子集。A(x)称为x对A的隶属函数，或隶属度、一样性测度模糊子集的支集(supportset)： S={x|x∈U∧A(x)>0}模糊子集的高度 h(A)=max{A(x)|<x,A(x)>∈A}66模糊子集例子(1)第5章非经典逻辑例1：“老年人”的范围—可用隶属函数old(x)来表示老年人集合这个隶属函数表明人从50岁以后起先步入老年。x=55，old(x)=0.5；x=60，old(x)=0.8；x=80，old(x)≈1(0.97) ★67模糊子集(2)第5章非经典逻辑例2：自然数集合中“小的数”，其模糊子集可以用下面的隶属函数刻划：基底集为自然数，则min(0)=1(确定是小的数)min(1)=100/1011(就是小的数)min(10)=0.5(差不多是小的数)min(100)0.1(难说是小的数)min(1000)0(不能是小的数) ★68模糊子集表示法第5章非经典逻辑

Zadeh给出了模糊子集的另一种表示法—隶属度/基元表示如模糊子集“青年”=0/15+0.2/16+0.6/17+0.9/18+0.9/19+1/20～25+0.9/26+…可以写成如下形式(当基底集为有穷)：或(当基底集为无穷)：69模糊与概率的区分第5章非经典逻辑模糊与概率的区分：虽然同属于非精确描述，但概率现象的每个具体结果是确定的“非此即彼”；模糊现象的结果是非确定的“亦此亦彼”模糊的基础是概率70模糊集合运算(1)第5章非经典逻辑模糊集合运算(1)空集推断：设A为U的模糊子集，当且仅当xU，A(x)=0时，A为空集，记为；(2)A包含于B：A、B为U的随意模糊子集，对xU，A(x)B(x)，记为AB；(3)A等于B：对xU，A(x)=B(x)，记为A=B；(4)A的补集：A={<x,1A(x)>|xU}71模糊集合运算(2)第5章非经典逻辑(5)A与B的并集：AB={<x,max(A(x),B(x))>|xU}(6)A与B的交集：AB={<x,min(A(x),B(x))>|xU}(7)A与B的差集：AB={<x,min(A(x),1B(x))>|xU}，明显有A=UA72模糊集合运算的性质第5章非经典逻辑运算的性质(1)交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A(2)幂等律：A∪A=A∩A=A(3)支配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(4)狄摩根律：～(A∪B)=～A∩～B ～(A∩B)=～A∪～B(5)A(B∪C)=(AB)∩(AC)A(B∩C)=(AB)∪(AC)(6)A∩BAA∪B(7)AB当且仅当A∩B=A当且仅当A∪B=B73例子第5章非经典逻辑

证明性质(7)作为例子。

证明：由AB定义知A(x)B(x)，所以AB=min(A(x),B(x))=A(x)，即A∩B=A；同理，AB=max(A(x),B(x))=B(x)，即A∪B=B ★745.5.2模糊关系第5章非经典逻辑模糊关系的定义：集合U1～Un的笛卡儿乘积U1×…×Un为基底集的任一模糊子集R称为U1×…×Un间的一个n元模糊关系(fuzzyrelation)，特殊地，Un的任一模糊子集称为U上的一个n元模糊关系模糊关系的表示：在传统的有穷二元关系的表示方法基础上加上隶属度数据(加权)，作为二元模糊关系的表示有向图方法矩阵方法75模糊关系的例子第5章非经典逻辑

例子：设U={1,2,3,4,5}，U上“远小于”关系可用U2的模糊子集R<<表示，其加权有向图和关系矩阵如下图所示765.5.3模糊数据的确定确定模糊数据—即隶属函数的确定如何确定隶属函数？有多种方法调查投票—依据投票统计所得的数据确定出隶属函数用概率分布函数模拟—分为3种(1)正态分布(2)戒上型函数(3)戒下型函数第7章不精确推理77调查投票例子调查投票—依据投票统计所得的数据确定出隶属函数例子—古代选美：明末南京有“秦淮八艳”，要推断谁更美丽？不同人有不同看法，现设有100人投票，可通过与其中一位比较的方法确定一种相对量度/设其他7位与李香君比较(得票数少于50者被认为不如她，多者则超过她)，依据每个人所得票数可得隶属函数/明显，在隶属度函数中，李香君本人应当放在0.5的位置第7章不精确推理78调查投票结果表示第7章不精确推理79概率分布函数(1)用概率分布函数来靠近隶属函数 (1)中心强、两边弱、中间对称的隶属度分布可用正态分布来靠近，如“中年”； (2)对于隶属度随某种属性值而增长的状况，可接受单调递增或非减函数，特殊是当属性值足够大时隶属度恒为1的状况，可接受戒下型函数，如“老年”； (3)对于隶属度随某种属性值而减小的状况，可接受单调递减或非增函数，当属性值足够小时隶属度恒为1的状况，可接受戒上型函数，如“童年”第7章不精确推理80函数分布函数(2)上述3种函数的公式为： (1)正态分布 μ(x)= (2)戒下型函数第7章不精确推理81函数分布函数(3) (3)戒上型函数三个函数的图形如下：

0a10ab10ab1第7章不精确推理825.5.4模糊关系及其投影模糊关系：模糊关系是集合的笛卡尔积的子集+对集合的隶属函数(如第5章定义)设R为A1A2...An上的一个n元模糊关系，则R中的元素表示为 ((a1,a2,…,an),(a1,a2,…,an)) 其中an∈Ai，(a1,a2,…,an)是对R的隶属度构成了n维空间超矩阵第7章不精确推理83模糊关系例子例1：设R模糊关系表示“天下乌鸦一般黑”定义在集合U2上，U中的每个元素是乌鸦，如俄罗斯乌鸦、美国乌鸦、科索沃乌鸦、南联盟乌鸦等等，R是U2中随意2只乌鸦之间是否一样黑的程度，其隶属度如μ(美国乌鸦,科索沃乌鸦)=0.7★第7章不精确推理84模糊关系的合成模糊关系的合成：设R是U×V上的模糊关系，S是V×W上的模糊关系，则R与S的合成关系Z=R°S的元素为：

Zij=[(ui,w), ]这里是[(ui,vk),µR(ui,vk)]与[(vk,wj),µS(vk,wj)]的合成，而V的元素个数为n(k=1~n组合一遍)第7章不精确推理85模糊关系例子例1：设R模糊关系表示“天下乌鸦一般黑”定义在集合U2上，U中的每个元素是乌鸦，如俄罗斯乌鸦、美国乌鸦、科索沃乌鸦、南联盟乌鸦等等，R是U2中随意2只乌鸦之间是否一样黑的程度，其隶属度如μ(美国乌鸦,科索沃乌鸦)=0.7/又设S模糊关系表示“天下乌鸦打仗一样激烈”(即随意2只乌鸦参与争斗时的激烈程度是否一样)，则对于第i只和第j只乌鸦来说，存在1只乌鸦c，c和第i只乌鸦一样黑、和第j只乌鸦打仗一样激烈的为真程度用R°S的元素RS(ij)表示 ★第7章不精确推理86模糊关系的投影模糊关系的投影：设R是A1×...×An上的一个模糊关系，则在Ak=Ai1×...×Aik上的一个k元模糊关系Rk定义为其上的投影，其中1≤k≤n，1≤i1<i2<...<ik≤n Rk={} 其中~Ak为在A1～An中去掉k个Ai1～Aik后所得n-k个Aj的笛卡尔积第7章不精确推理87定义的说明说明：上述定义的意思